livre I", pour l'équation de l'éqaiUbre

Pcîï + Qf/A + IWc — n'rtir == o ,

et cette équation représentera aussi celle de la surface extérieure du fluide.

Supposons maintenant que les seules forces accélératrices qui agissent sur lui soient les attractions mutuelles de ses élémens ; on aura

V désignant la même fonction que dans le n" i . L'équatioo de l'équilibre deviendra donc

La valeur de V dépend de la nature du fluide et de I4 disposition de ses élémens. On ne peut donc pas déterminer à priori la su^açç 4^ r^1o>l>l>i^ &u moj'ea 4e l'équation précédente; ïpais^ cette équation servira à indiquer, parmi Iqs hypothèses arl)itraires ifue l'on peut faire sur la, figure de la, masse fluide, f:eUes qui satisfont aux conditions dç l'équilibre.

Considérons d'abord une niasse fluide homogène à laquelle nous supposerons la figure d'un ellipsoïde iiont 1*4X6 d0f> ff est l'axe inérae de rotatiop; plaçons l'origine des coordonnée^ au centre de U -masse; l'équation de la surface »era alor,^

DU SYSTÈME DU M(»fDE. 39$

Dans les ellipsoïdes homogènes, on a, n* 9,

dV d\ fl. dV

ft, €, y désignant des quantités indépendantes des trois coordonnées a, b, c. En substituant ces valeurs dans lequation ( i ) , et en observant que la valeur de r donne rdr z=z bdb -^ cdc , on aura

et.ada'^ (C — n*).bdb -(- (^ — n'^ . cdc = o. L*équation de Fellipsoïde ^ en la différenciant , donne

ada ^^ bdb ^^ cdc ^

Pour que ces deux équations coïncident, il faut qu'on ait

d'où Ton tire

Le second membre de cette équation est indépendant du troisième axe h de lellipsoïde; il faut donc que le premier le soit pareillement. Or, si l'on remplace ^ et ^ par leurs valeurs données n^ i o ; on verra que, pour satisfaire à cette condition, il i^ut nécessairement supposer A'=// ;' alors Tellipsoïde est de révolution autour de Taxe des ^r ; on a par conséquent €=yf et les équations (a) se réduisent a la suivante :

396 THÉORTET ANALYTIQUE

Si h est le plus petit des trois axes, Fellipsoîde est aplati ; dans le cas contraire, il est allongé vers les pôles. Supposons d abord le sphéroïde aplati , et

faisons comme dans le n* 9, — r; — a=X', d'où Ion

tire — = I + A* ; on a d'ailleurs , en désignant par

M la masse de Tellipsoïde , et nommant f la densité, M.= % itfhH'^ , ou bien M = f tt/» . (t +A').A*. Les formules du n* 10 donneront donc ainsi

flt = 4^f- — r"-(^ — arc. tangX),

Si l'on substitue ces valeurs dans Téquation {li)^t\ que , pour abréger, on fasse j — == y, on en tire

arc. tang A = ^±|g-. (2)

Cette équation étant résolue par rapport à A, donnera le ;*apport des deux axes, de l'ellipsoïde. Si la valeur de cette quantité est réelle » il y aura toujours, pour une valeur de n donnée, une figure elliptique qui répondra à l'état d équilibre; si elle est imaginaire , l'équilibre de la masse fluide ne pourra point exister avec une pareille figure. Enfin,

DU SYSTÈME DU MONDE. ic^^

s'il y^ a plusieurs valeurs de X qui conviennent a rëquatîon (2) , il y aura aussi plusieurs figures d équilibre correspondantes à un même mouvement de rotation.

26. 11 convient donc de discuter avec soin Téquallon (2), et comme elle est transcendante, il faut pour cela recourir aux considérations géométriques, qui sont très utiles dans ces sortes d'occasions. Faisons donc

et regardons (p comme l'ordonnée d'une courbe dont X représente rabscîsse. On voit d'abord que si l'on change le signe de A, l'ordonnée (p conserve, au signe près, la même valeur : d'où il suit que la courbe que représente Téquatîon (3) est semblable du côté des abscisses positives et du côté des abscisses négatives ; ses deux branches couperont donc l'axe des

abscisses a des distances égales de l'origine , et donneront les mêmes figures de l'équilibre. Il su(£ra par conséquent de considérer la partie qui répond aux abscisses positives. Cela posé, si l'on fait croître A depuis A = o jusqu'à A = 00 , l'ordonnée <p commence et finit .par être positive; d'où il suit qu'entre ces deux limites la courbe coupe un taombre de fois pair l'axe des abscisses , et que par conséquent il y a toujours au moins deiix valeurs de A qui satisfont à l équilibre.

En différenciant l'équation (3), on trouve

3g8 THÉORIE ANALYTIQUE

(£p 6a*.[(7A< + (ioj'~6)a* + gq]

dK — (i+A*) (9+3V)« »

et la supposition de <£p = o donne

qX* +(107 — 6) A» 4-9^ = 0; d'où ToQ tire

Ce sont les valeurs de X* qui correspondent aux valeur^ maxima et minima de l'ordonnée ^* Comme ces valeurs ne sont qu'au nombre de deux^ il est clair que (p n'a qu'un maximum et un minimum du côté des abscisses positives , ce qui exige que la courbe ne coupe l'axe des abscisses qu'en trois points^ enjr comprenant l'origine. Il n'y a donc que deux valeurs de A* qui répondent à l'équilibre.

L'équation (5) détermine aussi une limite des valeurs de ^ , au-delà de laquelle l'équilibre n'est plus possible avec une figure elliptique. En effet, si Ton suppose

il est clair qu'en donnant à ç une valeur plus grande que celle qui est déterminée par cette équation, la valeur de A* qui en résultera sera imaginaire ; les ordonnées ç ne seront donc susceptibles ni de maxh mum ni de minimum , et la courbe ne coupera jamais Taxe des abscisses. L'équation précédente donne

DU SYSTÈME pu MONDE. 399

^ = o . 5750 , d'où Ton tire A = i . 732a ;

maïs on peut assigner à ces deux quantités des limites plus approchées.

Pour cela, j'observe qu'il peut arriver que la courbe soit simplement tangente à l'axe des abscisses sans le tonchçr ; on a alors à la fois ^ = o et ^ = o.

La premièi^ de ces équations donne.

et cette valeur , substituée dans l'équation ( 3 ) ^ donne

•^ 7A^ + 3oA^+a7A 7A^+gA

Cette dernière équation , en la résolvant par ap* proximation, doiine

A = 2 .5292 y d'où l'on tire y = o • SSyo i ,

le rapport de l'axe de l'équateur à l'axe des pôles étant exprimé par la quantité ^/Î^I^J?, il est, dans ce cas, égal à 2.7197.

Nous avons supposé généralement q^=^x — ; soit T

le nombre de secondes que Tellipsoïde emploie à &ire

une révolution autour de son axe , -777 sera la vitesse

dont est animée la molécule située à Tunité de distance de l'axe de rotation , et la force ceptrifuge de

cette molécule sera ^ ; on aura donc

ioo THÉORIE ANALYTIQUE

Il suit de là que, pour les masses de même densité^ les quantités q sont prôpçrtîohnelles à la force centrifuge correspondante au mouvement de rotation, ou en raison inverse du carré dii temps de' la rotation. La valeuh de q par* rapport à la Terre est de 0,005449^7 f et la durée de la rotation de cette planète de 0^,99727 ; d'où Ton peut conclure que pour une masse fluide de même densité que la Terre, la durée de la rotation , correspondante à la limite 0,55701 de qj serait de o^^jooqo. La masse fluide ne pourra donc' pas être en çqpilibre àveC une figure elliptique , si le temps de sa rotation est moindre qne o', 1 009CJ ;. et s'il surpasse cette limite , il y arlt*a toujours deux figures elliptiques , âyai&r non davantage, qui satisferont aux conditions d'équilibre.

27. Nous avons supposé jusqu^icî 1 ellipsoïde aplati aux pôles ;^ voyons ,maintçnant si l'équilibre pourrait exister avec une figure el|iptic[ue allongée V^ei'S ks pôles. Il faut, dans ce cas, faire A* négatif ; soit donc A* = — X'', la quantité A'* étant supposée positive et plus petite que l'unité, parce que sans cela

sJuJ^X'' devenaint imaginaire, FeUipsoîde se cbangérait en un hyperbqloïdç. Si à la place de A ou

substitue sa valeur ± A' V"— î dans l'équation (4]> on trouve

DU SYSTÈME DU MONDE. 4oi

et pour que Tordonnëe- ç soit ub maximum, il faudra supposer

Or , il est évident que tous les termes de cette équation étant positifs lorsquron donne à A'* une valeur comprise entre X'* = o et A'* = i , cette équation est alors impossible : la courbe ne coupe>doBC jamais Taxe des abscisses entre ces limites; il n'y a donc pas d équilibre possible avec une figure elliptique allongée vers les pôles.

28. Considérons maintenaiït les Variations de la pesanteur à la .surface de Tellipsoïde. La pe^an^tçpr e4t,l<a résultante de toutes les farces qui, agissent spr.jun point matériel placé à cette surfacf^vSpit /? cett^ résultante; en désignant comme précédeipament par /xa , bC , cy les attractions de l'ellipsoïde^ par. /^ sa vitesse de rot^ljion 9 on aura. .

Urésulte dafaord de cette équation , que k pesanteur aVtx difFérens pointe) d'un rayons du:s|xbéEOÏde est proportionnelle à leurs distances du centre; en sorte que si Ton connaît la pesanteur à la^», surface , on aura immédiatement celle qui s'exerce dans l'intérieur de l'ellipsoïde.

Considérons en particulier l'ellipsoïde de révolution : on a , dans ce cas ^

p = %/«•«-• + (** + O (^ — ri'^T y Tome IL 26

4oa THÉOAIE ANALYTIQUE

d'où , en Tertu de réqaatjon {b) , on tire

On a d'ailleurs, par l'ëquation de l'ellipsoïde ,

par conséqiieQt ,

A réqualçur , On a a sas o , «t par suite p=> -p ; aux

■pôles y on a i> ::=:: ^ et ;k? sîr ctA j la pesanfenr à Téqua- . teur est donc a la pesanietfr aux pôles, comme le diamètre de Vëqùàteur est à l'axe des pôles,

2*9. Déterminons la relation tjui existe en général a la surface de rellîpsàtde entre la pesanteur ef fat latitude. Si l'on nomme t la normale à 'l'ellipsoïde prolongée jusqu'à la rencontre de l'axe de rér^olution^ et qu'on prenne pour plan des Xy y, le méridien passant par le point de l'qllipsoïde <|iiè l'on considère, on aura, eà nommant a €t ^ les ûoo^fckmiiéet de co point v

. .. «:-=*.»/ 1 4-^ = J. y à\(i^"-^-)-t-^^. On aura donc

d'où il suit qufîîa pesanteur. est proportionnelles la

DU STSTÈS^ DU MOVDE. 4o3

normale de Fellipsoïde prolongée jusqu'à Taxe de révolution. -

Nommons •>). le complément de Fangle compris entre la normale et l'axe de révolufiôtt; -^ sera la latitude dû point de Uellipsoïde que Ton considèi^é;

ou aura ainsi *=;? u Si rott substitue cette vk^

cos4

leur dans Féquation de l'ellipse ^i et qu'^qsuite pp élimine y à l'aide de l'équation résultante^ a de la valear précédenje fttey^jLPû Ircttûcërâ

on aura donc . . , -

, ' -. - î ; . ^ . ^^OûL ' - r V. — .

T 'riT ' • •/ ' . r. « « , • - I » *

Si dans cette équ^tioçion substitue pour a sa valeur,

et 1 -fi A* à la place dé — r; — , orî trouvera

" ■• 4!*j.ft.(i+X*);(i— arc'.tHnaX)•

. Qi^auva^ a^ ai»oy eut dêicMte^àjuation^ Ik ^pesanteur coirespondaute à une latitude idarniée^f fil tîHe s'agit plus, pour en faire usage, que de détemiiicr les constantes qu'elle renferme.

Ei\'tioxnÀlaht Tiè nom£lre desécônoes qœ^ l'ellipsoïde emploie à faire une révolution autour de son

^^e, :u9usxiyan9 trouve,. n?;ïi6^i^stt.4^ ;j owi tîrtrdéiilà

4o4 THÉORIE ANALYTIQUE

Soit c la loôgaenr d'un degré du méridien y me- .snré à la latitude ^{/; le rayon osculafenr de œ méridien est, par la'natnré de l'ellipse, ■ ' ■ ' — 7. Ou

anra par conséquent . ^

(l+A»COS*4')*

et cette équation , combinée avec la précédente , dosnera

-4?i^^L±^=:i8o».C.(l + X«COS«4).^.

La valeur de p deviendra ainsi

équation qui ne renferme plus que q d'inconnn. Si ' Von nomme / la longueur du pendule simple qui fait , ses oscillations dans une seconde de temps , on aura, n^ 17, Jivre P% ;?=7r'/. En substituant pour p cetie | valeur> l'équation précédente^ donnera , pour déterminer q f

2160 . c . (i 4- A* cos*4)».(A'~ arc.' .taog ^)

« ^ TtX

Cette équation , combinée avec l'équation (5) du n^ 2t6^ fera connaître la valeur de q, et celle de

DU SYSTÈME DU MONDE. 4o5

A y au moyen de la longueur du peii4ule à. secondes et de la grandeur du degrë^ observées l'une et l'autre à la latitude 4 *

Supposons %!/ = 4^"* et q une très petite quantité ^ comme cela a lieu pour la Terre; ces équations don^ neront^ en les développant >

A* =B - . « -+■ 2^ . 7*+ etc.

On a trouvé , par la mesure de lare du méridi^d terrestre y et par l'observation du peiidule qui bat les secondes sous le parallèle de 4^®^

Oa a de plus T = 86164' ; on conclura de là ^ = 0.0034496; A"= 0.0086877.

Cette dernière valeur donne V i +AV=si • 004^344 î c est le rapport de Taxe de Téquateur à celui du pôle ; ces deux axes sont à très peu près entre eux comme 2Si^7 est à 23o^7y et les pesanteurs à Téquateur et aux pôles sont y comme on l'a vu n* 28^ dans le même lapport*

On peut encore déterminer le demi grand axe h du pôle au moyen de l'équation (6). En effet , en faisant 4= 4^**^ ^^ ^^ *^re

;,i8o».o.(trHA«p 180». c , •A.ptrV. =

4o6 THÉORIE ÀNAtYTIQUE

d'où il résulte, en récioisant cette fdfmule en noml^res,

A z= 65èa534-".

Il est à remarquer que la limite que nous arrons trouvée pour q^ v? 2£i, n'est pas, comsne an aurait pu' l'imaginer , celle où le 'fluide conuttencearait à se dissiper en vertu d'un mouvement de rotation trop rapide. En effet , ou a vu ^ a* 28 ^ que la pesanteur à l'équateur est à la pesanteur au pôle dans le même rapport que le- diamètre de l'équateur est à Taxe du pôle; rapport qui, dans ce cas, est celui de I à 2,7197; d'où il faut conclure que si, audelà delà limite 0,53701 de.^, l'équilibre ne peut subsister avec une figure elliptique , c'est qu'il est alors impossible de donner à la masse fluide une figure elliptique tell^ , que la résultante de ses attractions et de la force centrifuge, soit perpendiculaire à sa surface*

3o. JNous venons de voir, n^ 26, que, pour un mouvement de rotation donné, il sera toujoui^ possible d'assigoec jdbttx figures elliptiques qui satisferont aux conditians d'équilibre; mais il n'en faut pas conclure que ces deux états d'équilibre correspondent à la même foixrè d'impulsion primitive , parce que le mouvement de rotation que prend la masse fluide dépend non-seulement de l'intensité de cette force, mais encore de la manière dont elle loi est appliqué^.

Eu eâet,. considércms une masse fluide agitée pri^ mitivement par des forces d'impulsion quelconques; et ensuite abandonnée à elle-même et à l'attractiou mutuelle de toutes ses parties.. Par le centre dé gra-

vite de la masse y concevons un plan qtrî sôît celui par rapport auquel la somme des aires tracées par chacune des molécules du fluide multipliées par leurs masses est un maximum; ce plan conservera -sans cesse cette propriété , et lorsque , après diverses oscillations du fluide , son mouvement deviendra un mouvement uniforme de rotation autour d'un axe fixe, lequateur de la masse se confondra avec le plan maximum des aires ^ et Taxe de rotation sera pevpendiculaire à ce plan • Soit donc lAdt la somme des aires décrites pendant l'instant dt y à l'époque où la masse commence à s'agiter, par les projections de chacune des molécules fluides sur ce plan , multipliées par les niasses de ces molécules; cette somme reS' tera constamment la même pendant toute la durée du mouvement. Or si l'on désigne y comme nous l'a-* vous fait y par n, la vitesse angulaire de rotation commune à toutes les molécules de la masse, et par

N/A* H- ^ la distance de la molécule dm à l'axe de ro-

tation , l'aire décrite par cet élément , projetée sur le plan de Féquateur et multipliée par sa masse, au

hout du temps dty sera — (i* 4" c^)dm. On aura donc

1 mtqgraie S devant s'étendre à la masse entière du fluide.

Or S:{lf+ c*)dm est le mohicnt d'inertie de la ï^iasse relative à l'axe de révolution. Par là nature

des ellipsoïdes., ce moment est égal à -~ .h\.{i r\^ ^^y ^

4o8 THÉORIE ANALYTIQUE

On aaradoQC

D'ailleurs y en désignant par M la masse du fluide, on a

Au moyen de ces deux équations , on trouve

Nous avons représenté par q cette quantité , dan? le n® 25; en faisant donc q'=, ? — .o ^ , on aura

2 = ç'(i + A*;""^, et réquation (2) du même numéro deviendra

On déterminera A au moyen de cette équation, et en substituant sa valeur dans l'expression de M, on en déduira la valeur de h.

Nommons cp la fonction que représente le premier membre de l'équation précédente ; cette fonction doit être égale à zéro , pour satisfaire aux conditions d eqûilibre ; elle commence par être positive si l'on suppose très pçtite la valeur de A, et elle devient négative lorsqu'on suppose A infini. H y a donctou-

jours entre ces deux limites une valeur de A qui satisfait à rëquation ^ = 0* Par conséquent, quel que. soit (j[y il y a toujours une figure elliptique qui GOn-« rient à l'équilibre de la masse fluide. En différenciant la valeur de ^^ on trouve

3a4. \^At + ,8y' - [aV + 18(1 + a*PD}

La valeur de \ qui correspond à ^cso rend négative la fonction

m'4. i8î'-[AY4-i8(i H-A«p].

Cette fonction conserve ensuite toujours le même signe à mesure qu'on fait croître la valeur de ^, parce

que la partie positivé -— + 1 8^' diminue sans cesse^

tandis que la partie négative — [A*ç'+ 18 (i + A*)» } augmente* La courbe dont ^ représente Fordonnéa ne peut donc couper une seconde fois l'axe des abs-* cisses, et par conséquent il n'y a qu'une seule valeur^ de A qui satisfasse aux conditions de Téquilibre.

3i. Concluçns donc de ce qui précède: i*. qiiune fnassejluide homogène^ douée dun mouvement de rotOr tionautourduri axe fixe, peut toujours être enéqul- Ubre ai^ec deuxjigures elliptiques différentes; a*, que pour une même force d'impulsion primitive ^ il rCy a qu'une seule Jigure elliptique qui satisfasse à Véquilibre.

Le premier de ces résultats suppose que la durée

4io THÉORIE ANALYTIQUE

tie la rotation de la masse fluide n'est pas au-dessous de la limite que nous lui avons .assîgaée n"* 26 ; mais ffuaud bien même cette condilicoi. ne serait pas remplie à Torigine do mouvement , il n'en Êiudrait pas conclure que l'équilibre sera à jamais impossible avec une figure elliptique. On conçoit , en effet , que la masse fluide , après diverses oscillations^ peut sjaplatir de plus en plus sans cesser d'être continue , en vertu de la ténacité de ses parties. La durée de la rotation augmente ainsi progressivement , et elle finit par atteindre la limite qui convient à l'équilibre. La masse fluide prend alors la figure d'un ellipsoïde; et l'on voit , en effet , par le second des théorèmes précédens, qui a toute l'étendue possible , que, quelles que soient les forces primitivement imprimées à ce fluide, on peut toujours assigner une figure eUiptique qui satisfasse à son équilibre. En général, cette figure est uqique , et elle est déterminée par la nature des forces qui ont produit le mouvement. L'axe de rotation est ^lui des axes passant par le centre de gravité de la Tirasse , par rapport auquel la somme des momens des forces primitives du système était un maximum.

DU SYSTÈME' Dlï,MOnDE. 4i i