CHAPITRE V
De la figure qui convient à VéquiUbre dune masse fluide homogène douée dun mouvement de rotation ^ et dont la figure primitive est supposée très peu différente de la sphère.
52, Nous venons de démontrer que rellîpsoïde de révolution satisfait aux conditions d'équilibre d'une masse fluide homogène douée d'un mouvement de rotation autour- d'un axe fixe, et nous avons développé les lois que suit la pesanteur et la diminution des degrés du méridien à la surface d'un semblable sphéroïde. Il nous reste à examiner maintenant si la surface elliptique est la seule qui remplisse les conditions précédentes, et s'il existe plusieurs figures de différentes natures qui conviennent à l'équilibre. Cette question, dans toute sa généralité, surpasse les forces de l'Analyse; mais on parvient à la résoudre en la restreignant et en supposant la figure de la masse fluide^ très peu différente de la sphère. Cette hypothèse est d'aîlleuTl&' fcônforme à la nature, puisque toufs les corps célestes ont, à très peu près, la forme spliérique, et qu^ou peut présun:ier que leurs molécules , en se rapprochant par la
4 1 a THÉORJtE ANALYTIQUE
condensation , ont conservé entre elles la même disposition qu'elles avaient à l'état fluide.
Reprenons l'équation de l'équilibre d'une masse fluide homogène trouvée, n"* 38, livre P', et donnonslui cette fonne
V 4- N == const. , (a)
N représentant généralement l'intégrale de toutes les forces étrangères aux attractions du sphéroïde qui agissent sur les points de sa surface. Si l'on suppose , comme cela a lieu pour la Terre , la Lune , Jupiter et tous les corps célestes, Saturne excepté, que la seule force étrangère qui agit sur la masse fluide est la force centrifuge provenant du mouvement de rotation , on aura
a, betc désignant les coordonnées rectangulaires d'un point quelconque de la surface, et g la force centrifuge du point situé h l'unité de distance de Taxe de rotation, g étant d'ailleurs une très petite quantité; parce que la supposition que la masse fluide diôere peu de la forme sphérique , exige que les forces qui l'ea écartent soient elles-mêmes très petites.
Plaçons l'origine des coordonnées au centre de gravité de la masse ; soient /• le rayon vecteur mené de ce centre à la surface, 6 l'angle qu'il forme avec l'axe de rotation , et â» l'angle que forme le plan qui passe par le rayon r et pai; l'axe de rotation avec le plan des oc, jr, on aura
/2 = rcos6, A=2:rsin ôcoso) , c=r rsinô sin a;.
La valeur de N deviendra ainsi '^
N== i .gr^sin' e= i .gi^—i .gT* . (cos» fi — i), '
et en la substituant dans l'équatioa d'équilibre , on aura
V + igr«— i5'r».(cos'ô,— i) = const. (5);
Oa verra bientôt pour quelle toison nous avoiis donné a N la formé prëcédenle.-
Supposons maintenant , ' conforménient à l'hypothèse ^ la figure de la massé fluide peu <lifférentc de la sphrère; on aura tlàns ce cas, n* 21,; .n
Oa peut faire disparaître de cette valeur les termes en Yo et Y, en prenant pour a le rajon de la sphère égal en solidité au sphéroïde, et en plaçant rorigihe des rayons jt à son centre* de gravité. Si l-Qn substitue ensuite cette valeur dans l'équation (M y on aura . . ' -
= const. , \
et tous les termes de cette équation jouiront de la propriété de satisfaire à l'équation et aux différences partielles ' ' * . )
Jh * «:«» ù' rJ^% «■ ^
siiiôc^ ^ sin» ô* (/«» ^ û^r* ~ ^
4i6 THÉORIE ANALYTIQUE
Cette équation appartient à un ellipsoïde de révolution dont Taplàtissement est très petit et égal à
^f l'origine des coordonnées : étant au centre du
isphéroïde.
Nous voici donc, parvenu à démontrer que la figure elliptique est la seule qui convienne à Icquilihte d une tnàsse fluide îiombgène , douée dua mouvement de rotation, en supposant la figure primitive de cette masse peu différente de celle de la sphère* Nous avons démontré, dans le n* 21, que l'expressiou de^ne peut s^ développer que dune seule manière , en série de la forme
Y. + Y, +' Y^, etc.;
on peut en conclure encore, par ce qui précède, que la figure elliptique qui satisfait a l'équilibre est unique. Si l'on suppose ^==0, dans l'équation (d), on a r t=: a; d'où il suit que la sphère esi la. seule -figure que puisse prendre dans l'état d équilibre . une masse fluide homogène, et inaraobile,
53. Considérons maintenant les variations de la pesanteur a lasurfece.du.sphéKo'ide. L'équation («), qui détermine la figure de l'équilibre de la masse fluide, offre encore l'avantage de donner por uTie sii^ple différentiation la loi de ia pesanteur à la surface. En effet, le premier membre de cette équation repr'éâCttlte'^ géti^l^iArat l'int^gn^ de toutes les forces qui agissent sur chacune des • molécules de cette surface, multipliées respectivement par Tëlem^nt de leurs^irêctions. En dffférenciant donc le-
quation* (a) par ^ rapport à r^ oa aura y n* i ^ la résultante de toutes les forces qui animent le point de la surface que l'on considère décomposées parallèlement au rayon r, c'est-à-dire, n® 28, l'expression de la pesanteur en ce point.
L'équation (c) , d'après ce qui précède , devient -
^ + ^. YW + ^\sm» fl = const.
Si l'on différencie cette équation par rapport à r, qu'on divise sa différentielle par — dr et qu'on y substitue à la place de r sa valeur a^i^etj) après la différentiation , on trouve
p = ^wa . (i - I aY^*5 — y sin*fl); (/i)
et comme on a , n* Ss ,
«YCO=|y.(cos«ô-i),
cette équation devient
;; = |5ra.[i-|y + l9(cos«fl-i)]. (c)
La quantité^ que nous venons de déterminer ne représente pas exactement la pesanteur , ' c'çst seuleïnent la partie de cette force dirigée vers le centre du sphéroïde. En effet, on peut regarder la pesanteur à sa surface comme décompose en deux autres forces, l'une/? dirigée suivant le rayon r, et l'autre perpendiculaire à ce rayon. Mais il est aisé de voir <iue cette dernière est àe l'ordre a, en sorte qu'en la désignant par a/?', la pesanteur totale sera égale à Tome IL 27
4i« THÉORJE ANALTtIQUE
V^^*+«y* ; on peut donc y quand on néglige les quantités de l'ordre «*, regarder p comme l'expression de la pesanteur à la surface du sphéroïde.
En i^uoissant les équal^ons (e) et (^^ on aura tout ce qui est nécessaire pour déterminer la figure d'équilibre d'une masse fluide homogène douée d un mouvement de rotation et les lois de la pesanteur à la surface ^ lorsqu'on suppose que la forme primitive de la masse est peu différente de la sphère. On aura ainsi
^^,,.[,^.(cos-fl--^)],
p — l^û-t^ — Î9^+l7-(cos» 9 — i)].
Ces deux équations font voir d'abord que la diminution des rayons et les accroissemens de la pesanteur, en allant de l'équateur au p61e^ sont propo^ tionnels à cos* 8 ; d'où il suit que ces deux quantités varient à très peu près comme le carré du sinus de la latitude^ ^arce que cos 8 est, aux quantités près de Tordre a , égal à ce sinus.
C^st par l'observation des longueur» du pendule à secondes qu'on a déterminé les variations de la pesantieur k la surface de la Ten*e. Cette langueur, comme on Ta vu n^^^g, est proportionnelle à lapesaMeUr. Soit donc / la longueur du pendille' à secondes sous un parallèle quelconque, L ce que devietrt If et P ce que deviiînt p sOus Téqùàtèur, Ou lorsque 6 es 90*, on auta
par conséquent
et par.suite^ : • , ;
Nomtnons /' la longueur dû pçndûlé au pôle /on
aura • ' '
Si Ton nomme de même r' et R ce que devient le rayon r ,de la sur/^ce d|e l'ellipsoïde , au p61e et à l'ét quateur , on trouve
on aura donc^ relativement aux ellipsoïdes de révolution , entre les demi grands axes et les fongueurs du pendule qui répondent respectivement au pôle et à réquateur, cette relation remarquable,
34. Nous ne nous ^sommes ôcdu^é jusqu'ici que des fluides homogènes : ndiis dlJ^^ft^ /^^ïisiderér rhaiûtenant l'état d'équilibre d'une tnàsô^e fltiiâe hétérogène doiiéé d'un mouvement de rotation autpur d'un axe fixe; mais ^ pour simplifier cette" question , .nous supposerons cette' maèse composée de couches s€;mblables j et la densité décroissante suivant une loi quelrr conque ducéntrek la stirFacie, hypothèse qui d'afllçurs paraît conforme à là nature des corps célestes. On conçoit en effet que si, lors de la formation de ces
corps , leurs molécules ne s'étaient pas disposées de manière que les plus denses soient en même temps les plus voisines du Centre y elles se seraient pénétrées comme^ un corps solide s'enfonce dans un fluide y et l'équilibre n'aurait pu exister dans une pareille masse. L'équation générale de l'équilibre des différentes couches sera, n* 58, livre P' ,
ou bien , en remplaçant Y par sa valeur, n^ ^Zy
Les différentielleset les int^rales ^ans cette équation se rapportent à la variable a ; les deux premières intégrales du second membre devant être prises depuis az=za, en désignant par a la valeur de a relative à . la couche que l'on considère, jusqu'à la valeur de a qui correspond à la surface du fluide , et que nous supposerons égale â l'unité , les deux dernières intégrales de la même équation devant s'étendre depuis a = o jusqu'à ^ = a.
 la surface de la couche, on a r:=:a(i^ajr): en substituant donc cette valeur dans les termes d^ l'équation précédente qui sont indépendans de cl, et faisant simplement r=:a dans les autres, ou aura
DU STSTÈME' W UOWSE. 4ai
1 or f* t^
:.(,^y>./^d«?+^/^dV[a^i+^T,^JJl^fi4•^;Y.+etc.]
Le secoad:.nieiQbre;\i||^.cfiUe éqtudÉQadtutse réduire aune constante, n"* 53, livre P'. Si Ton substitue donc pour y son . développement Y^ --f-, Y^i; + Y, + etc. , et pour N sa valeur j,^r*/--J. g^r'(cos*ô---î), et que l'on comparé ensuite les fonctions semblables de 6 et de cù^ on aura
y ^«a»./<.ii.«»+4«r ./«,<«.«' Y,4-^ ^/^rf.«»
- fe->^-/'«-*'-^+^-^«-'?'^ T^^ i*»* '
îi ♦« i '
les deux premières intégrales du second membre de» vaut être prises . depuis â 3= a jns^u^ aj= i , et les trois dernières depuis ^ =â o jusqtl'à a:=a. Cette équation détenninant simplemept le rapport qui doit exister entre Yq et /z, il s'ensuit qu'on peut donner à Yo une valeur arbitraire. On aura ensuite> i étant égal à a, :^
enfin , î: étant, un nombir^ queloonqu* égal On snfié-^ rieur k l'unité,
4^9 Jli^afllBMlfAiTTiQUB
j [ ,y Cette é(ïu9tib|û ioonera h valeur dé Y„ relative à chaque couche ^du fluide^ lorsque la densité / sera connue.
SQvâicéi
roi î « ,1 ^^'\
Les Gotac^es ^e'èiv^au¥tabt^di^pj[TOseés^nll^bH îls^ensuît que la valeur de^| est pour chaque couche la même qtfiiâ^^ui'fâc^^'f eUë^sï dont ind^ de a , et l'on a
j . r r r — a.— — — a* I , Ptt' aa = O,
renferme Téquation précédente ne peut àoiit être égale à zéro; on doit donc avoir alors Y|=o. D'ailleurs, si r9fi\ç^|!^oâ^ ,i}if± u^^pàxiTisS^ toujours ^;Arù disparaître le terme en Y, de l'équation (g) en pla^aM Pd^gin^^'ded dMftdonnéé» ski défaire dé gravité du sphéroïde; on aura donc généralement Y| =0, i étant uxv t|j^lè9e^>e«^îl^ gudléûiiqueidifiértaQt de 2. Dans le cas de t = 2 , l'équation (h) ddmiè •
DU SYSTÈME DU MCMlffi. 4a3
4a7r Y, . /( 1 — a*) . ca* rffl 4- i g . (cos'9 — j^) = o.
Soit, comme prëcédemmenf ^ ' y iîè rapport de la force centriftige à ^la pesanteur à Téquateur, l'expression de la pesanteur étant, aiix quantités près de Tordre ct^ la même que celle c[ui àdirait lieu à \k surface de la sphère du rayon a , c'est-à-dîré égale â \it.ff.d.c^y on aura g'=^^7r(l-fl*o^^da\ par conséquent , ' "
— 2.(cos» « — f ) . /{.a«da
Le rayon du sphéroïde a la surfkfcè^sera donc
Ce irayon est celui d'un ellipsoïde dé' révolution: ainsi doriCj^ dans ce cas général , comme dans celui de l'homogénéité, la surface libre du fluide', et par conséquent celle de chaque couche de niveau , ont la figure elliptique.
Si, pour abréger, Ton fait
I expression du rayon de chaque couche sera de c^tle forme :
a[i + aYo— «i^(cos* 9 — i)].
Y. étant arbitraires , si Ton fait Yo = — jh, Texpressîon précédente devient a{i — ah cos'fl) et cch T eprésente .alors reiiipticité de la conche. A la surface du sphéroïde , ou a a== i, et le rayon devient X — eth cos* Q. La diminution des rayons , en allant de Féquateur au pôle,.. est idonc encore proportionnelle à cos* 6. et par conséquent au carré du sinus de la latitude, . , . -
Le rayon osculateur du méridien dont le rayon est de la forme i — ct^ cqs* 0 , a pour expression
I ^2cih(i — 2 TOs'ô).
Désignons par c la longueur d'un degré mesuré sur le cercle dont le rayon est.i -^aâtA. l'expression du degré du méridien du sphéroïde sera
3ctAc? cos* fl.
c représente donc la grandeur du degré sous Téquateur, et les degrés du mérijdien croissent de Téquateur au pôle , proportionnellement au carré du sinus de la latitude^ tandis que les rayous menés du centre à la surface du sphéroïde diminuent suivant la même loi.
Si l'on applique à la Terre les résultats précédens et qu'on la considère simplement comme un sphéroïde composé de couches elliptiques de densité et d'ellipticité variables, en substituant pour Y^ sa va^ leur dans l'équation (g) , et en observant que Vin" tégrale ff.dh est jiuUe à la sur£^Cje, on aura
