frd.a'h + 5(^l^2hyffd.a^ = o. (k
Cette équation détermine la relation qui doit exister pour l'équilibre entre la densité / et rellipticité ah de chaque couche du sphéroïde. Elle donnera , en l'intégrant, layaleur de cette ellipticité, lorsque la loi des densités sera connue.
Les densités étant supposées aller en diminuant du centre à la surface , il résulte de cette équation que l'ellipticité de la Terre est moindre que dans le cas de l'homogénéité , à moins qu'on ne suppose que les ellipticités croissent de la surface au centre dans un plus grand rapport que la raison inverse du carré
des distances à ce centre. En effet, soit A= — ^ on
aura
ff.d.a^h = ff.d.a?u:=iuff^d.a?'\^fdu.fa?.df*
Si les accroissemens des ellipticités sont entre eux
dans un rapport momdre que —, u augmentera du
centre à la surface; du sera par conséquent une quantité positi^s^e, et Comme dfe&t négatif, puisqu'on suppose que les densités diminuent du. centre à la surface, fdufa?.df sera aussi. une quantité négative , et en faisant à la surface
ff.d.a^h = (A — f)fr.d.a\
f sera une quantité positive. L'équation (k) , en y substituant cette valeur , devient
6{h — f)ff.d.a^ + 5Q^^2h^/f.d.a'—o,
d'où l'on tire
L'ellipticité eth du sphéroïde sera donc moindre que
-^; elle sera plus petite par conséquent que dans
le cas de l'homogénéité, où df étant nnl^^ / est égal à zéro.
On peut conclure de là que l'aplatissement de la Terre, dans l'hypothèse la plus vraisemblable qu'on puisse faire sur sa constitution intérieure > est
plus grand que - , valeur qui répond au cas où toute
sa masse serait réunie à son centre , et moindre que
-ji valeur qui répond au cas où cette masse serait
boçiogène, Iji eflfet^ il est naturel de croire que la densité des couches du sphéroïde terrestre augmente en approchant du centre^ et cette supposition est même indispensable à Fégard dé tous les corps célestes s^îls ont été originairement fluides ; il est probable aussi que les ellipticités diminuent dans un rapport
moindre que —, puisque cette hjrpothèse donnerait
une ellipticité infinie aux couches infiniment voisines du centre , ce qui est absurde.
35. Considérons les variations de la pesanteur à la 5(urface du sphéroïde que nous supposons composé de couches elliptiques d'une densité variable du centre à la surface.
La direction de la pesanteur de la surface au centre
n'est plus alors une ligne droite, elle forme une courbe dont dbaque éleitienf est perpendiculaire à la couche de niveau qu'il traverse. L'ëquation {f) , en remarquant que parce qui précède, on a Y,=o, Yj = o ^tç. ^ ^do]:]tQeli la suvfac^ où les couches iaté* rieures et extérieures se confondent ,
+ î^^-.-^.(cos*4^|)- . - ^
On aura l'expression de la pesanteur à la sUrPace du sphéroïde , d'après jce qui a été dit n*' 55, en changeant le signe de la difierentielle du second membre de cette équation prise! pdir rapport à /-•et divisée par dr. En nommant donc p cette force , on aura
OU b^ex^ fin qti^ervaiiiilj qu'A la surface qn 9
et que nous negligeoni? Içs quantités de l'ordi^Çj a* et
'iiii. ... ,11'»*. 4 ''
4* 4«^* 'ff ' ^ '{''■ -Y* H- X •^•)^ S .g4-g(cos'8- 1).
On peiit, faire disparaître les. intégrales de fietteiexpre^iipn^ en ; observant que l'équatioln (h) donfne à la sdrface
4a8 THÉORIE ANALYTIQUE
En faisant, ponr abréger,
et observant qne g=^^.qff.d,ifi ^ on
aura
ou bien en faisant
et négligeant les quantités de l'ordre «•, p = P'.[, + (fy-.aA).cos»8].
Si l'on suppose 0== 90% on a ;» = F, a suit donc de
cette équation que P' est l'expression de la pesanteur
à l'équateur, et que la pesanteur croît de l'équateur
au pôle proportionnellement au carre' du sinus de h latitude.
Si l'on nomme / et L/ les longueurs du pendule coi^ respondantes à ;> et F, on aura
/=:L'.[i+(|g aA).Cos*fl].
L' est donc la longueur du pendule à l'équateur, et ses.acçroissemensde l'équateur au pdle sont encoK proportionnels au carré du sinus de la latitude.
Si l'on désigne par «c l'excès de la longueur du pendule au pôle sur sa longueur à Téquateur divisé par cette dernière longueur, l'équation précédente
donnera a€ *|-* «^A = f 7 » équation qui fait connaître une relation importante entre les longueurs du pen» dule qui bat les secondes à la sur&ce du sphéroïde et son ellipticité. Dans le cas de Thomogénéité , on a ahz=si ^q , et par* conséquent , ai =s ah , comme nous rayons vu n* 55; mais , si le sphéroïde est hétérogènej l'excès de la longueur du pendule ^au pôle sur sa longueur à Véquateur di^^isépar cette dernière longueur, et V excès de Vaxe de Véquateur sur l'axe du pôle divisé par ce dernier axe, forment deux fractions dont la somme est constante et égale au doid)le de l'aplatissement que le sphéroïde aurait dû prendre dans le cas de Vhomogénéité*
56. Les formules précédentes donnent le moyen d'exprimer , d'une manière très simple pour les sphéroïdes dont la surface est supposée fluide et en équilibre 9 la . fonction d'où dépendent les attractions du sphéroïde sur un point extérieur. En effet ^ les formules {h) et (m) donnent
//.rf,a% = 5Y../f.«-^ + f£(cos*e-i) fp.d.af-^'Y, = (2i'i^i)Yff.a^da,
i étant un nombre quelconque différent de 2.
Si l'on substitue ces valeurs dans celle de Y relative aux points extérieurs n* ^3 ^ qu'on place l'origine des coordonnées au centre de gravité du sphéroïde , ce qui donne Y, =0, et qu'on suppose Y» =0^ on aura
Dans cette expression^ 4^/fa*da , l'intégrale étant
43o THÉOUlE ANALYTIQUE
prise depuis ahszo ju^a'à asssi , rèpré9eiite la masse de la sphère dont le rayon est. i et que rë^tion Yosso suppose égale en solidité <tù sph^oïde; 47rffa*da est donc égal à la masse du sphéroïde.
La yaleur précédente de Y confient à toute e^èce de sphéroïdes. Si l'on considère le cas particiilier oii le sphéroïde est composé de couches semhkbies dont la densité Tarie suivant une loi queleonqiie du centre à là surface, on aura
Y.=— ^(cos*8— f), Y, = o, ¥4=0, etc. On a d'ailleurs g = /çrqffc^dà^j par conséquent ,
Cette expression s'applique natorellement aux planètes , et en particulier à la Terre, dont la surface est recouverte en* très. grande partie d'un fluide en équilibre.
37 . Nous terminerons ce chapitre en exposant quelques propriétés générales relatives à la figure des corps célestes y qui dérivent très simplement de l'expression des rayons dé leurs surfaces^ et qu'il est d'autant plus utile de connaître , qu'elles sont indépendantes de toute hypothèse sur leur constitution intérieure. Nous considérerons ici le cas le plus général^ celui où le sphéix>idé, toujours fluide à sa surface , peut recouvrir un noyau soGdé peut différent de la sphère. '^
La première de ces propriétés dépend de la nature du centre de gravité; ellie (H^nsiste en cequéda masse
fluide en équilibre doit toujours se disposer de manière que la fonction Y. disparaisse de l'expression du rayon mené du centre du sphéroïde à la surface y en sorte que le centre de gravité de celte surface coïncide avec celui du sphéroïde.
Sri effet y soseat dM. une des molécules du sphéroïde, e\ Xfjr, Zy ses trois coordonnées rectangulaires; on aura, en plaçant l'origine des coordonnées au centre de gravité ,
fxdM = o, fydM. = o, fzdM == o.
Nommons R le rayon mené du centre de gravité du sphéroïde à Télément dM, 6 l'angle que forme ce rayon avec l'axe des x qui est .aussi l'axe de rotation, et cù l'angle compris entre sa projection sur le plan des^, z et l'axe des.j*. On aura
a:=Rcosfl, ^=;R.sinflcosû), z.=:Rsin8sînâ)
dM = fR^dRd^da^ sin fl.
Les trois équations qui résultent des propriétés du centre de gravité deviendront donc
fpK^dRd^dcû sin fl =: o / ^
//>R3^rfôrfû)sin*flsinû) = o, ( (/) //RyR€/flrfa>sin»6cos»=:o. )
Supposons rîntégrale ffR?dK prise relativement à R , depuis R = o jusqu à la surface , et développée dans une suite de la forme
No + N. +N.4-etc., dont chaque terme soit assujetti à l'équation aux dif-
43a THÉORIE ANiXTTIQUE
férences partielles ,
-7iïô3r- + s-i^r ^ + '^* + ')Ni = o.
On aura gënëralement, par le théorème du n^ iS, / étant différent de l'unité , v - ^
/Ni sîn 6 cos ô^rfû) = o , /N| sîn' fl sîn côd^où =o,
/N|Sin' 6 cos cùc^dso = o.
Les trois équations (Z) deviendront donc simplement 9 en vertu des précédentes ,
/Nj sin 0 cos Qd^dœ=:o , /N^ sin* Q sin o) d&dcûz=io ,
/N. sin* 8 cos û) éjfSeiEûi := o.
La valeur de N. est de la forme
N,=H cos 6 -f- H' sin 0 sin oi+H^sin 8 cos e».
Si Ton substitue cette valeur dans les équations données par la propriété du centre de gravité, on verra , que pour y satisfaire , il faut supposer
et par conséquent N, =; o. Or, cette condition est la seule nécessaire pour que l'origine des rayons R de la surface soit au centre de gravité du sphé^ roïde.
En effet, supposons le sphéroïde un solide peu différent de la sphère, recouvert d'un fluide en équilibre; on aura, dans ce cas, R=a(i + a/) et par
conséquent ' »
la différentielle et Tintégrale indiquées étant ^ r6la^ tives à' la variable a dont f est- fonction. On aura donc dans ce cas , en mettant pour y sa valeur Yo-f- Y. + etc, . • I
Uéquation (m) du n* 54 donne a la surface ^ eh observant qu'alors a = i , .
la valeur de Y, se rapportant h là surface.' On aura donc
N.=«Y,//».<f.fl»;'
et puisque N, ii=o, quand on suppose Tèrigine des rayons R au^ centre de grav^t^é,, oq. aura^. dans ce cas, Y. = o, , Ainsi 4pnc la. foncti^ç Y, . difipsjijaîtra d'elle-même de l'expression du rayon de la surface du 'sphéroïde y toutes les fois qu'on fM'endra le centre de gravite ^pour origine dés. coordonnées , mais il n'en résulterauaucune cônditîoa particulière pour les fonctions Y. , Y3, etc.
Nous avons vu, dans le diapîtreV, liv. î*",qi4e.pour la stabilité du mouvement de rotàtî^n duii corps,* il faut que l'axe autour duquel il tourne coïncidé toujours, à très peaprès, avec Tun de pes axes principaux. Si cette condition n'était pas remplie à Tégard des corps célestes ^ il éh't^ulferait dans la position de Tome II. :28
434 THÉORIE Alf AUTTIQUB
leurs axçs de rotation des variations sensibles , sur* tout pour la Terre; et comme les observations les plus précises ^n'en font apercevoir aucune , il en faut, conclure ^ue* les molécules de ces corps ^ à Tepoqi:(9 dq leur formation, se sont disposées de ijnanière k rendi^e st^blqs Jieur^. sncesdç rotation. Il «n résulte une nouvelle propriété relative à leur figure, et qui consiste en une forme particulière que doit prendre dans ce cas la fonction Y* qui entre dans l'expression du rajon mené de l'origine des coordonnées à la surface du sphéroïde.
Pour le faire voir, désignons par or, ^, z les trois coordonnées rectangulaires de J'élépient dM. rapportées aux trois axes principaux qui ^e croisent au centre de gravité du sphéroïde ; oii aura , par la nature de ces axes , /
fxyd!A^f>f fxsdM=zo, fjrzdM=o.
Si To'n sufbstitué pour â^, jri z etdM leurs Valeurs précédentes, dts équations dètiéiikient '
' JfK^dS^d9de»^sin^9cm0iiosyc»:;iR^,i ff^^^^dm.én* 9 cos |8 sin .^ pz^- o > ffK^dRd6dôÊ*mi^^siït'2Sî;*:io^. /
Supposons l'int^rale f.fK^dR prise par rapport à R, depuis l'origine des coordonnées jusqu'à 1^ surfacç^ et àéveioppée en suite cle la forme
ik fonction Uf.<é(sint, qliel qq$ soit i, assujettie à
DU SYSTEME DU VLOSIfE- 435
l'équation aux différences partielles
, . »dUi
dé , I a*Ui , ./• I Ml
Eq observant que les fonctions sîâO cos Ocosû»^ sia 8 ces 8 sîn û) et bîn*9sin2â» sont comprises dans la forme générale U. , on aura , paf le fhéDrème du n"* 1 8 y i étant différent de 3 ^
fUid^doù sin 6 cos 8 cos a» == o / /U|(i6é/â> sin 3 cos 0 sin £» 3= o y fUid^dcù sin* 6. sin 30)== p,^
et les trois équations données par les propriété^ des axes principaux deviendront ainsi
f\\^(^d(ê sin fl CQs 9 cos ^» = o 9 . /tJ^£3?ôû?û)sinÔcos Osïnûi =0, fXi^d^doùfin^ 9 sin 300 = o.
La fonction U^ est de la forme
K(cos> 6>— IH-K' .<in â iûosfi sin A>+K"sitiâcQÇ fi^ôé o»
