K'" sin* ô sin 2« + K" sin* 6 cos

Si l'on substitue cette valeur dans les équations précédentes, elles donneront '

K' = o, ^K't=o, YL't:^o. ■

Ce sont les co^ditionç nécessaires e.t suffisantes ]M>ûr que les trois axes des x \ des j et des z soient des axes, principaux de rotation, et il en résulte qiils 1^^

est de la forme

K (cos' fl — i) 4- K»' sin* B cos a(».

Voyons ce que devient la valeur de U, relatlrement à un sphéroïde très peu différent de la spbère et recouvert d'un fluide en équilibre. On a, dans ce cas, R s= a(i + «X") , et par conséquent ,

ffK^K = 1 ffd.aXi + 5ar) ;

en substituant donc pour j^ sa valeur

Y. + Y. + Y. + etc, on aura

On a , par Véquation (h) , n** 54 , à la surface da sphéroïde , en supposant que la seule force étrangère qui agit sur lui est la force centrifuge due i son luott' veraent de rotation , -

^J^ffd,aX=^ f <tjrY,.fr.d.a^ + 1. (cos' 0- j). On aura donc

U.=Ç.Y../> d.a'+ ^.(cos'6— i).

L'expression générale de Y. est de la forme

^(cps'û — -D+A'sinfl cos8sina>-|- A'^sin OcosOcosû»

+ Aî^^sin* flisin !3iû>+ A*'sin* fl.cos 2®.

ii Ton substitue cette, valeur daris l'expression pr^'

cédeute, qu'on remplace de même U» par sa valeur K(c08*ô-— j) 4-K'^sin^fl cos am, en comparant les fonctions semblables dans les deux membres, on aura

ifc'zso, h!'=^o, F's=o,

et Texpression de Y. sera de la forme

k (cos* 9 — {) + k'^ sîn^ 9 cos 2a.

U suit donc de la supposition que le sphéroïde tourne autour d'un de ses trois axes principaux , que les trois constantes k\ k'^ k'^' qui entrent dans la valeur de Y. sont nécessairement nulles : mais il n'en résulte aucune condition relative aux constantes k et k^^f qui restent indéterminées ainsi que les fonctions Y3, Y^, etc.