CHAPITRE VI

Comparaison de la théorie précédente aux

observations.

38» Considérons d'abord le sphéroïde terrestre, (t comparons, relativement à la Terre, la figure qui résulte de la théorie précédente avec celle que Ton a conclue des observations. Quatre méthodes distinctes ont été appliquées à cette détermination. La première, toute directe et pour ainsi dire mécanique , consiste à mesurer des arcs de méridiens et de parallèles sur divers points du globe et à déterminer, en réunissant ces portions de la surface terrestre , la figure la plus probable du sphéroïde auquel elles appartiennent. Toutes les investigations de ce genre qui ont été tentées jusqu'ici conduisent à un résultat incontestable, c'est que la Terre a la forme duo sphéroïde aplati vers les pôles et renflé à son équa* teur , comme l'exigent les lois de lHydrostatique Les mêmes observations montrent, il est vrai , qu'eu quelques-unes de ses parties la Terre s'éloigne sensiblement de la figure d'un ellipsoïde de révolution; mais lorsque Ton compare entre elles les valeurs

DU SYSTÈME DU MOÎiÛR- 439

moyennes des degtés^ mesurés à des latitudes ttès distantes , l'influenee des irrégiilaidtës de sa^SHttfaee sur ies. rësulfab des opérations géôdéstques est beau?coup atténuée, et Ton trouve alors quelle, ditTèro peu d'un sphéroïde elliptique doiit:.rapiatissemeikt serait de 3-^.

Le second procédé qn'eni]doîeat les géomètre&pour déterminer la figure de la Terre ^ résulte des varia«* tiens qu'on observe dans l'intensité de. la pesanteur aux difierens points de sa surface , et qu'on calcule avec beaucoup de précision parle nioyen du pendule» Si la Terre a la forme d'un ellipsoïde de révolution peu différent de la sphère , d'après la théorie déve^ loppée dans le chapitre précédent, les.acçrois^emens de la longueur du pendule à secondes transporté en divers lienx du globe^ doivent être proportionnels au sinus du can^ des latitudes | il sera donc facile , en soumettant les expériences à cette loi,: de reconnaître si la Terre s'écarte où non de la figure ellip*tique,'et de déterminer dans ce dernier cas son aplatissement. Les résultats dé ces recherches :OUt montré que les inégalités du sphéroïde terrestre ont beaucoup moins d'influence sur les variations des longueurs du pendule que sur celles des degi^ des méridiens, comme indique aussi la théorie, «fui prouve que les termes qui écartent rexpression des degrés terrestres de la loi eUiptiqnç, sont affectés de côefiîciens plus considérables qœ les tecmés cor- Tespondans dans 1 expression des longueurs du pen^ dule. U s'ensuit que cette seconde méthode est beanooup plus pt^pre que la première à fournir mr

la figure de la Teire des notions exactes, et l'aplatissenien;t qu'elle donne s'accorde d'une Êiçon remarquaUe avec celui qui résulte de robservation<lesmouvemeDs de la Lune.

Cette trèisîime manière de kléterminer laforme de notre ^lobe, moins directe que les deux premières, est peut-^tre ,un des résultats les plussurprenaos qu'ait produits l'application de l'Analyse à la grande loi de l'attraction universelle, et mérite d'obtenir une place importante dans l'histoire des progrès de l'esprit humain. Elle consiste à reconnaître^ parmi les nombreuses inégalités du mouvement de la Lune , celles qui dépendent de la non sphéricité . de la Terre , et , en comparant leurs valeurs données par l'observation à celles <^ résultent de la théorie dans la supposition que la Terre est un sphéroïde elliptique qui exerce sur la Lune une action modifiée par sa figure , à déterminer la valeur exacte de son aplatissement. Laplace p qui le premier conçut cette id«e ingénieuse, a trouvé, d'après les observations de Burg , que l'excentricité de la Terre résultant de ces phénomènes était de ^; et peut-être est-ce la donnée la plus exacte que nous ayons sur cet aplatissement, à cause des difBcultés des autres observations qui le déterminent , et 4e l'influence qu'ont sur elles les causes particulières qui écartent trop souvent la Terre de la figure elliptique.

Enfin > les phénomènes de la nutation et de la précession des équinoxes fournissent encore des renseignemens «précieux sur la figure et sur la constitution du sphéroïde terrestre. Ils ne donnent- pas^ il

est vrai , la valeur absolue de son aplatissement , mais ils fi>nt connaître deux limites entre lesquelles cette fractioa est comprise , et ces limites sont -^ et j^.

39. Déterminons d'abord la figure de la Terre qui résulte des mesures directes prises à sa surface. Si l'on imagine un plan passant par Taxe de la Terre et par le . zénith d'un point donné de sa surface , ce plaa tracera- dans le ciel un grand cercle qui sera le méridien du lieu, et la courbe que ce plan intercepte sur la surface de la Terre se nomme le. méridien terrestre f ou, par abréviation, la méridienne.

Lorsqu'en partant de l'équateur , on s'avance sur cette courbe en marchant vers le nord, on voit successivement la hauteur méridienne des étoiles situées au nord augmenter, tandis que ceUe des étoiles situées au midi éprouve une dépression proportionnée. Cette remarque très simple a sans doute donné aux hommes la première idée de la forme arrondie du globe; Si la Terre- était sphérique , les degrés du mér ridiaB , mesurés à diverses latitudes , seraient tous égaux entre eux; mais l'observation a fait reconnaître des différences notables dans ces degrés, et elle a montré qu'ils allaient en croissant à mesure qu'on s'éloigne de l'équateur; d'où Ton a conclu que la Terre est un sphéroïde aplati vers les pôles. En effets concevx)ns pour fixer les idées que^la Terre est un ellipsoïde de révolution: on peut supposer quun arc très petit du méridien se confond sensiblement avec le cercle osculateur déterminé par l'intersection des deux normales menées à ses extrémités, et l'arc de cercle compris entre ces normales sera d'autaiU

plus grand que son rayon sera plus considëraMe. Or, aux pôles ou à Vexlrémixé du petit axe, Tellipse pendant un court intenralle forme^ à très peu près, une ligne droite , les deux normales qui déterminent le rayon du cercle osculateur sont presque pârall^; ce rayo^n, et par conséquent le degré du méridien, sont alors plus grands que sur font autre point* La courbure des arcs elliptiques augmentant ensuite de plus en plus, les rayons osculateurs vont en diminuant sans cesse du pôle à l'équateur; par conséquent les degrés doivent aller en croissant^ à mesure qu'on avance de ce second point vers le premier.

Nous ne nous proposons pas d'exposer ici les pro« cédés géodésiques qui servent à déterminer les arcs du méridien terrestre ; on trouvera sur cet objet des détails circonstanciés dans l'ouvrage de Delambre, où cet astronome décrit les opérations qu'il a lui-même exécutées avec Méchain, pour la détermination de l'arc du méridien compris entre Dunkerque et Barcelone. Nous donnerons simplement les résultats des travaux qui ont été entrepris à diverses époques pour la mesure des degrés de la méridienne, et nous indiquerons la méthode que l'on doit suivre pour en con- <ilure quelle est la figure la plus probable que ces mesures assignent à laTerrç. Onxronçoit en effet que, comme il est impossible de déterminer dans toute son étendue le méridien terrestre , il faudra commencer par faire une hypothèse quelconque sur la nature de cette courbe et sur la figure générale du globe» On déterminera ensuite les arbitraires de ces suppositions au moyen des données fournies par les opérations

géodésiques , et Ton examinera enfin si la figure qui en résulte pour le sphéroïde terrestre peut concor* der avec celle que l'on conclut des autres phénonoiènes observés.

Supposons^ en premier lieu, le sphéroïde elliptique et de révolution. C'est l'hypothèse la plu[s simple que Fon puisse faire sur là figure de la Terre , puisqu'on sait d'avance que l'hypothèse d'une figure sphérique ne saurait lui Convenir; d'ailleurs ^ c'est celle qui résulte directen^ent des lois de l'Hydrostatique f si l'on suppose que la Terre était originairement fluide et homogène ^ et 'qu'elle a conservé, en se durcissant, sa figure primitive. Proposons-nous donc de déterminer, parmi toutes les figures elliptiques qu'on peut donner au méridien terrestre « celle qui s'accorde le mieux avec les degrés mesurés. Soient c, , c. , C3 , etc. ; les longueurs de ces degrés, L, , L. > L3 , etc. , les latitudes correspondantes au milieu de chacun d'eux. Puisque nous supposons que la Terre est un ellipsoïde de révolution qui s*écarle peu de la figure de la sphère, la variation des degrés à sa surface sera proportionnelle au carré du sinus de la latitude; on aura donc généralement

c=i: a + i . sin*L, {a)'

a et 6 étant deux constantes dont la première représente la grandeur 'du degré à l'équateur et l'autre dépend de < l'aplatissement du sphéroïde terrestre.

En substituant respectivement c^y t?,, Cj, etc., Lj , L., L3, etc., à la place de c et L dans l'équation

précédente , on aura aatant d'équations qu'il y a eu de degrés mesurés. Si la Terre était ngoureusement elliptique, et &i les observations étaient parfaitement exactes, toutes ces équations, de quelque manière qu'on les combinât entre elles, donneraient à très peu près pour a et b les mêmes valeurs; mais cela n'a pas lieu généralement , et les degrés mesurés à diverses latitudes ont donné pour la figure des méridiens des ellipses très différentes» Il s'agit donc de combiner le système des équations précédentes, de manière à en tirer les valeurs des inconnues a et b qui , substituées dans la formule (a) , représentent, avec le plus de précision possible, les mesures observées. Voici, pour y parvenir, une méthode très simple et qui peut être utile dans une infinité de cas semblables, par exemple, lorsqu'étant donné un nombre quelconque d'observations d'une comète, il s'agit de déterminer parmi toutes les courbes paraboliques qui peuvent représenter sa marche, celle qui satisfait plus exactement que toutes les autres à leur ensemble.

Comme il est impossible, quelque valeur qu'on suppose aux constantes a et b, de satisÊsiire à la fois à toutes les équations qu'on peut former par la sub^ titution des quantités ^^ , c», etc. , L|, L«, etc., à la place de c et L dans l'équation (a) , on suppose que les différences des résultats sont dues aux erreurs dont les observations sont susceptibles. La question revient alors a trouver le. système de ces erreurs , qu'on peut distribuer arbitrairement sur l'ensemble des observations, dans lequel la plus grande erreur est moindre.

abstraction faite du signe ^ que dans tout autre système, et à déterminer a et 6 par cette condition. C'est à quoi on parvient très facilement par la méthode des moindres carrés ^ imaginée par M. Legendre , et que Laplace a en effet reconnue comme la plus exacte et la plus simple que l'on puisse employer dans toutes les quqstions de ce genre. Ce procédé consiste à rendre la somme des carrés des erreurs un minimum par rapport à chacune des inconnues du problème. On forme, en exprimant analy tiquement cette condition, autant d'équations qu'il y a d^ificoi>nnes à déterminer , et il ne reste plus pour les obte>nir qu'à résoudre ces équations par les méthodes ordinaires.

Soient donc e,, e«, e^y etc. , les erreurs des degrés mesurés c, , ^.; etc., en substituant c, •+- e,, c^ ^e^y ttc. , à la place de c^ , e. , «te. ,.dans la formule (a), on formera les équations suivantes :

Il »

• c, — ' a — A.sîn* L, = ^, , r, — fl — !&.sin*L. £=3 e,, ^3 — ^ — i.sin^ L5 =^3, ^ (b)

c^ — ^ . i.sîn* L„ =3 ^,j

n étant le nombre des degrés mesurés.

Il faut exprimer maintenant que la somme d^s carrés des erreurs ej + ej -4- etc. . est .un mnànum par rapport à chaque inconnue aetb, ce qui revient évidemment à multiplier tous les termes, de chacune des équations précédentes^-pàr lecoefficient de celte

inconnue , prî$e avec son signe ^ et à égaler à zéro la somme de ces produits. Ainsi ^ tous les coeffi* ciensde a étant Tunité dans les^éqqations précédentes, -pour obtenir l'équatioïi du mi^niidm par rapporf; à a, il suffira de les ajouter entre elles; 'pour former la même équation relative k h, on multipliera la première par sin* L, , la secondé par sin* L» , la troisième par sin'Ls, etc. Oaajout^^ ensuite entre elles les équations résultantes^ et en égalant à zéro les deux sommes précédentes^ on aura les.équatîons cherchées. On trouvera , de cette manière / les deux équations suivantes : . .

an -|-i.2.sîri*L, — l.c^ = ô, | û . 2 , sin^ Lj -f- i . 2 .sin^ L, — 2 . c, sin* L^ = o, ' ) ^^^

la éar^etéristique 2 désignant généralemeii^ la somme de toutes les quantités^seoiMables qu'on 4)eut former en considécant Tensisixible fdèSf obstervatious données.

Les deux équations (c) suffiront pour déterminer a et b, et en substitual^itLjeiïSuile leurs valeurs dans les équiitioi^s (^)y. pu aura les erreurs ^if ^ft> ^3 9 etc. ^ qui conviennent au système où les erreurs extrêmes sont renferipi^ée^ dan$ les plus étroites limites possibles , et l'on verra si ces erreurs sont telles, qu'on les puisse attribuer aux iflcorrtctÎQns de l'observation. Mais si parmi elles il < s'en ttotTâit quelqu'une trop coùsiderab))^ pour qu'il soit possible de l'adinettre, oh; rejetterait les. degrés mesurés «qui ont donne cette erreur comme provenant d'opérations défectueuses, et l'oii déterminerait les constantes a

et 6 au moyen des équations restantes ^ qui donneraient alors diss résultats beaucoup plus d accord avec les observations.

Coaime les considérations qui précèdent sont fondées sur la supposition que les degrés croissent proportionnellement au carré de la latitude ^ et que la même loi , dans Thypothèse de la figure elliptique de la Terre, convient également à la variation de la longueur du pendule , il est clair que la méthode que nous venons d'exposer peut s'appliquer identiquement aux mesures du pendule à secondes observées à diverses latitudes, et donne le moyen den déduire avec le plus grand degré de probabilité possible Taplatissement de la Terre.

40. La méthode précédente est la plus simple que l'on puisse employer pour reconnaître si la figure du sphéroïde terrestre, conclue des mesures géodésique^ prises à sa surface et de l'observation du pendule , 8 accorde avec celle qui résulte des autres phénomènes; mais elle suppose que les degrés du méridien que Ion compare entre eux opt été conclus d arcs différens , mesurés dans des régions) éloignées du globe. S'il s'agissait simplemenf de déduire de l'un de ces arcs, mesuré avec beaucoup de soin, comme la été Tare compris entre Dunkerque et Barcelone , l'aplatissement de la Terre, voici la méthode que Ion suivrait dans ce cas.

Nous avons vu, n** 34, que si l'on suppose que la Terre, originairement fluide, a conservé en se refroidissant la figure qu'elle avait prise à l'état d'équilibre, le rayon de sa surface pouvait .être ex-

primé par la forimilesuivMte :

r = a(i — aAcos*fl),

a représentant le demî-axe de Téquateur, 0 langle que forme le rayon r avec l'axe des pôles , et cth laplatissement de la Terre , que nous regardons comine une très petite quantité dont on peut négliger le carré et les puissances supérieures.

Nommons s l'arc du méridien terrestre corapris entre les deux rayons vecteurs aet r; on aura géné-

. ralement ds =z^-- v/f*^6* + dr* $ . l'arc s étant supposé croître de l'équateur aux pôles. La valeur précédente de r donne , en la différenciant »

dr z=: nacth s\x\ 0<ros 6^9.

On aura donc, en négligeant les quantités de l'ordre