CHAPITRE PREMIER

Déifeloppement de la fonction perturbatrice en série ordonnée par rapport aux excentricités et aux inclinaisons des orbites jusqu'aux termes dépendans de la septième puissance de ces élém^ns.

I , Nous avons donné dans le n® 8i du second livre, l'expression de la fonction perturbatrice R développée jusqu'aux termes de l'ordre du carré des excentricités inclusivement ; mais on est obligé de porter plus loin ce développement à mesure qu'on veut atteindre à un plus haut degré d'approximation dans la théorie des raouvemens planétaires. Nous allons donc tious occuper d'abord de cette pénible opération.

Considérons l'action réciproque de deux planètes m et ni en mouvement autour du soleil. En désignant par R la fonction qui exprime cette action, on a, n* 48 du second livre

Xy y y z étant les coordonnées rectangulaires de m relatives à trois axes fixes passant par le centre du soleil, rson rayon vecteur dans son orbite, et x\y y z', r' exprimant les mêmes quantités relatives à /»'. Si

l'on nomme p la distance des deux planètes entre elles, en sorte qu'on ait

la valeur précédente pourra s'écrire ainsi :

Sous cette forme on voit que K ne dépend que de la distance des différens corps du système entre eux et à l'origine des coordonnées, et que cette fonction est totalement indépendante des axes auxquels on rapporte les mouvemens de ces corps.

Cela posé y pour plus de simplicité^ prenons pour plan deso:^ un plan passant par la commune intersection des orbites de m et de m\ et pour axe des x cette intersection même. Si l'on nomme i^ langle que le rayon r forme avec cette droite, / Tangle formé par cette même droite et par /, (p et (p' les inclinaisons respectives des orbites de m et de m' sur le plan Bxe, on aura

ic= r cos V, jrz=:rs\nv cos (p, z = r sini^sin^, a:'=:r'cosi/, ^'srrr'sini^'cos^', jss^s/sinp'siu^.

Si Ton substitue ces valeurs dans R , qu'on nomme y l'inclinaison mutuelle des deux orbites , et qu'on observe que ^' — ^=^ en faisant, pour abréger,

V= — r/ sin V sin p'=^r/[cos [^ + ^') — cos (/ — ç)]; en sorte que X représente le double du sinus de la

moitié de l'angle que forment entre enx les plans des orbites des deux planètes , on trouvera

R = iwf , /

L j/r* +/*— 2rr cos (i'^— tO — A» V rcos(i'' — if) I , V"l

fonction qui ne dépend plus que de l'inclinaison mu-^ tuelle des orbites et de la position respective de m et de m' par rapport à la ligne des nœuds.

Soit n la longitude du nœud ascendant de Forbite de m% comptée sur l'orbite de m à partir d'une ori-gine fixe ; pour rapporter à la même origine les angles p et i^, que nous avons supposés comptés sur les plans . des orbites respectives des deux planètes , à partir de leur commune intersection , il suffira de substituer if — n et i^ — n à la place de v et de s/ dans les expressions précédentes. L'angle v' représentera alors I9 distance de la planète m* à sou nœud , comptée sur l'orbite de m' et augmentée de la longitude de ce nœud, comptée sur le plan de l'orbite de m, de la même: origine que l'angle v.

La fonction que nous avons désignée par V deviendra ainsi

V = I rr' [cos (i' +■ <^' — ^H) — cos (i^' — ii)J;

et c'est cette valeur qu'il faudra substituer dans Texpression précédente de R, qui n'éprouvera pas d'autre altération .

Cette expression conservera la même forme ^ quel

que soit le plan.passant par le centre du soleil^ auquel on rapporte le mouyemeot des deux planètes ^ pourvu qu'on exprime les coordonnées Xj/^z, or', etc., relatives à ce plan , en fonction des coordonnées polaires de m et de m! ; elle a donc toute la généralité dont elle est susceptible.

2. Il nous sera nécessaire dans ce qui va suivre d'introduire dans la fonction R les variables qui déter* minent la position du plan mobile de l'orbite de m par rapport à un plan fixe quelconque, quantités qu'elle ne renferme qu'implicitement, sous la forme précédente. Pour cela, nommons <p et <p' les inclinaisons respectives, et n et FI' les longitudes des nœuds des orbites de m et de m'. Sur ce nouveau plan, ou aura

" cos y = cos (p cos <p* -f- sin.(p sin ç>' cos (IT — II).

En substituant donc dans R à la place de. . i

A* = 2 (i — cos >) sa valeur, cette quantité se trouvera exprimée en fonction des angles ^, <p', H et n', relatifs à un plan fixe quelconque passant par le centre du soleil.

Si l'on rapporte, comme nous l'avons fait n® 86, livre II, le mouvement de m au plan de son orbite primitive, l'inclinaison ^ et l'angle II' — Il seront de l'ordre des forces perturbatrices, et l'on pourra négliger leur carré quand on fera abstraction des quantités du second ordre par rapport à ces forces. En

nommant donc y ce que devient y relativemeiit à un temps quelconque compté de l'instant qu'on a choisi

pour époque^ oa aura ^^z;=. y^ et par conséquent :

cos y SK CCS y + sin ^ sin y^

Il faudra donc dans l'expression de R substituer a(i-^C067' — sin^sin^) à la place de A*; en nommant

R la fonction résultante, on aura ainsi :

R=iii'[^

|/r'4-r'* — irr ^o%[y — v) — A' V 4- asm ^ sin y V rcos(/ — v) i^.V . . . Vn

yi -A-pr3 + sm(p5in>p5j.

On peut observer d'ailleurs que si , pour plan fixe des xjj on prend un plan passant par Fintersection commune des deux orbites, et ayant, relativement à chacune d'elles , la même inclinaison que le plan de l'orbite primitive de m ^ on aura :

X'=^r cos(f -^n) , j r=sr sin(i' — n)GOs^, z =rr sin((»» — n)sin^, j:'=sr'cos(/ — n), ^=r'sin(/— n)cosy, z'=/^sin(/ — n)siuy.

Si l'on substitue ces valeurs dans l'expression (1) de R, et qu'on néglige le carré de sin ^, quantité du second ordre par rapport aux forces perturbatrices^ on retrouvera l'expression précédente, et cette expression ^ d'ailleurs, d'après ce qu'on a vu^ est indépendante de la supposition que le plan fixe passe par la conimune intersection des orbites de m et de m!.

On conçoit maintenant que si ^ dans les deux fonctions R et R , les variables r, r', i^, «/', et la constante n , avai^it les mêmes valeurs , en sorte que la valeur de la fonction A fût la seule altérée en passant de Tune

à l'autre^ on déduirait immédiatement l'expression

du développement de R de celui de R^ en substituant dans ce dernier A*— 2 sin yj'tp à la place de A* j mais, par lefiet du déplacement de la commune intersection des orbites, les quantités i^, (/ et^ ont des valeurs différentes dans les deux fonctions. Commençons donc par déterminer les accroissemens que subissent

ces angles lorsqu'on passe de R à R.

Pour c^a considérons le triangle sphérique com* pris entre le plan de l'orbite primitive de m, celui de son orbite mobile, et le plan de l'orbite de m^

Les trois angles de ce triangle seront ^, ^ et i8o* — y

et , en nommant cTlI le côté opposé à l'angle y , par les règles de la trigonométrie sphérique ^ on aura, à très peu près

«^ et «rn + "'"^^

sin y 8in y

pour les deux autres côtés respectivement opposés aux angles ^ et ^.

Maintenant, i^ — FI, compté sur le plan fixe, est l'angle que forme le rayon r avec la ligne des nœuds de l'orbite de m', sur l'orbite primitive de m. Si l'on projette sur ce dernier plan le nœud de l'orbite de m! sur le plan mobile de l'orbite de m^ l'angle compris entre m et ce même nœud sera égal à l'angle i^ — Il , moins le mouvement de la ligne des nœuds pendant le temps tj compté sur l'orbite de m! et projeté sur le plan fixe, c'est-à-dire que cet angle sera égal^ à très peu près , à

-. sin ^fn p — n ~ — cos y.

sin y ^

D'ailleurs y la longitude de l'intersection de Torbite de m' avec l'orbite mobile de m^ comptée de la même

origine que les angles i^, i^ et 11, est II + ^~ — .

L^angle i^, ou la distance angulaire de m à la droite fixe, d'où les angles sont comptés, devient donc, relativement à l'orbite mobile ,

s^ -f- —r^ — (i — cos y).

Et eu désignant par (^, i^', n, ce que deviennent les

quantités v^ v et ïl^ relativement à la fonction R , on aura :

Sf — n =<^ — n — (1 — cos >) —7^ 7^ —

, ^ '^ ' sin y 81Q y

sm y

C'est-à-dire qu'en passant de la fonction R à la fonction R, l'angle i^ croîtra de— ( i —-cos yf^^ — , et l'angle II,

qui désigne la longitude du nœud de l'orbite de m' sur l'orbite mobile de m. de -^?-^ — , cTlI étant le raou-

^ sin y '

vement pendant le temps t du nœud de l'orbite mobile de m sur le plan fixe; enfin la fonction X recevra,

l'accroissement cT^. En négligeant donc le

carré de S<p et de eTlI on aura

lo THJÊORIE ANALYTIQUE

R=R-«rnsin(ptaDgf).^

dsf ^n sin ç dK ^ sin y dK

siii >/' dn A d?i

A la place de «Tll et de J^(p, qui déterminent les variations de l'orbite mobile de m relativement au plan fixe de son orbite primitive , on peut introduire dans l'expression précédente les quantités petq, que l'on considère ordinairement dans les formules du mouvement troublé , et qui sont des fonctions données de ces mêmes quantités JU et cAp. En effet si^ comme dans le n* 4^ du second livre , on fait

pssi J^. sin ^ sin n, q =z /. sin (p cos II,

en effectuant la différentiation et en supposant, pour plus de simplicité, FI = o dans les résultats, ce qui revient à prendre, comme nous le ferons dans la suite , l'intersection commune des deux orbites pour l'origine d'où les angles sont comptés, on aura

p = sin^cTn, q = cTp,

et par conséquent :

R = R-ptangi> f +^-A^

dR.

- 9 cos i 5. ^.

Cette valeur est celle qu'il faudra substituer dans les formules des n!* 44 ^^ 4^ ^^ second livre, qui déterminent les variations différentielles des élémens du mouvement elliptique de m autour du soleil troublé par l'action de m\ et l'on voit qu'il sera facile de dé-

duire par la différentiation des diffërens ternies de K

les termes correspondans de R, ce qui dispensera d'effectuer le développement de cettedernière fonction.

^. Cela posé, si l'on développe l'expression de R par rapport aux puissances ascendantes de A, on aura : * . ' —

R = m' r ' — r/.co9 (t.;-i^)n

Lv/r* + /* — 2r7cos(/ — i/) ^^ J

+iii'.i.?A^* — : î : . -

^40 [,-^4. r'*— an' cos (/— i/)]ï