I -4-c L'équation F(c,(p)=: F(c', ç') ayant lieu quel

que soit Ç>, si l'on suppose 9=:7r, ce qui donne ^'s-j-TT, en observant que d'après les lois de la multiplication des fonctions elliptiques de première espèce on a F(c','7r)=:2F(c,7^T) (*), on aura entre les fonctions complètes F(c) et F(c') la relation très

simple

Passons aux fonctions elliptiques de seconde es-

(*) Théorie des Fonctions elliptiques j n» ai

pèce. Les valeurs de (p' et c' tirées des équations (y) donnent I équation différentielle

^^f A / /« ' >^/ dé (ccosç + A)*

En faisant y pour abréger^ A = \/i — c*sin'<p, cette équation peut s^écrire ainsi»:

(i + c)d(p^ \/i — c'*sin*<|)' = ^.(A*— ift»+ccos(pA), d'où en intégrant on tire

(iH-c)E(c', (PO=E(c, (p)fèT(c, (p)+csin<p. ()x)

Cette équation fait voir que la fonction de première espèce F(c, ç) peut s'exprimer par deux fonctions de seconde espèce E(c, cp)^ E(c', ^'), ou en d'autres termes, que tout arc d'hyperbole peut s'évaluer par deux arcs mesurés surFellipse; ce qui est l'énoncé du théorème de Landen.

Si l'on suppose ^' = j tt et ^ = ^, on aura E(c% <p')=;E(c') et E{c, (p)=E(c, 7r)=2E{c). On aura donc simplement dans le cas des fonctions complètes ,

(i + OE(c') = 2E(c) — b'F{c).

Les formules (a') et (cT) serviront à exprimer les fonctions F(c, ^) et E{c, ^) dont le module est c , au moyen des fonctions semblables F(c',p') et E(c% ^') , dont le module est c', et réciproquement; car il est évident qu'on pourra déduire de ces pnêmes équa-

tions les valeurs de F(c', tp') et de E(c', (p') en fonction de F(c, ^) et de E(c, ^). Dans le premier cas , l'amplitude et le module de la fonction dérivée se détermineront par les équations (cT) , et dans le second ^ on les déterminera au moyen des équations (y).

Si f comme nous le supposons , c est une très petite quantité , on aura à très peu près cf^nm \/c\, le module c' de la fonction dérivée sera donc alors toujours beaucoup plus grand que le module c de la fonction proposée; si au contraire c' est le module de la fonction primitive , on aura ^ dans ce cas , à très peu près , c = jc'*, et l'on passera du module très petit c^ au module beaucoup plus petit c. On aura donc ainsi le moyen de transformer toute fonction donnée de première ou de seconde espèce en une autre fonction de même espèce ^ dans laquelle le module sera plus grand ou plus petit à volonté^ que le module de la fonction proposée. On pourra ensuite faire subir à la fonction dérivée, des transformations analogues , et ainsi de suite à Finfini.

Gela posé, concevons que étant donnée une fonction elliptique de première espèce F(e, Ç)) dont il faut déterminer la valeur approchée , on forme une suite de modules c\ c", c*', etc. , liés entre eux par les équations

qu'on prolongera ju;squ'à ce qu'on arrive à une ysl^ leur de c peu différente de l'unité ; qu'on détermine

les amplitudes correspondantes (p\ ip",^ *, etc., par les équations

sin(2^' — ^ ) = c sîn^ ,

sîn(3^' — cp'') = c'sin^", etc» ;

il en résultera une suite de fonctions de première espèce (Fc,<p), F(c', (p'), F(c", (p"), etc., qui seront liées entre elles par les équations

FCc*, ^')= 4-^ F(c', ^')= ^. H^' F(-, <P) ,

FCc-, O = '+1' F(c', <p")= i±^ i±î'.l±f: F(e, ^), etc.

Or, les modules c , c% c^, etc., comme nous l'avons vu ^ forment une suite qui croit d'une manière rapide; cette suite a pour limite Funité, qu'elle atteint au bout d'un petit nombre de termes} mais lorsque c est peu différent de l'unité, on a, à très peu près^

En nommant donc ^ l'amplitude correspondante au module très peu différent de l'unité auquel on se sera arrêté dans la suite ascendante c , c\ c^' , etc. , et en faisant pour abréger

ga THÉORIE ANALYTIQUE

F(c,(p) = HIogtang(45*+ï4>), (0

Si <p=:j7r, et qu'on nomme *' ce que devient alors l'angle <l>, on aura pour le cas de la fonction complète

F(c) = H log tang(45» + 1 *')•

Voilà donc la valeur de llntégrale donnée exprimée en fonction d'une quantité logarithmique facile à calculer , multipliée par un coefficient constant^ et la question prqposée est par conséquent complètement résolue; mais on voit^ d'après ce qui précède^ qu'on peut encore exprimer d'une autre manière la valeur de cette même intégrale.

En effet , la suite croissante des modules c , c^, c", etc. , qui a pour limite l'utiité , peut être prolongée indéfiniment dans le sens opposé; elle sera alors décroissante et aura pour limite zéro. Désignons par c, c^, c^p c^jjf etc., les différens termes de cette suite que nous supposerons liés entre eux par les équations

ou , ce qui revient au même , par les équations

Nommons ^^, Ç)^^ , ^^, etc. , les amplitudes correspondantes aux modules c^ , c^^ , c^^ , etc. , et déterminons leurs valeurs par les équations

tang(^^ — (p) = étangs, j *ang((p,,— (pj = *'tang(p^, > (n) *ang(<p,,,— ?)J = &"tang(p,,, ) etc. ;

on formera ainsi une suite de fonctions F (c, (p)^ F(c^ , (p^, ^(pnf ^/t)f etc., qui seront entre elles dans des rapports constans , en sorte qu'on aura

etc.

Les modules c^, c^, c^^^ , etc. , décroissent très ra-* pidement, et s'approchent promptement de leur limite zéro. Or, daùs le cas où c est supposé très

petit, on a à fort peu V^^e^Jyf^^^=fd<P=<P i

en nommant donc <t> l'amplitude correspondante au module auquel on s'arrête , et en faisant

H' = Ldtf/ . 1±£. . i±f* etc. ,

94 THÉORIE AITALYTIQUÈ

on aura

Lorsqu'on suppose ^ = j tt les équations (ri) donnent ^j=z7r, ^^s=!Z3ir , <p^=^4^*...<Pu=^2^*i'7C, etc. ; ^ désignant donc la limite do ces angles, si Ton fait

K = (r + cj (i +cj (^ +cj , etc., (x) on aura pour le cas des fonctions complètes

Ainsi donc il y aura toujours deux manières d'exprimer une fonction elliptique de première espèce, dont le module et l'amplitude sont donnés, par des arcs de cercle , au moyen de la formule (6) , ou par Jogaritlimes au moyen de la formule (é). On choi^ sîra la première ou la seconde de ces formules , selon que le carré du module c* de la fonction primitive s'#pptH>cli^«i diiYatitage d^ l'uae des deux; limitos ^ro ou, l'unité ^a6p 4^ diminuer autant que possible le q^mb^^ 49S tran«fori?ié^; çt d^ cette manient on n'aura jamais à calculer qu'un petit nombre de modwles 1^ d'amplitude correspondantes , pour arriver à une valeur suffisamment exacte de l'intégrale cherchée^

La même m^tbode d'approxîn^ation s'applique aux fonctions de la seconde espèce , mais les formules deviennent plus . compliquées à cause de la quantité algébrique qu'elles renferrtient j cependant, comme

cette partie disparaît dans le cas des fonctions complètes, et que dans les applications que nous ferons de cette théorie nous n'aurons que de pareilles fonctions à coasidiérer^ nous traiterons ici ce cas parti-»

culier, et les formules que nous obtiendrons seront

encore assez simples.

La formule {(â) donne la suivante :

Les valeurs des fonctions E(c^, ^J, ^(^/^> 9n)f ^^^*9 seront données par des équations semblables; oKi pourrait donc en déduire la valeur de l'intégrale E(c,(p), en fonction de celles de ces quantités qu on voudra choi^r , mais la réduction de la formule à laquelle on parviendrait de cette manière serait pé^ nible; il vaut mieux , pour Téviter, mettre sous une autre forme la formule précédente. Soit généralement G(Cj<p)=E{c,^) — F(c,^), on trouvera, en vertu de l'équation (o) ,

et par des transformations semblables ^ on trouvera

etc.

Au moyen de ces équations on déterminera par des substitutions successives la valeur de G(c,<p) en

g6 THÉORIE ANALYTIQUE

fonction des quantités G(c^,^^) , G(c,^,^,J des fonc^ tions F(c^,^^) , ¥(c^^f(pj , et de quantités algébriques. Supposons quW ait calculé la suite des quantités G(c,^), G(c^, (pj, etc., jusqu'au terme G(C|, (Pi) correspondant au module C| que nous regarderons comme assez petit pour être négligé, on aura \/ 1 — •Ci'sin^^irs i , et par suite E(C|,^|) = F(c„^,) :=fd(p' = *• En nommant comme précédemment 0 la limite des angles ^, ^yf ?/!> 6^* ^ o^ ^ui'^ donc alors G(C/,^|) s= o. Si l'on

suppose ^=± -^ , on aura <& = a'-'TT , et les angles

<P,9 ^iif ^^^*9 seront tous des multiples de la demi-circonférence, ce qui fera disparaître la partie algébrique des équations précédentes. On aura donc, en substituant pour F(c^,(p^), F(c,^,^J etc., leurs valeurs en

En mettant pour G(c) sa valeur E(c) — F(c) , et en observant qu'on a ^

on en conclura

E(c) = F(c)[i -;c«(i + i c,+ ^ CA, 4-etc.)}

Ou bien en faisant, pour abréger,

L=i-V(i+ic,H-|c,c„+elc.), (Ç)

et en observant qu'on a F(^) = K - , on aura , pour le cas des fonctions complètes ^

E(c) = KLl. f«,)

Cette formule peut s!appliquer non -seulement* à

des valeurs de c plus petites que l/- , mais même à

des valeurs peu différentes de Tunité ; elle suffit donc pour tous les cas que l'on peut avoir à calculer. Cependant , si pour compléter cette théorie on veut voîr ce que deviennent , par rapport aux fonctions de seconde espèce^ les formules relatives à l'échelle ascendante des modules y reprenons l'équation (;t); en substi-

tuant pour F(c,^) sa valeur ¥[c',^*)f elle donne

la suivante :

E(c,(p)=(i + c)E(c',(p')H-(i— c)F(c',(p') — csin(p, et semblablement

E(c",(p")=<i-4-c")E(c"',?"0H-(i-c")F(c"',^'")-^"sin<P"»

etc.

Soient E(c',(p'), F(c',(p'J, les valeurs de E(c,(pJ,F(c,(p) correspondantes au module & que nous supposerons assez voisin de l'unité pour ne pas pousser plus loin la série , on aura

V I — c**sin*^ s= cos ^' j Tome III.

par conséquent

E(c*,^') = /cos(p'd^^ = sîn ^,

Dans le cas des fonctions complètes il faut supposer ^ c= - T , et calculer les angles Ç)', ^", etc. , par les

équations (v) ; mais cette supposition ne ferait pas disparaître les quantités algébriques des formules précédentes. On ne peut supposer non plus ^'=-'7r, pe^rce qu'alors la valeur de F( c^^ ^') deviendrait iiw

finie ; mais si l'on fait ^'■"' = - ^, ce qui n'est sujet à aucun inconvénient , on trouvera , en remontant ,

(p= 2*""' -• En substituant donc pour F(c', ç'),

F(c",^"), etc., leurs valeui^, et réduisant les expressions résultantes , en observant qu'on a généralement

on trouvera

E(t^ (p) = K' (^^ + -y Hh -g- + etc.)

■+• F '*° ^ - ÎT TT^^î- Mais l'équation tang (^'"' — ^'),œs 6'taDg^^ dams

l'hypothèse de ^/"* = - i- ," «FonjQLe,tang ^* :?= -7=,

d'où Fou tire sîn cp' = .

qûaMifés près de Tordre (by que i on peut négliger^ puisque Toq Suppose à très peu près c' = i • On aura ainsi

, a'-'/ I — c*-' ac*-' \ a'-'

On a d'ailleurs

Su faisant donc

L = 6» (^i + -+4.__ + elc. ).

on aui^a pourrie cas de la fouctioo complète :

.. E(^J =»i ^ log tang (45- + 1 ^) + J,.

Cette formule s*applîque au cas où le nK>dule est peu dîflferenf de ruiiîté ; elle suppose seulement que Ton a pousse la série des modules assez loin pour que (Jfy §ôit une quantité négligeable , ce qui permet de faire à ^=.\. - .

La suite dès quantités ci^oîssyntes c , c' , ér'v etc. , dont la fimîte est Tunîte et là suite des quantités dé*^ croîssànfes c\\ c^^ , c^^^^^ etc. , dont la limite est zîéro , n en forment qu'une sfeulé liée pai* la même loi et quoii {>eul écrire ainsi . '

limite o . . . . c^, c.,, c. , c, c', c\ c'". . . . limite i.

Celtq i^uite , qui peut être prolongée indéfiniment

Nous aurons plusietii? fais, dai^s la^ ,9pit9 àe cet ouvrage, VoccasioD 4'en fjs^'rq ussige*.