Reprenons les Valeiirs des deux quantités b
et b^ qui nous restent à déterminer. D'après la formule (i) on aura
y I — ^ 2«codf^ + n*
% ^J o yi — â«cosf<+«^
Il y a plusieurs moyens de rainèner ces deux intégrales à la forme des fonctions elliptiques. Soit
sîn ((p + ô) = a sin fl , d'où l'on tire ' ' "'' '
Faisons pour abréger A ==: v/i' — ^^«•sin^, ces deux équations donnent en dififérentiant
jr £?Ô(«G0S9 — A)
CUf^SSZ . ' ' ' r.'i*» . •; ,
En vertu des mêmes équations on a d'ailleurs
' cos 9 :=^asin* 6 + cos â A« et par suite
V/i — 2acos^-f-a*=rV/a*cos»6 — 2ACO&&A-f«A*
= acds§ — A.
On aura donc
/•' "fciii' "!T...t ■■"y «tr* *nr^ ^ |/ 1 — 2iBC0S ^ + «* ^
^i^ cos^ ' rfô(<t sin^ ô 4- cos 6â)
V I — 2tfC0S^ + «* ^
DU SYSTÈME DU MONDE. io3
Si Ton intègre œs deux formules en observant que
a»sia*6= I — A* , et que Tintégrale fc/^os6 devant
être étendue depuis 0 = o jusqu'à fl = 29r, ce terme
est nul feutre ces limites , les expressions de b^!^^ et de b! deviendront
o |/i — «•sin'l*
Désignons par F(a) et £(a) les fonctions, complètes de première et de seconde espèce relatives an .module CL, c'est-à-dire celles qui se rapportent à des
intégrales prises entre les limites âssoetfi^s-TTt
Les intégrales indiquées devant s'étendre depuis 0 = 0 jusqu'à 6 = 2^. On aura donc ainsi
ftf=iF(«), *1'^=:^[F(«)-E(«)]. (i8)
Si l'dû substitue ces valeurs datis les équations (5) du n* ig^ après avoir fait ssszj, isssafOn aura pour
déterminer les coefficiens b^ et b^ ,
fi") 4raE(«)— (i-«»)F(«)-| .(«) '■{ "1 , V
io4 THÉQRIE ANALYTIQUE
et en faisant 'erisuitè ^ = - dans ces mêmes formules,
on en déduira
Ces valeurs ainsi déterminées, on peut déduire facilement tous les autres coefSciens des fonctions
V"S V^ et ri
Il ne s'agira plus que de déterminer les quantités F(a) et E(a). Pour cela, si l'on veut les calculer directement, il faudra , conformément à ce qui précède, former la suite des modules décroîssans «^ , a^, a^^jf etc., jusqu'à ce qu'on soit parvenu à une valeur peu différente de zéro ; on en déduira les valeurs de K et L par les formules (x) et (Çj n* 22 , et en substituant ces deux quantités dans les formules {ct>) , on aura les valeurs de F (a) et E (a). Mais il sera plus simple de déterminer ces deux fonctions par le moyen des tables de Legendre.
Enfin, sî Ton voulait faire dépendre comme dans le n® 5i du livre II, la détermination des quantités
bl , è, , etc.-, de celle des deux quantités b <
et 6 i , dont lies développemens en série sqpt plus convergens, ou aurait : > .
-(o) !« /»'slir - y ' ' —
0 ,=-/ a(p Vi — 2a cos(p -|- a* b,z=L^f ^r/(pcos(p\/» ^- 2ûtCOS(p •+-• ûfc*,
DU SYSTÈME W MONDE. loS
Expressions qui, par des transformations très simples, se ramèneront à la forme des fonctions elliptiques. Les formules précédentes sont , à ce qu'il me semble , les plus commodes que l'on puisse employer pour le calcul numérique des premiers coefiiciens
^j , b) f etc. , et cette manière de les déterminer
me parait à la fois plus simple et plus exacte que celle des séries. Elle réussit surtout lorsque a est une très petite quantité , en sorte que la quantité i— ^it ne diffère que très peu de Tunité , et l'on n'a besoin dans ce cas de calculer qu'un petit nombre de termes de la série flt^, a,^, a^^,, etc. , pour arriver k des résultats aussi exacts qu'on peut le désirer. Lorsque la différence i — tt est au contraire très petite , on est obligé de pousser plus loin la série des modules; mais le nombre qu'il en faut calculer n'est jamais bien considérable ; et d'ailleurs la théorie des fonctions elliptiques offre alors des moyens de profiter de cette circonstance même , pour simplifier les calculs et rendre les approximations plus rapides. On peut aussi alors faire usage des formules relatives à la suite ascendante des modules et l'on doit remarquer en outre qu'alors « étant supposé très peu différent de l'unité , ce cas est celui où l'on ne peut employer la méthode des séries à cause de leur peu de convergence.
Eu fin 9 comme nous l'avons dit^ des tables très exactes ayant été construites pour les fonctions elliptiques , on pourra déterminer par leur moyen , presque immédiatement et sans aucun calcul, les valeurs des quantités F(a) et E(a), quel que soit le module *,
106 TOtoRIE AVàLTTIQUB
lét les valeurs dés coefficiens b\ , b,\ b^ , bp , s'en
déduiront par les formules (i8) et (19).
Pour appliquer ce procédé à un exemple particulier , supposons qu'il s agisse de développer les trois
fonctions (i — attcos^-f-ct*)" » , (i — attcosa-f-^')" • et
(i — 2a cos^ + «t*) " • f relatives à Faction réciproque 4e Jupiter et de Saturne. On aura dans ce cas
a 3=a o,5455ioa4>
et par les tables des fonctions elliptiques on trouve relativement à cette valeur du module
F(ct)=i,7i255o57j F(ct)=; i,4465425i.
Ces valeurs , substituées dans les formules (18}, donnent
M = o.62o655oo.
d'oii Ton conclut
et
par
ÀUite
IW ifSlÈMB DU MONDE. i4>7
*fi == i5.7q85ooq>
Au moyen de ces valeurs on pontvâ déterminer ^ par les formules du n^ 2 1 , le coefficient de l'un quelconque des termes du développement en séries des
trois fonctions (1 — aocos^-f-**)"*» (i — aocos^-f-a»)**
et (i — 2fltcos^+a*)''« ,. quel que soit Tordre de ce terme.
!^4- Connaissant par ce qui précède les valeurs des quantités 5f, 5V\ h^\etc.,bf, è^\ bf\ ett.,
^5 , ^5 5 ^5 ,etc., et de leurs coefficiens différentiels * » »
successifs , il sera fecile d'en conclure les valeurs des quantités A<«> , A^O^ A^*^ etc. , B<«^ B^'), B^*^ etc. , C(«), C(0^ Qià)^ ^^ç^^ ç^ jg jç^^ différences successives
tant par rapport à a que par rapport à a'. En effet , nous avons supposé
(a» — naaf cos p + a'»)" • -« ^i^ = i A<«»)-f.A<0co»^4-A(>)co« ^H-ctc,
et en faisant di as? ^.
— 1 I fr) <«) (^' .
(I — a« cos ^ 4- flt») «s-^i -f.3i CO8A + &1 cosa^+ctc.
On aura donc génétalencient , en coinpimint ces deux séries ,
et dans le cas de e == i ^
io8 TIfiÊOftIE ANALYTIQUE
En différentiant ces valeurs et en observant qu'on a
du. I
■j- = -T, on auKi
da a '
dm I i
da '" tC^ ' dm*
et pour lé cas de i=: t
En différentiant de nouveau, on trouvera dans le cas même où i=: i
da» "^ a" *, <&• ' <PAW 1^ ^
etc.
D'où Ton conclura généralement
rf«ACO
or -r— = -7 . a
■ft
Le cas où Foq a à la fpîs i?t = i et £ = i étant seul excepté.
De; même i^oiis, avons M$upppso
(a* — ana' cos ^ + a'»)""» r3=- B(o) -f- B(0 cos^ + B(>) cos a^ + etc.,
(a» — aaa' cos« -|- a'»)" a =s - CC*») -f C<0 cos ^ H- C<') cos a^ -f. ctc.^
(l — !l«COS^ + ^*) a=-^3+^3 C0«^-f.&3 COS 3f -f> etc.,
(i -^ acieoS'^ +k^)* » s± - ^5 '-f* ^5 cos 4 W* ^5 cot a^ -f. etc.
On aura donc en général
B^'^=~ b^^' et C^z=— b^^ '
et dans le cas de r ;=s o,
En différentiant successivement ces valeurs^ on eh conclura généralement'
. rfa» a'3 «/«» »
L'emploi des quantités ô, , i, , etc., A3 , 6, , etc.,.
i ° , Afi f ^*^v ^ Tavantage d'introduire de Tuniformité
dans les formules, et de simplifier les calculs, parce ces quantités et leurs différences relatives à tt servent à la fois à la détermination des inégalités des deux planètes troublées par leur action réciproque. Il cou* viendra donc d'introduire ces quantités et leurs différ rences dans le développement de. la fonctiqn A^ fa la place des quantités A^ A^'^, etc., »•>, B^'>, etc., CCO^ C(0^ etc* > et de leurs différeiice^ riala)ives, soit à a, SMt à a'» Cette . opération éera facile, au moyen
iro THÉORIE AIIALSITIQUE
des formules précédentes , lorsque les différences re* latives à cC auront été converties en différences relatives à a par les formules du-h*" S%^ livve 11^ qu'on peut 'prolonger aussi loin qu'on voudra , c'est ce que nous avons fait dans le n^ 6 et sùivans. On peut d'ailleurs, pour éviter toute opération inutile^ exprimer de suite les différences relatives^' à ci en fonction des
quantités h^ ,6^ , etc. , 63 , 6^ jetc.^ô'^ ^ 6^ ,etc.^
et de leurs différences f on les ^obtiendra très aisèment par la différentiation successive de l'équation (ai).
!25. La méthode par laquelle nous avons ramené à la forme d'intégrales définies les expressions des divers coeiHciens du développement de la fonction ^a} — a^cos^ + £x'*)~' s'appliquerait de même au développement de toute fonction donnée, en série de fonctions périodiques àtà la variable, du moment qu'on e$t d'avance assuré que cette fonction peut être exprimée par une iSemblable série.
Si les intégrales indiquées peuvent s'obtenir, elles donneront y sous forme finie , Texpression des çocfffid^ufs.du développement' de la fonction prôf)Oseew Si rintégration est itinpo^ible par les niétlbodes divectesy eômme l'expre^iiôii de cbat|iiie coefficient est domiée séms^ l«l îtfttti^ é& lyuaditàtutt^^ imipoôira^tobjottisôn diéVôtminèr la rBU^t^faiV lè& li^tbcMkts d'«pf»roxiîm&'^ dod ^dtltltted , av^C tel d^é^ tl<^«îtâK!^ttde ^ vo«f drd. Dàrtê tônë lesf CAs<,' àètt^ ëkprei«ion inëiqawk]las i^lMioiis^ qii^ Kent ce cdeÉI«ién4 à ceux qtd lie ^^ër^ dèfilt > ^t ràmètierâ , jDdt d^équent ; leur déterlimi^M
DIT SYSTÈME DU MONDE. m
tion générale à celle d'un petit nombre d'entre
Cette m^ère de former le dév^lof^naent d'une fonction p^ut ^tre prinçipalemeiit utile quand char cuQ de ses cpeifideu^ eçt Ivi-mênae exprimé par ub0 série infinie ; en sorte qn^on ne saurait ayoir aa Ta^ leur exacte par aucune autfç métho^. C'4$t ailiiBi , par ex^mfiie, qt^fi dans les formule^; du mouy^meiit ^{Uptique chacun des coeiBciens 4es séries qui expri* aient le^ rajQO: vecteur et }a, longitude vraie en fonc^ ti9n d^ U loogitu^^ mayenpe^ fornte une suite or^ dpnnée par rapport aux puil^ançes ascexnlaMea dt Texcentricité de Fprbite. Lorsqu'on veut réduire cea expressions en nombre, il est donc bon d'avoir le moyen de calculer ces ceeffîciens par des formules indépendantes des excentricités, et qui indiquent clairement 1q degré de petitesse des quantités néglîgée?.
Mais e'est surtout dans la théorie des perturbation^ planétaires que Femploi de cette méthode pourrait être d'une grande utilité , car les coefficiens des différens termes du développement de la fonction perturbatrice ^ en ^us^ et ccisiiius des m^tipks ^s mcyyrens mouyemens de la planète troublée et de la planète perturbatrice y élanf également des àéfies ordonnées par rapports aux excentricités e* aux inclinaisons* n^ 49 ^ 1'^^ parvenais à évalucfi' ces coefficiens paf le moyen des quadratures paraboKqnes, non-seiikment on éviterait tes péniUesrâlcate qû 'exige' le développ^fMnr de celte fenctioeir, mais encore ôri arriverait, dans la reûbe^rdle <|esf méi^Ktés plahéfàii*es
a des résultats beaucoup plus certains que ceux qa'on obtient par les méthodes ordinaires, parce qu'on n'est jamais bien assuré que quelque circonstance particulière ne rendra pas sensibles des inégalités dépendantes des puissances des excentricités et des inclinaisons qu'on a cru pouvoir négliger.
^ On a' donc dû chercher à étendre la méthode précédente au cas où la fonction qu'il s'agit de dévelop* per renferme à la fois deux variables, et où la série qui l'exprime doit être une suite de sinus et de cosinus des multiples de ces variables. Supposons , en général , la fonction R développée en une suite de termô.^ périodiques de là forme
K,y cos (i(f> — i'(p') H- K',,,' sin {i(^ — !>') ,
âans lesquels ^ et ^^ représentent les anomalies moyennes de la planète troublée et de la planète perturbatrice , i et ï' deux nombres entiers qui peu- Vent avoir toutes les valeurs positives ou négatives^ j compris zéro. En n'ayant égard qu^a ces termes, on aura
A = K,.,' cos («p— iV)-|- K',/ sin (i(p— lY).
Si Fou multiplie successivement par
çps (i(p H- î'ip') d<p d^ et par sin {i^ -J- f'(p') â&p dp' les deujx membres de cette équation, et qu'on intègre entre les limites o et a^, il est aisé de voir que tous les termes du développement de K dépendant d'uQ argument différent die 79 — eV cU^p^aitront d'eux-Bfîpipp;. çn JSQrte qu'on w^
DU SYSTÈME DU MONDE. n3
V == -^f^f^ R cos ( /<p - i'<pf) d<p d(p',
les intégrales devant être prises depuis ^=0 jusqu'à ^ = 2^, et depuis ^'=0 jusqu'à ^' = 27r.
Si l'on désigne , comme nous le faisons , par F le premier terme du développement de R , ou celui qui répond au cas où l'on fait à la fois /= o et £'=0, cette formule devient
Les coefficiens du développement de la fonction R se trouveront donc ainsi exprimés au moyen d'inté-grales définies doubles, et il ne restera^ plus qu'à chercher les méthodes les plus simples , pour en déterminer les valeurs approchées avec le plus d'exactitude possible.
Cette manière d'exprimer les coefficiens du développement en série de la fonction perturbatrice, n'est qu'une extension du procédé employé par D'Alembert pour calculer les valeurs de ces coefficiens relatifs aux termes indépendans des excentricités et des inclinaisons, ce qui réduit les expressions de Kt/ et K^i/ à des intégrales simples prises par rapport à Ç> et ^MVI. Pois* son, en l'indiquant pour la première fois, concevait en même temps l'espoir que par quelque artifice d'analyse on parviendrait à réduire ces intégrales doubles à la forme d'intégrales simples ; mais il ne parait pas qu'on y ait réussi jusqu'ici, et le seul Tome IlL 8
,i4 THÉORIE ANALYTIQUE
moyen qui $e présente pour les calculer^ est «Tétenilre à deux variables la méthode des quadratures paraboliques. Cette méthode consiste > comme on sait, a regarder rîntégrale dont on veut déterminer la valeur, comme Faire d'une portion de courbe parabolique comprise entre des limites données, et à partager «oisuite cette aire en un assez grand nombre de parties pour que chacune d'elles, regardée comme un petit trapèze curviligne sur l'un de ses côtés , puisse se déterminer, aussi exactement qu'on le voudra , par les moyens du calcul différentiel : la somme de tous ces trapèzes sera la valeur de l'intégrale cherchée.
Supposons donc le cas où la fonction qai\ s'agit d'intégrer comprend deux ou un jAus grand nombre de variables. Soit , par exemple , fjrdx dz une intégrale quelconque dont il faut trouver la valeur approchée entre des limites assignées à a: et à z, en supposant y une fonction connue de ces deux variables ; en sorte qu'on ait y = fonct. {x^ z). On pourra regarder y comme l'une des trois coordonnées d'une surface parabolique dont les deux autres coordonnées sont oc ^\ iç ; et la question consistera , par conséquent y à cuber le solide compris entre cette surface, le plan des xz, et les plans menés parallèlement à cçax des xy et des yz^ aux limites des coordonnées x et z. Nous prendrons pour ces limites ar=so,a:=:aetz = o, z = é, et nous supposerons que pour les deux premières valeurs de jî et de z on ait fydx dz:=zo; ce qui est permis, ^puisqu'on peut toujours placer l'origine des coordon- ^aées au point où commence le sob'de cherché, et
DU SYSOTÈHLB OU MOVDE. ir5
&ire, par ooa$eqii«nty que x 9k y s'évanonisseiit eyi oièoie temp9 que l'iatégrale fydxds»
tïou^ ^supposerons en outre , conformément à ce qui a été dit n^ 54 > livre III , que dans rintenralla compris ^tre les limites jc s:o et x^s^a, zxsioeXzz=zb, l'or^ ^onée jr reste toujours de même signe , de manière que le solide qu'on veut cuber soit compris tout «atier du même c6té du plan des xjr} s'il en était an* trtmenty il fiiiudrait chercher successivement les dif^ fërentes parties du solide , âtuées soit au-dessus^ soit au-dessous du plan des xy^ et retrancher la somme de 4^elles qui $oat comprises dans un s^ns de 1^ somme de celles qui sont comprises dans l'autre.
{Iqfia^ lions supposerons que dans l'intervalle conipris entre les limites assignées à l'intégrale , la courbure de la^ surface n'éprouve aucune variatiou de nature à rendre infini Fup des coejQSciens difiéren*
tiels- ^ "^ etc
Cela posé 9 divisons en n parties égales l'ua des i;6tés de la ba^e du solide que nous voulons évaluer; 9oit o^^Tune de ces parties , en sorte qu'on ait b=szn^f. Si l'on mène par chacun des points de division des plans parallèles à celui des ^*^ on pourra regarder le solide cherché comme étant la somnqifi de tpus les petits solides curvilignes dont la base est o^'af Divisons de même le côté aenm parties égales, soit a =77^0»; par chacun des poipts de division n^nons des plans parallèles à celui des j^z : il est évident qu'on pourra considérer le solide représenté par l'intégrale fydxdz comme étant la somme de tous les petits parallélépî-
1 16 THÉORIE AIÎALYTIQCE
pèdes curvilignes dont la base commune est têoù'^ et dont les hauteurs sont les valeurs que prendra z lorsqu'on y fera simultanément z:=o et a:=o, x^=:cù ^ a: = 2rt>^ or = 5fip, etc., jusqu'à ar=(m— -1)0»; puis z = cû\ et de même jr:=:o, or = a», xz=z am^ etc.^ jusqua x:=z{m — i)^, et ainsi de suite jusqu'à z = (/i — \)eù' et x = o, J?==», etc.; c'est-à-dire que comme nous avons suppose ^ = F(â?, z)^ si Ton désigne généralement par Y,^,,, ce que devient jr lorsqu'on fait simultanément a:=iicà, z^=.ï(tà\ les valeurs successives de j^ seront
to,o=F(o, o), Y..o=F(-r,o),... Y^,.o=F[(m— 1>, o], Y,,, =^F(o,0, Y,.. = F(., •'),.- Y„^.,,=F[(m-i>, •^. Yo.. =F(o,20. Y...r=F(*,2â»'),... Y«....=F[(m— i>,2«T,
Yo, „-. =F[o, {m ^i)i»'], Y., „., =F(i», n— !>'], Yr^-. =F[(2*,(/i-iy]. . .Ym.,.„.,=F(m-i>,(n-i>'].
La valeur approchée du premier solide sera égale à eyû)'Yo, o , celle du second à û>û)'Y, o, çt ainsi de suite; on aura donc pour la somme de tous ces solides , ou pour la première valeur approchée de l'intégrale cherchée :
fjdxdz=a>co\\.^^ +Y..O +Y.,o +Y.^.,.)
+«^XYo,. +Y.,. +Y.,. +Y.,0
+^^'(Yo, .-.+Y. , .^.+Y., .«. . . .+Y„.., .^0-
On peut encore y en commençant par les derniers solides dans lesquels nous avons décomposé le cube
DU SYSTÈME DU MONDE. iif
reprësenté psiRjydûcdz, regarder ce cube comme la somme de tous les petits parallélépipèdes curvilignes dont la base commune est cûcà% et dont la hauteur est la yalenr que prend z lorsqu^on y suppose simultanément z = n»' et ^ = mcù , jp = (m ! — • i)af, etc. , jusqu'à a:=scû, et ainsi de suite, en remontant jusqu'à z = û>' et x^=:mœ , jcs=:(m— i)<»... ar = û). On trouvera ainsi une nouvelle expression de l'intégrale cherchée; la première représentait la somme des pe*« tits parallélépipèdes inscrits au solide qu'on veut évaluer , la seconde sera celle des petits parallélépipède» qui y sont circonscrits. En prenant donc la demisomme de ces deux expressions, et en observant que l'on a de la même manière , en ne considérant que les deux tranches extrêmes du solide ,
*• (j^OjoT" *i,o "T" *>,o»'*t" *"»— i,o) ^^^^^ (î*o,o'T' * i»o"P *»,o«*» I *m— i,o *T" »*m,o)»
on trouvera pour l'expression de fjrdocdz plus approchée de la précédente
