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lift THÉORIE ANALYTIQUE
(jette formule représentera d'attant plus exacte^ ment la râleur de Viniégvsie J'jrdxdz ^ que le nombre des parties dans lesquelles on aura divise aet b sera plus considérable , puisquil est évident qu'im multipliant le nombre des parallélépipèdes élémentaire» leur somme approchera davantage dii solide cherchée On a donc ainsi un moyen de calculer l'intégrale fjrdxdz avec toute la précision qu'on pourra désirer ; on pourrait d'ailleurs déterminer analytiqueraent la correction qu'on doit appliquer à la ^formule précédente, pour avoir une valeur plus exacte de Fin-* tégrale qu'elle représente ) mais comme cette formule de correction serait très compliquée , et qu'on en fe^ irait bien rarement usage dans la pratique y nous ne nous y arrêterons pas ici.
Appliquons maintenant les considérations précédentes au calcul des formules
K,.' = ^/J' f^ Rco8(f<p-r<p')rf<prf<p',
où les doubles intégrales doivent être prises depuis ^ et ^' égaux à zéro , jusqu'à ç et ^' égaux à 3^. Si Ton suppose
B z=r^f^'' /^ ^"^ Rsin i(p sin i'(p'c/(p^' ,
C == 4rr'" n* Rsmi(pcosî'p'd<pd(p' ,
VLTT J o ,y O
ïl = -^ / f^Kcosiiù sîn i'<p'd^d^'^
ou SYSTÈME DO IfOIffiE. 1 1^
Les întégnOes étant prises dans les mémee limite, que les précédentes, îl est clair qu on aura K, /= A+B et K\/ = C — D ; on aura par conséquent les valeur de Kj / et de K'^ /, dès qu'on connaîtra celles de A , B, C et D^ Occupons-^nous donc de calculer ces quatre quantités.
Commençons par la première. Si l'on veut comparer son expression à celle de Fintégrale générale fjrdxdz , îl faudra supposer ^ = ^ , ç' = z et ^s=F(ar, z)=!sRcosf^cosr^'. Les intégrales relatives à ^ et ^' devant être prises depuis ^s o jusqu'à (p = TTfTy et depuis ^' = o jusqu'à ^'= a^r , si l'on suppose la circonférence entière divisée en m parties
égales, qu'on substitue successivement <p =
ç = 2 . — ^ , ^ = 3 • — , etc., à la place de (p dans R ; qu'on suppose ensuite la circonférence divisée en n parties égales, qu'on fasse successivement ^' = — ,
^'=2. ^, ^'5=?5. — , etc., dansR, et qu'on désigne
en général par Rx,^' la valeur de cette fonction correspondante à la supposition que l'on a simultanément
^ ^= A . -^ et ^' = A' . —, d'après les notations précédemment adoptées, on aura généralement
Yx, X' = Rx, V cos {i\ ^^ cos (l'A' ^). La formule ( A ) , en y supposant ^ oo = -^ et
ù)' = — - , et en faisant pour abréger «= £ -^ et
«' = ^ — , donnera donc ainsi :
n ^"^ '^''^^^ ^' G^oto ^°' ® +I^.,oC08 «4-Ra.oCM a* • •+ jR^o co» »»*)
Pour faire usage de cette formule^ on commencera donc par calculer les quantités R^^ ^^ ^^»^7 ^^^v ^^^ suite on calculera les quantités suivantes :
PI = - R^ „ C08 o +R. COS « + R COS a«. . .+ - R cos met,
P' = - R coao -h R cos «t + R cos sa. . .+ - R cos /»«, « a o,i »»« »»» a "«t»
P = - R cos 6 -h R. cos ei H- R coi aA . . + - R cos ma, ;
et Ton aura enfin cette expression très simple ^
A=— •[- P' cos o 4- P' cos«'-4- P'cos a«'. . +-P' co8/i*\ (B) mn \ao « » a» /
En changeant dans les expressions de P'^, P', , etc. , et dans celle de A les cosinus en sinus ^ on aura la valeur de l'intégrale que nous avons représentée par B , et Ton trouverait aisément des formules semblables pour déterminer les valeurs de C et D.
Si Ton nomme F le premier terme ou la partie constante du développement de R , on aura
DU SYSTÈME DU HONUR. lai
Ce termç répond à la supposition de i= o et J^=o , ce qui donne aso etfz=zo. On aura donc pour la valeur de cette intégrale
En faisant 9 pour abréger,
ï^o = - Ht,» + R,,o H- R.,o* • • + â '^'"^ ^1 = - Ro,i + Ri,i + Râ,i. . . + r R»,i ,
- I^o,ii + Ri,» + R.,. • • + 2 Ru»,»-
La valeur de F ainsi calculée est celle qu'il faudra substituer dans les équations différentielles qui déterminent la partie séculaire de la variation des élé-^ mens des orbites planétaires.
On voit donc qu'il sera toujours facile de déterminer par une suite d'opérations très simples les coefficiens de l'un quelconque des termes du développement de la fonction perturbatrice , du moment que l'on aura calculé la suite des quantités que nous avons désignées par Ro,o> Ro,i > etc.
Il nous reste à montrer comment se calculeront ces quantités.
Or, R étant la fonction qui représente Faction réciproque de deux planètes m et m% on a
\ y (x'— xy+ (y- j-y + (z— zy ^^ /
lîife THÉORIE ANALYTIQUE
Comme la partie — est
commune aux deux planètes , et qu elle est celle qm entraine les plus longs calculs , il sera bon de la calculer séparément , et de diviser ainsi la fonctioû R en deux parties. En n'ayant égard qu'à la première , et nommant f la distance des Aexxx planètes^ on aui^
R = — , et par le n° I ,
f^ =x= r* -f- r'* — zrr' cos* ^yco% (/ — 9) — nrr* sin* \ y cos (i^' + v);
r et r' étant les rayons vecteurs de m et de m' dans leurs orbites elliptiques y i^ et i^' les longitudes vraies comptées de la commune intersection de ces orbiteSk
Nous avons nommé précédemment f et 1^' les anomalies moyennes de m et de m!^ et nous avons choiM ces deux variables pour les abscisses du solidfê parabolique dont F(^^ ^') représentait l'ordonnée^ Si l'oa suppose donc qu'on remplace dans l'expression prér cédenie r^ r\ v, 9\ par leurs valeurs en fancti^ des anomalie^ moyeniies d^s deux planètes ^ on aura
F(^,^')= -p- — 7\ 9 et il faudra commencer par cal*
culer les diverses valeurs de f (^, ^') qui correspon: dent aux valeurs successives qu'on peut donner à ^ et à <p'.
Pour cela, on calculera d abord les valeurs du rayon vecteur r et de la longitude v de la planète m (forrespondantes aux Valeurs suCceteites de l'anomalie
DU SYSTÈME DU MONDE. is3
ihoyentie (psi±o,Çs±= — , <ptssz2 — f etc. ; <m calculera de même les valeurs de / et de i/ cor-^ respondantes aux valeurs de l'anomalie moyenne
ç' = o, ^'=: - — , (p' = 3 — , etc., et Ton formera
un tableau de ces valeurs. On combinera ensuite entre eux les l'ésultats de ce tableau , de manière à former les valeurs de chacune des quantités représentées
généralement par f (a — , A' —\ A et A' pouyant
prendre toutes les valeurs positives , comprises pour, la première, entre o el m, et pour la seconde, entre o et n. Ces combinaisons seront ati nombte de mX/z, ainsi que lés quantités à former. Ces valeurs calculées,
on en déduira généralement R^, x' = ^ , et
les formules (B) et (C) donneront ensuite les va-^ leurs des îiitégrales cherchées.
Tout ce qui précède s'appliquerait de même évi*^ demment au calcul de l'intégrale Jjrdpd^'y résultant de la deuxième partie de la fonction R : on observera seulement que cette partie ne produisant aucun terme constant dans le développement de R , la valeur de F n'en sera pas altérée.
26. Lorsqu'on aura effectué , par ce qui précède, le développement de la fonction perturbatrice en série dé sinus et de cosinus des multiples de (p et de (p\ rien ne sera plus facile que d'en déduire le développement dç R en fonction des longitudes tadjeunes »/ -f* i et ^t 4- 1\ de m et de tn\ ic'est-a-dîre sous la fonue oxk
cette quantité est ordinairement employée dans le calcul des perturbations planétaires. En effet ^ (p et ^' étant les anomalies moyennes des planètes m et mf, on aura
(p :=: nt '-j^ é — œ et <p' = n'£ -f- ^ — C7'.
En substituant ces valeurs dans R » et en faisant
R z= mT sin {iWt — int + i^-^U) + mT' cos {i^n^t — int + it' — h) ,
on aura
mT = K|,,' sin (iW — ic») — K\/ cos (iW — ica), m!r=i K|,/ cos(iW — icù) + K',,/ sin (l'o»' — /û^).
On pourrait encore , à la place de cp et de <p\ employer toute autre variable que l'on voudra pour le calcul des coefficiens du développement de R> il suf-fira de substituer à la place de ^ et de (p'^ dans les expressions de K^i' et K'i /, leurs valeurs en fonction de ces nouvelles variables. Par exemple^ si l'on veut faire usage des anomalies excentriques u et u% d'à* près les formules du mouvement elliptique ^ ^ on aura
^ =: a *-— e sin 2^^ (p^ r=z u^ — e' sin m' ;
d'où l'on tire
d^ = du{} ^- e cos w), d<p' = t/i/(i — e' cos f/).
Les angles u et lé ayant d'aillenrs les mêmes limites que les angles ^ et c'y on aura donc
,-,/=5 — j I I Rco8ti(«-««i"")**'f"''*'"0'*')]('-«co8i«)(i-e''co«u')darfu', 'ij^=. I 1 IUinp{«-c8intt)-t'(w'-«i'imi«0]{i-«co»«Xï'*'co»tt')rfiMltt'j
et pour le cas où l'on a 1 = 0, 1'= o»
On rëduwa les coefEciens de R , sous le signe intégral , en séries ordonnées suivant les puissances de e et de e% et l'on effectuera ensuite les intégrations relatives SLueï k ^^^
Four cela, il faut supposer R exprimé en fonction des anomalies excentriques u et u'y en développant ensuite R en série de sinus et de cosinus des multiples de ces deux angles. Soit
R= SAi^j, cos(m — iW) + 2B|^/ sin (iw — «W) ,
i et i' étant des nombres entiers positifs , négatifs ou zéro ; on aura généralement
A| / = — r * r R cos (iu — iV) du du\
B|,i' =z —^ r r R sin (m — iV) dudu\ et en particulier,
H est aisé de V6ir que tous les termes des valeurs de K. j' et K'i / pourront s'exprimer au moyen des quantités Àj,i^ et B|y , supposées calculées pour toutes les va-
T96 THÉQ&IE ANALTTIQUE
leurs de i et de f, et sans qa'il soit besoin de nouvelles intégrations. Quant à ces dernières quantités , on les calculera par la mçtbode exposer plus haut pour les intégrales doubles , après qu'on aura exprimé les variables qui entrent dans Texpression de R ea fonction des anomalies excentriques u et u\ Mais , comme il est aisé de le voir, cette méthode entraînerait dans de plus longs calculs que la précédente , et encore ne donnerait-elle que les valeurs des coefficiens K| / et K'i / exprimés en séries ordonnées par rapport aux excentricités et à Tinclinaison mutuelle des orbites de m et de m', comme on les obtient par les méthodes ordinaires.
Cependant l'expression de la fonction R en série de sinus et de cosinus des multiples de u et de i^, jouit d'une propriété particulière très remarquable , c'est qu'on peut e^ déduire immddiatemeat les valeurs des intégrales fd'^, fdtfd'K^ et des autres différences partielles de la fonction fKdt qui entrent dans les expressions des variations des élémens de l'orbitç de m, développées en séries semblables, sans être obligé de substituer les valeurs de u et uf en foQCtion du temps t avant les intégrations. En effet 9 soit
/^R=2AVcos(/m— iV)-h2BVsin (i«— fii),
et supposons^ comme précédemment,
Rc=î2A,./ cos (Jm — /V) 4- SB^^/sip (iu — «V). {c)
Si l'on différentie par rapport à u cette dernière équation, qu'on différentie, par rapport aux varia-
Ues iê et u', la première, et qu'ensuite ou compare aéparément , dans les équations rëmiltantes ^ les ter^ mes affectés de sinus et de cosinus des multiples de u et u' y en observant qu'on a
, ndt j f ^ n'dt
du=z , du =
I — e C08 u ^ I — é'oos u' '
on trouvera les deux équations suivantes :
i-ecosii \i-ecûsi# i-ecosM/
i-ecosM \i-ecosM i-ecoswy.
Considérons d'abord la première. Si Ton multiplie les deux membres par (1—6 cos tt) (i— e' cos w') ^
ii2 îAi, / sin («a -— *'i«') — neXiki, / sin (î w — Hu') cos «' )
-|- n'eJï'A'iy sin (iM — i V) ços u. J
Mais on a identiquement
Ik'i, i* sin (m — îxi) cos m = ^2 A'i,/ sin [(/ + i)w — îvtl + isA^/sin[(*— 1)1/— *'u']=is(A^..,/+A'^.,,/)8in(/«— l'ttOr
et de même
2Ai/8in(tM— *V)cos»' = i2(Ai/„, +Ai/^,) sin(iM— iV)^ SAV*iB(ia-^iV)co« w' «iXCA'i/., -+ A'i/+,)sin {iu — iV) ,
L'équation (e)^ en y substituant ces valeurs, et en comparant les termes semblables dans les deux mem*bres, donnera ainsi :
(m-fn')A^,/-i^W(A^/.,+A^/^.0+|^n'e(A'i^./+A^>./^
et en opérant de la même manière sur la seconde des équations (d)^ on aurait entre les quantités B'i,iS B'|,|'., etc., B,,/, Bir-.,, etc., une équation semblable»
Il sera facile, au moyen de ces équations, de dé* terminer la valeur des coefficiens A'i^i', B'j /, lorsque celle des coefficiens A,^|', B, /, du développement de R en série sera connue , quel que soit le procédé qu'on ait suivi pour l'obtenir. En effet , supposons qu'en ordonnant par rapport aux puissances et aux produits des excentricités le second membre de Téquation (g) , on ait
A,-.i'~ îe'(A.v'«,+ Ai.i Vi) = PCo3+PCO+pCO+pC3)4. etc. , (h)
pCo)^ pc«)^ pco^ etc., étant des quantités connues, dontla première est indépendante des excentricités , ^la seconde est un binôme dont les deux termes ont pour facteur e ou e\ la troisième un trinôme dont chaque terme a pour facteur l'une des trois quantités e% ee\ e'% et ainsi de suite.
Soit de même
.V,,= Qt>+Q.':', + Q5 + Qf, + e,c.,
oùQ °.,, Q^. ., , etc., sont des inconnues qu'on supposera
ordonnées par rapport à e et à e', de la même manière que les quantités connues P^^^, P('>, PC»^, etc. En substituant ces valeurs dans l'équation (h), et en égalant les termes semblables dans les deux membres , on aura
DtJ SYSTÈME DU MONDE. lag
lin — tV) Q^**^ = inPC<^) ,
{in ~ fn') Q^'^ = inPCO + 1 iW f Q^''^ + Q^O "\
etc.
La première de ces équations donnera immédiate* ment le premier terme du développement de Â'i^ |% et l'on en déduira successivement autant de termes de cette série qu'on voudra, au moyen des équations suivantes. On obtiendra de la même manière la valeur en série du coefficient B'< /• La valeur de l'intégrale /WR étant ainsi complètement déterminée , on en déduira celle de rintégraley^^yZ/'R, en substituant, dans l'éqciation (c), fd'Kklai place de R. On pour-^ rait étendre aisément tout ce que nous venons de dire
aux intégrales plus générales /Rif/^y/H^^V ^^ ^<^ en déduirait, par la différentiation, les diffisrences psirtielles de fRdt, par rapport aux élémens de l'or-^ bite de m y qui entrent dans les formules qui déterminent leurs variations. On aurait donc ainsi les variations finies de ces élémens, sans être obligé, pour effectuer les intégra^ons , de réduire la fonction perturbatrice à ne renfermer explicitement qu'une seule variable ; mais cet avantage paraîtra bien faible, si l'on observe que les élémens de l'or^- Tome ffl. 9
i3o THÉORIE ANALYTIQUE
bîte troublée se trouveront alors exprimés en séries des sinus et cosinus des angles u et u', et qu'3 faudrji de nouvelles opérations pour les ramener à la forme de séries procédant suivant les sinus et cosinus dec; multiples des longitudes moyennes ïU^-^^ê, vlt^^. Cette manière de développer les fonctions fi, fRdtjt etc., nç nous parait donc qu'un point curieux d'analyse; elle entraînerait le calculateur dan^ des opérations beaucoup plus longues que les méthodes ordinaires^ et nous ne l'avons exposée ici que parce que plusieurs ouvrages en ont déjà fait mention, et qu'il nous sesablf il utile d'en sigaalqrks iBCicmvénteiifi.
Au reste, oe que nou& avons dit précédemment luffita^ dans, tou^ les cas, pour obtemr d^une ma^ Bière très approchée les valeurs des eoefficienS' de U sarie qui résuite du développement de la foiKtlon pertucbatriee , toutes les fois que i et î' ne seront f^n ^ trop grands nombres; car on voit, d'après les' va<^ l€Hu»\de Vof P'ï 9 P'a , etc. {ja^ aÇ)^ qu'on serai oblige de resserrer de plus en plus les ordonnées du cube (mh xabolique li nXesvire q^'on considérer^ des ùiégaUtts déjpeadantea de multiples plus élevéi| des anomalies mojiei^tiea des deux pianotes, pour qt^e lea tesmeii domt œs ^antités se composent ne chaogeQt pas tr6p souvient de signe, ce qui nuirait a leur exactitude. Ç pdUDra done arriver que les ealeuls devieuaeot ilUf^ëbleà par leur mul^plieité , et l'on sera oblige alors de renoncer aux avantages qu't>ffre, sous d'iiutres capportf, V^n^ploî ^^ ^^^^ méthode. Mais nous rexiendi^ons sur eei objet lorsque nous nous oc^
Dr SYSTÈME DU MOKDE. i3i
cuperons de réduire en nombres les formules analytiques des inégalités planétaires , cette digression nous ayant déjà écarté trop long «-temps du sujet principal que nous' traitons en ce motfnent*
