CHAPITRE III

Inégalités planétaires dépendantes des carrés et des puissances supérieures des excentricités et des inclinaisons.

27 . Nous ayons divise, dans le livre II , les inégalités des planètes qui résultent de leur action réciproque, en deux espèces distinctes , les unes séculaires ^ les autres périodiques. Dans le chapitre YIII du même livre y nous avons exposé la théorie complète des premières, et dans le chapitre IX, nous avons développé les inégalités périodiques indépendantes des excentricités et des inclinaisons, et celles qui dépendent de leurs premières puissances. Mous nous proposons ici de porter plus loin ces approximations, et de présenter des formules générales au moyen desquelles on pourra déterminer les inégalités périodiques dépendantes d'une puissance quelconque des excentridlés et des inclinaisons, et même celles qui dépendent da carré des forces perturbatrices.

Dans toute inégalité planétaire il y a deux élémens à considérer, le coefficient et l'argument ; le premier détermine la grandeur de l'inégalité, le second sa période. Tous les termes du développement de la

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fonction perturhatrice , qui dépendent du carré et des puissances supérieures des excentricités et des inclinaisons^ étant en général insensibles, ils ne peuvent produire d'inégalité considérable dans le mouvenient d'une planète , que par les petits diviseurs que Tintégratidn leur fait acquérir n" 5g ^ livre IL La grandeur de chaque inégalité dépend donc non-seulement de l'ofdre de termes auxquels elle appartient , mais encore des. modifications que les termes de la fonc-^ tion perturbatrice, auxquels. elle correspond y subis^ sent dans les équations différentielles du mouvement troublé. *

Si le coefficient qui multiplie le temps sous le signe sinus ou cosinus a une valeur considérable , l'argument prendra des accroissemens rapides, la période de l'inégalité sera. courte, et sa grandeur dépendra uniquement de 1 ordre auquel elle appartient, relativement aux excentricités et aux inclinaisons des orbites. Dans la théorie des planètes principales t on ne porte ordinairement rappit>xima« tion, relativement à ces inégalités, que jusqu'aux termes qui sont du premier ordre par rapport aux excentricités, et qui dépendent de la première puis-** sance des masses perturbatrices. Cette approximation suffit; et d'ailleurs comme de pareilles inégalités se manifestent promptement aux regards de l'observateur, il n'est pas à craindre que la théorie puisse en omettre aucune susceptible de devenir considérable.

Si au contraire le coefficient du temps sous le signe sinus ou cosinus est une très petite quantité ^^

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l'argument croit a|ors avec une grande lenteur, ha période de l'inégalité est très longue, et pendant long -temps on peut r^arder ses accroî«^enien& comme proportionnels au temps. Ce n'est donc que par la coqapàraison d'observations très éloignées que de pareilles inégalités peuvent devenir sensibtef; et elles ont, comme on voit, tous les caractères dt véritables inégalités séculaires. On les â noflmiéefe inégalités à longue période^ et leiar tbéorie est d'autant plus importante dans Texpositioa analytique ait système du monde, qu'après* avmr été regardées long-temps comme une anomalie dans la loi de hk pesanteur universelle, elles en sont devenues une des preuve les plus convaincantes depuis qu'on en a reconnu les véritables causes.

C'est k Laplace qu'on doit cette découverte. Les ob^ servations anciennes et modernes indiquaient dans le mouvement de Jupiter et dans celui de Saturne deux grandes inégalités qn'on avait en vain cherché à expliquer par la théorie , parce qu'on ne supposait pas qu'il put exister dans le mouvement des planètes aucune inégalité sensible parmi les termes dépendazid des puissances dfô excentricités supérieures à la pre-^ mière* Ces inégalités sont affectées de signes €Oii*« traires, en sorte que si, par leur effet, le moyen mouvement de Jupiter parait s'accélérer , le moyen mouvement de Saturne, au contraire, parait être retardé, et vice versd. Enfin, Laplace remarqua en** core que l'accélération du moyen mouvement de là première de ces planètes , déterminé par Halley , était au ralentissement du moyen mouvement de la seconde^

Dû SYSTÈME DU MONDÉ. i3i

a très peu pràd tomme là mé^se de Sâttirhe, toiilti^liée par la tàtâint Carrée de son dehli-grancl àxé , est à là masse de Jupiter mtiltîplîéè dé iriêiiïie pdr là racine càt<rée de \A i6oM0 dtf grand a:te de sob ôrbîte. Ces diverses ' rélatiotià é0nt celtes qu'indiqué lé tbéoHé entre lèë ihéf galitës à loùgtâé jpérîëdè de dëtix plàdlffës f éagissàrii ranê ^t Yààttê. Cottifiie é'àiHëtf^ lëè ifiéyéiiÀ môtiveiâetts ilâ pentënf ètfé sùttinh k aiieùnè \hêgàtiiè tedép^ittkâtë âe ieùf dôfnfi^Mtion jnùftiélle, La^îâcd 6e d6ti|li pW qtté léS iri^gàlitfe dont il s'agit ne vêsultassénf dé l'ëifctiaAI f^iptk>^ué dé Jupiter et de $a-^ iûtné,^ et ^lië èéis inégalité ^^ j*angéés parmi célfés^uë Véii art ait ifegarèéës jùsqiife-lk tômmé înâppréteîables, Hé deVltiteént sensibles par l'effet de quelque circohstàikVé f)iar%iéulièf^. En effet , \éë nièjehs tiiouvémenls 4é ti^ deUi pkd^s épprofcbàrit Beàtièoup <i'étré c6âitn«tf^rà&le^, ëû sôrfé que cinq fois le moyen Btoéhreftièftft de Jupiter, rijoiiis deux ftfis cdùi dé ^àfurâë , ^t tiilé %tèh petite <piàntité , tixiêgàTiié à lon- ^ péi^iddé qdl dëpéhd de tei àrguitaéht peut dfe vemt considérable éh acqueralrif cette petite qkânûlé pOiïr di^tîséur, quôiqu'eDe s6M àù moins dû ti^isieme Ardi^ par rappOfrt aux e!xcéntricitës et aux inclinaiséhs. Le «âllcful é6i!ifii^af pieîtfemen^ éétté conjecturé'} et c'est ainsi que cette découverte , l^ùdé dés ptti^ hél^ dé r Adtft>Ûô)â^ie ^by^ique ^ i^éi^trhà d'une sifite dé éènsi^i^ât^ns fondées sûr là tbébtie^ sàûs que lié hlfêdré > quel^eftHS si favorable ttiëixié atnè géôàièti^^ y dit eu àiïd&ne part.

Béty 0St4é méiiié dé toulés les mé^âiitës de rcs^ècé èé <^\^ qiÊéù&M àyàità Aémriiéés ttiêgatitës^à Un^

i36 THÉORIE ANALYTIQUE

gues périodes; elles seront d'autant plus sensibles^ que les moyens mouvemens des deux planètes qui réagissent l'une sur l'autre , approcheront davantage d'être commensurables; et l'on voit que plus elles croîtront avec lenteur, plus , toutes choses égales d'aîlleurSy elles pourront devenir considérables. Parmi ces inégalités, Les plus importantes sont celles de Jupiter et de Saturne , à cause de la grandeur de leurs coefficiens; et, par cette raison, on a été forcé de porter dans leur calcul l'approximation jusqu'aux cinquièmes puissances des excentricités et des inclinaisons , et jusqu'aux termes dépendans du carré des masses. On verra que les résultats qu'on a ainsi obtenus représentent les observations avec une grande précision. Une inégalité à longue période existe encore dans le mauve* ment de la planète Uranus; une autre, mais beaucoup moins sensible, dans le mouvement de Mercure; enfin, on a découvert, dans ces derniers temps, dans le mouvement de la Terre une inégalité de même espèce, dont le coefficient est peu considérable, il est vrai , puisqu'il ne s'élève guère qu'à deux secondes, mais que cependant les observations modernes rendent sensible , et qui doit être comprise désormais parmi celles qui servent à la construction des ta^ blés du Soleil.

La théorie des inégalités à longue période va particulièrement nous occuper dans ce chapitre. Nous déterminerons celles du rayon vecteur, de la lon^ gitude et de la latitude, qui dépendent d'une puissance quelconque des excentricités, en employant la méthode fondée sur l'intégration directe des équa-*

tiens différentielles du mouvement troublé , et ensuite le procède de la variation des constantes arbitraires. Ainsi que nous lavons fait dans le livre II , nous montrerons Taccord parfait de ces deux méthodes , et nous indiquerons les avantages particuliers à chacune d'elles.

Dans l'un des chapitres suivans, nous réduirons ces formules en nombres , en y substituant les valeurs relatives à chaque planète. Ce grand travail avait déjà été en partie exécuté par divers géomètres avant même l'apparition de la Mécanique celeste; cependant il n'avait point encore atteint toute la perfection désirable : de nouvelles inégalités ont été découvertes depuis cette époque, et quelques erreurs inévitables dans les longues opérations numériques ont. été signalées dans plusieurs résultats de cet ouvrage. J'ai donc pensé qu'il serait utile de reprendre ici ce travail en entier, et de profiter des recherches de tous les géomètres qui se sont occupés des inégalités planétaires, pour présenter dans un même ensemble le tableau des résultats les plus complets et les plus exacts qu'on ait obtenus jusqu'à présent dans cette partie de la théorie du système du monde, si importante pour la précision des tables astronomiques, dont elle est la base.