Reprenons la formule (5) du n** 89 du livre II i

dKrfr fi.rèr ^,,p /dR\ . v

-5^ + -p VaR~r(^)=:o. (i)

Si l'on suppose, comme dans le n* 48, r= a(i-f-tt), €t qu'qn observe que par les formules du mouvement

elliptique on a ^=^n*, on aura

ou bien

En faisant donc^ pour abréger,

F==5tt— 5tt*4.4«^— 5i^+6M*--7tt*+8w'--9w*-Hete.,

l'équation (i) deviendra

"î^^-nVj^r— a/iVFcTrw-a/rf'R — r^c==o. (a)

D'après l'expression du rayon vecteur, u, et par conséquent F, sont des quantités de l'ordre des excentricités , il suffira donc , dans l'équation précédente , de substituer pour J'r, dans les termes naultiplies par F, la valeur de cette quantité résultante des approximations qui précèdent celle que Ton consi^dère. Si donc on substitue pour u sa valeur dans F, et pour /r les valeurs résultantes des premières approximations , et qu'on fisisse , pour abréger ^

on pourra regarder P comitre détreloppé en utte suite de sinus et des cosinus des multiples des moyens mouvemens de la planète troublée et de U planète

perturbatrice* Soit donc Q^"^ {fit + f) l'un qudeonque des teriMS' de e^lt^ suite-; en ti'ayiaïit égà«d q\xk

ou SYSTÈME DIT MONDE. «3^

ce terme , on aura

et Von satisfera à cette équation en faisant

rj^r = -^ "° (fit H- f).

On déterminerait de la même manière chacun des termes de la valeur de rSr correspondant au terme que l'on aura considéré dans la fonction P ; et d'après la théorie des équations linéaires, la réunion de tous ces termes formera la valeur complète de la quantité rj'r.

Gela posé^ considérons dans R un terme ^ de la foripe :

En observant que r — =^3- > ï** 4* ^^ ^^^* ^®"* lativement à ce terme : ."^

et si Ton observe qu en faisant /^ = i , ce qui revient à prendre pour unité de masse la somme des masses du Soleil et de la planète m, on a a^n* =: i , il est aisé de voir qu'il en résultera, dans la valeur de

— r- , le terme suivant :

i4o THÉORIE ANALYTIQUE

où i peut prendre toutes les valeurs positives ou négatives depuis zéro jusqu'à Finfini.

Le diviseur de cette expression étant la difierence de deux carrés, peut s'écrire ainsi

et si l'un des deux facteurs de ce produit est une très petite quantité, l'inégalité précédente pourra devenir considérable.

Dans l'impossibilité où Ton est de calculer rigoureusement toutes les inégalités qui dépendent du carré et des puissances supérieures des* excentricité et des inclinaisons, à cause de leur multiplicité^ on doit s'attacher spécialement à celles qui peuvent acquérir quelque influence par l'intégration, et l'expression (5) donne un moyen très simple de les reconnaître à priori.

En effet, tous les termes du developpement.de R sont généralement insensibles, lorsqu'on passe la première puissance des excentricités et des inclinaisons , à cause de la convergence de la série ; et si ces termes produisent ensuite, dans l'expression du rayon vecteur, quelque inégalité importante , cela provient nécessairement de ce que Tintégration leur fait acquérir de très petits diviseurs qui les rendent considé^ râbles. Cette circonstance se présente toutes les fois qu'il existe quelque rapport de commensurabilité entre les moyens mouvemens de la planète trouolée et de la planète perturbatrice. Les inégalités qui en résultent dans les mouvemens de ces deux planètes croissent avec une grande lenteur, puisque le coefil-

DU SYSTÈME DU MONDE. i4i

cieat du temps , sous les signes sinus ou cosinus dont elles sont affectées^ est supposé une très petite quantité ; elles mettent , en général , plusieurs siècles a pas* ser de leur mcuvimum au minimum de leurs valeurs , et, par cette raison , on les a nommées^ comme nous layons dit , inégalités à longue période.

On voit , par ce qui précède , comment les inégalités de cette espèce peuvent devenir considérables , quand même elles dépendraient des puissances supérieures des excentricités et des inclinaisons.

Ainsi donc^ pour étudier complètement la théorie d'une planète , on commencera par former les trois

quantités £ (n' — n) + (' — 0 '^ ^ ' (^' — ^) + '^ > i(/i' — /i) + (i+ i)»f dans lesquelles l sera Texposant de la puissance des excentricités et des inclinaisons auxquelles on s'est arrêté (n"* 4) f ^^ ^ pourra prendre toutes les valeurs positives et négatives possibles, depuis zéro jusqu'à l'infini. Si parmi ces valeurs il en est qui rendent Tune des Irois quantités précédentes très petite, on considérera dans R le terme qui leur correspond, et Ton déterminera par b formule (3) l'inégalité qui en résulte dans l'expression du rayon vecteur; on réunira ensuite cette inégalité aux autres termes du rayon vecteur qui dépendent du même argument, et qu'on déterminera de la manière suivante :

Nous avons supposé

F = — 5m + 3i/» — 4^' + 5z^* — 6«* + 7w' i — 8m'+ Qtt' — etc. «

On a (n* 3)

i4a THÉORIE ANALYTIQUE

d'où Ton conclara

H- 22r «$ cos 5(/it -h « — •) + eic-)-

Soit maiotenaat G cos [i(n*t — nt'^é' — e) + gnt -f. gé-(- >»)]

Fan des termes de la valeur de — dépendant des

puissances des excentricités et des inclinaisons d'un ordre inférieur à celui que l'on considère^ et déjà dé* terminé par les approximations précédentes. En combinant cette yal^nr arec la précédente , il en résul-' tera dans la fonction an*.¥J^r des termes de cette forme

\ awn cos [i{n't ^ «^ -f- g' — «)

où i est susceptible de toutes les valeurs positives ^t négatives , en y comprenant a^éro ; et où l'on doit supposer successivement fzs: i, /"== 2, y*= 3, etc. Si parmi ces termes on choisit ceux dans lesquels on a g d= y* = 2^ et où le coefficient H est du même ordre ^ par rapport aux excentricités et aux ineli-

Q^isons j^ que les inégalités que Ton veut oïlçul^r ; qii'oq les substitue daus Féquatioa différeutielle (2) ^ et qu'après l'intégration on les réunisse aux termes qui résultent directement de la fonction R , et que nous avons déterminés plus haut, on aura toutes

les inégalités de — qui . dépendent de l'argument

î(n^t — Ht) -ff fc<, et qui peuvent , par conséquent^ devenir sensibles dans l'expression du rayon vecteur. On trouve ainsi

I — i /ï'ïH C08 [i (n'f — /|< H- i' — ♦) + /« t -h /# -h /] a* [i {/»' -Tf n) 4- /»] • ^ n»

la caractéristique Z devant comprendre tous les termes de la fonction FJ^r qui dépendent de Targumeut in't -|- Ç/ — £) nt , et qui sont de l'ordre l par rapport aux exceptricités et aux inclinaisons.

En donnant ai, dans cette formule^ toutes les valeurs entières positives et négatives^ y compris zéro , on ^ura toutes les inégalités du rayon vecteur de l'ordre / dans lesquelles le coefficient de nt surpasse ou est surpassé par celui 4e ^'t de l uuités.

29. Déterminons les termes correspondans de la valeur de J^p; çii £i» par h. formule (6) du n** 89 du livre II,

nrd.^r r^drlr

^tm [3//*.rf»R4- »/r(^)dr|

En négligeant, pour plus de simplicité, le dénomi-

t44 THÉORIE ANALYTIQUE

uateur \/i — e% et en ne considérant d^abord que la partie de cTi^ qui dépend de la fonction R, on aura

J^i; = Zafndtfd'K ^ 2a fr (^) . ndt ; (6)

par conséquent y en vertu du terme

m'A: cos [i{n^t —-71^+^' — «) + //li -f- & 4- 6] , que cette fonction renferme , on aura

I et Z étant susceptibles de toutes les valeurs positives ou négatives, y compris zéro.

Si la quantité z(n'— n) -^In est très petite , il. en résultera dans S'i> une inégalité d'autant plus sensible, que le carré même de cette quantité entre comme diviseur dans l'expression précédente. C'est donc spécialement au calcul des inégalités qui sont assujetties a cette condition qu'il faut s'attacher ; et elles sont d'autant plus importantes à considérer, que le moyen mouvement de la planète m est affecté luimême des mêmes inégalités. En effet, en faisant lC^z=Lfndt^ on a (n° 45, livre II)

/Ç = — Zffandt.dK.

En n^ayant donc égard, dans le développement de la fonction R , qu'au terme que nous considérons, on aura

a /; ___ t\mfn.*

ou STStÈME DU MONDE. 148

La partie de J^i^ qui a ponr diviseur le carré de Kji'^-^n) 4- J^ est donc celle qui résulte de la variation du moyen mouyement dans l'expression de la longitude moyenne ni -|- g. Le second terme de cette expression dépend de la variation de l'époque ; mais comme le premier est généralement beaucoup plus considérable que les autres^ ok) pourra, sans erreur sensible, appliquer au moyen mouvement la variation entière de S's^ calculée par la formule précédente.

tonsidcrons mamtenant la partie ^-tj ou

^d.rhr — drit ^ 1, • j i\ t ^.^, 'T.d.ri'r

— ^j-^j de 1 expression de &\^. La quantité ~qr^

s'obtiendra immédiatement en multipliant le coeffi^ dent de l'expression précédente de — ^ par,«..« '-' LH^ —^) . J^i ^ Qi^^ changeant ensuite les cosinus

en sinus» Pour plus de simplicité, nous la laisserons sous cette forme.

Quant à la quantité ^-^j» ^'^sl d'elle que résul-

tent dans cJV les termes indépendans de R, qu'on calculera de la manière suivante : l'équation

dr du

r=a(i -+- u) donne, en différentiant — -j s= -j-. En

vertu de la valeur de u rapportée plus haut , on aura donc ^