Tome IIL
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i46 TdÊORIE ANALYTIQUE
- 5 e' H- — er ) sin 8 ^ igi J
(/it4-«
- 1 6* j sina (7i^-4~ €-
•"TiB^)®^"'^^^
3in4(/}^ + < — û>)
H- ggj e* siû 5 (n^ 4- € — û>)
etc»
Représentons par A cas f{nt '^ i '^ ea) un term^ quelconque de cette suite ^ et considérons comme
{HMedeiliBient dans ^ le terme
G ces [i(/i'< -*-/*<•+• i' —«) + gi»* H- g« + ^ ] •
Si Ton conibiae ce terme screù ceux dont se <H>m'* pose Texpression précédente de —^ , il eu réraltort
dans le produit — y . — une suite de termes de cette
■^ andt a
forme t
^ Ksin[i(n7-/ii+f'-€)+(g=t/)(/i«H-€)4-)8],
g et i étant susceptibles de toutes les valeurs positives et négatives y y compris zéro, et le signe supérieur ayant lieu quand /est pris positivement et le signe inférieur dans le cas contraire « On voit de plus,
par l'expression de — ^ , que f est l'exposant de là
DO SYSTÈME DU MOlSfDE. ^^
pqÈissaiioé la vkiÀûs éferëd de l'ôxcetitricité e dàttô la série que ^ représente*
Si xlaos la suite dû termes ainsi détermines ùtt choisit ceux où l'on a g:izf=i, et si on les réunit auit termes qui résultent directement du développemettt de R, et dont Texpression a été donnée plus baut , on aura alors tous les termes de J^p. qui dépen- . dent de Targuaient r(/i' — n)t -}- Int , et que l'intégration peut rendre sensibles. On trouverai ainsi^
'^•^TT' =F "2K sin p (n't — «£ -f- /— ,) -f- Int + U -f /S] I
/ étant susceptible de toules les valeurs positives ou négatives, y compris zéro, /étant le nombre d'unités dont le coefficient de n't surpasse on est surpassé par le coefficient de nt^ et le signe Z devant
comprendre tous les termes du produit — ^ qui dé-
|iendent de l'argument i(n' — h) t+lnt, et qui sont par rapport aux excentricités et aux inclinaisons du même ordre que K.
lia période des inégalités du rayon vecteut et de la longitude dont nous venons de donner Texpression générale étant supposée très longue , les élémens «Utptiquas des orbites de m et de m' changeront peu-* dant cet intervalle , en vertu de leurs variations séculaires ; et pau^ Vexactitude des résultats, il sera né^ cessaire d'avoir égard à ces altérations dans les for^ mulôs précédentes* C'est à quoi l'on parviendra très simplement de la manière suivante :
Nous supposerons aux termes du développement
de R qui de'pendent de l'argument -
ifn't — n« + è' — e) H- Z/i^ -f- & cette forme : ^
R = mTsin[i(n'< — /ï^ + €' —g) + &i^ + &] + mT'cos[î(/i'^ — nt-h e' — é) + 1^^ "H '«]•
En diffçrentianl par rapport à n/ , on aura
drR^-^m\i^T)ndtVco?{i{n't ~ n^H-/— 0 +/'»^+ 1^ ^m\i'^l)ndtP's{n\i(n't—nt+e''—i)+ Int-^ &].
Si l'on intègre maintenant cette expression par parties en y regardant P et P' comme des fonctions variables des éiémens des orbites de m et de m', on aura
r gc/P 3€f«F
r gffP^ 3d«P
. / rfP rf*P d^ , j. . ,
Les quantités -^ , ^ , -^ , etc. , décroissant
avec une grande rapidité, vu la lenteur des variations séculaires des éiémens elliptiques, on pourra > dans la plupart des cas, n avoir égard qu'aux deux premiers termes des séries précédentes.
On aura ensuite, en vertu de la valeur précédente deR,
DU SYSTÈME DU MONDE. i4g
M ^ eir\ ■\ •MWWË. eiWË. a '
11 est inutile d'avoir dgard aux yariatioiK des quantités P et P' dans ce terme ^ qui est toujours trè» petit relativement au précédent; la valeur de Su deviendra ainsi
^,rir
v[ï(/ï'-/i)-^//i]« L [i(/» -/i)-f-/n]a/ J i(/i -n)-f-//i c/rt* ""^ ' I
On obtiendrait relativement au rajon vecteur une expression semblable , en introduisant à la place de R sa valeur précédente dans Féquation différentielle (i), et en l'intégrant ensuite , en ayant égard à la variabilité de P et P'; mais comme les termes qui en ré*
sûlteraient dans l'expression de —^ sont , à très pea
près y insensibles , nous nous dispenserons de cette opération. . .
Pour déterminer les valeurs de -^ , -^ , -^r r
-r^ f etc^ , il faudrait différentier les quantités P et P'
par rapport aux^élémens elliptiques que ces quantités renferment, en substituant ensuite, au lieu des différences de ces élémens y leurs valeurs ordonnées par rapport aux puissances du temps , on aurait les
expressions de ^ , -3- » "^T^ 1?' ^^^^> develop-
i5p TBâQKTB AMAtTTIQUE
pées de Ik même manière; en s'en tenant aux termes multiplies par le carré du temps, l'expression precé» dente de ^i^ i)rendra alors cette forme :
(A +B <+C<*)sin[i(/2'/— 7ir+4'— O^+^'^+^l
et cette expression pourra s'étendre en général à plivsieurs siècles , ayant et après Tinstant que l'on aura choisi pour époque. #
Mais dans les applications il sera plus simple de
.. . , I , dP rfF ^P J»F , , determmer les valeurs de ^, ^, -^ ^ -^ , de la
manière suivante. L'expression de P au bout du temps t sera généralement
Cette expression , en s'en tenant aux termes dé^ pendans du q^rré du tçmps , pourra s'é(en4re i mille ou douze cents ans avant et après l'instant que Ton a choisi pour époque.
Cela posé ou calculera , en ayant égard aux variations que subissent dans cet intervalle les élémens des orbites , les valeurs de F pour deux nouvelles époques distantes , la première de t^^ la seconde de t'^^ de celle d'où l'on compte le tempe t. En nommant P^ et P^ cei valeurs ^ on aura
DU Sf arÈME DU MOKOE. tSi
d'où Ton tira
ar ^ — ^~77tjr=rr) — "* d-p ^ ^ i'(p,~p)-<'(p.-p)
On aurait de la même manière les valeurs de -^
et de -j-r.
Dans la plupart de ces cas, c'est-à-dire lorsque les inégalités que Ton veut déterminer ne sont pas très considéiraÛes> on pciit> comme nous l'avons dit
plus liant dans l'expression de /i^, négliger H^' et -^; on aura alors siorplement*
<' désignant ici tin intervalle de deu^t à trots siècles qui sépare les époques pour lesquelles les valçur^ de P, P, , F et P\, ont été calculées. '
3q* La forwiile ( 9^) , lorsqu'on, il^îg4 1^ t«q
mes dépendant d^ difféiwQCQ^ ^ fit ^^ dpitjoi^^
cîdet av«c la ifbiinule (y). C*est' ; eh eflTét ; ' ce dont il csst facile de s-aswrer eh dëteloppant trè^è dernière, et en ^observant que par la comparasson des deux expressions que nous avons supposées aifai lermes de R que nous considérons , on a
F x^ kcwC, P =.-^ftsin€- ^
i5» THÉORIE ANALYTIQUE
Réciproquement, il est souvent utile dans I^ théorie des perturbations planétaires de réunir en un seul terme les diverses parties d une inégalité dépendante d'un argument déterminé ^W — in. Pour cela ^ on commencera par décomposer ces différentes parties , de manière à donner à leur somme la forme suivante . • ,
Asîn(/'/i7 — i>i< H- Hê — ie) -j- Bcos(m'^ — int^ ïV — Uy
Si l'on suppose ensuite que l'inégalité dont il s'agit devienne
Lsia (i'n^t — ùzt -f- *V — « -+• ô) f on aura .pour déterminer L et fi les. deux équations
Ces transformations nous sepont très utiles dans la suite/
3 1 . Lorsque la valeur de — sera déterminée » il sera
facile d'en conclure cdle de — •• En effet, si l'on désigne
par' — ^ là partie de — qui dépend de l'angle
i(f^t'-^nt^^''^^) + lnt+U et par
2JN[ços[î(7i'^--/i« 476'.— g )•+-/«< 4-/6 + %} les aut;:ç& termes dont qette quantité se compose , on
^=^{Ç+2Ncos[f(7z^/-n/+6'-i)+^^ ^ . Si l'on substitue pour - sa valeur i +li| et que dans
MI SYSTÈME DU MONDE. i53
le produit a2Fcos[i(n'<— /i^+ 1 — ^)'^f^^^fi'+'X] t on ne conserve que les termes dépendans de l'angle i[p!t — nt'^g^ — g) -I- Int-^ h , que pour abréger on désigne ces termes par
2L cos [i(/i'^ — ni 4- 6' — 634-/71^4-/6 + 0],
réquation précédente , en n'ayant, égard qu'aux fermes qui dépendent du même argument, donnera
3a. Il nous reste à déterminer les inégalités du mouvement de la planète en latitude* On pourrait employer pour cela la formule (7) du n® 89, livre II.
Comme cette équation suppose que l'on prend pour plan fixe celui de l'orbite primitive, après avoir dîfierentié par rapport à z la fonction R, on fera z = o dans le résultat , et l'on formera le dével<^ipement de la fonction
par les mêmes moyens que nous avons employés pour le développement de la fonction R. On peut d'ailleurs déduire, ces deux expressions l'une de l'autre au moyen des formules du n* 4 ^ l'équation ( 9 ) ayant même forme que l'équation (i), s'intégrera
i54 THfiORlB ANALTriQDB
ensuite de h même manière > €t donnera^ par d»
approximations succéssiYes, les ia^alités de la kiti-
tude de tel ordre qu'eu voudra» par rapport aux
puissances et aux produits des excentricités et des
inclinaisons.
Mais comme les fnégalitës de la latitude sont en général très peu considérables , il suffira de déter^ mixifiT celles qui pourraient devenir sensibles par les très petits diviseurs que l'intégration leur fait ac* quérir. Alors il sera plus simple d'employer à cette détermination les formules relatives k la variation des constantes qui fixent la position du plan de l'orbite. On aura, n® 86, Uvre II ,
J's:=:J'q9m(i^ — n) — crpcos(i' — n). (lo)
Et pour déterminer J^p et J'q , on aura , n* 4 > le^ formules
Si Ton se borne à considérer dans l'expression de la latitude, parmi les termes dépendans Hwn âfgiH ment donné ceux qui sont de Tordre le moins ^evé par rapport aux excentricités et aux inclinaisons ^ on pourra négliger les termes multiplia par c* et y^ , dau c^ dqux expr^ions, ce qui donne A:;:^ sin^; on «ura siivplement ainsi
DU SYSTÈME DU MONDE. iS$
Soit ydoDC
un terme quelconque de R dépendant de Tangle fn'l-— àiif. En n'ayant égard qu*à ce terme ;9 on aura
^ ;;= agm'AX^"" ' coa(iV« ~. w* ^ B — agll), et par conséquent
En substituant ces valeurs dans l'expression (lo) ^ on trouvera
J^J =^^A"^^'sin[f'n7-m^-H-B-(2g-i)n]. (i i)
Oq aura donc ainsi les inégalités de la latitude correspondantes aux termes de R qui dépendent de l'angle in't'^inty et que la petitesse du diviseur iffl^^in peut rendre sensibles. L'expression de i's ne renferme, il est vrai^ ce diviseur qu'à la première pussance; et sous ce rapport, Tinëgalité qui ea lÀulte doit être , par conséquent , beaucoup moina considérable que l'inégalité correspondante de la lon^ gitude moyenne; mais, d'un autre o6té, Tordre do son coefficient se trouvant abaisse d'une unité , cette
i56 THÉORIE ANALYTIQUE
circonstance doit contribuer à augmenter sa valeur. Au reste, toutes les inégalités de la latitude d'un ordre supérieur au premier sont insensibles dans les mouvemens des planètes, excepté relativement à Jupiter et à Saturne , à cause dii rapport de com-^ mensurabilité qui existe entre leurs moyens mouvemens.
53. Si l'on veut rapporter le mouvement de m à un plan fixe très peu incliné à celui de son orbite iprimitive , qu'on nomme (p l'inclinaison de cette orbite sur ce plan , â la longitude de son nœud ascendant , et i/ la projection de i^ sur le plan fixe , en supposant que m ne quitte pas le plan de soin orbite primitive, on aura, à très peu près,
i^' — 8 = 1^ — ^lang»^sîn2(p — ^^6); ^ == tang ^ sin ( (^ — fl), ou bien
i/ — 9 = (^ — ^s tang (p cos (v — fl ).
Si donc on fait croître la latitude s de Ss, on aura
V — fl=P — r^tang*(psin2(i; — 0) — ^cTf tang(pcos(p — 6),
Oh voit, par conséquent, que Ja variatioa de la latitude introduit dans l'expression de la longitude r;apportée à un plan fixe , des inégalités dépendantes des icarrés et des puissances supérieures des excentricités et des inclinaisons; mais les termes qui en résultent sont insensibles même dans la théorie de Jupiter et de Saturne.
54* Nous allons considérer en particulier les inégalités.
dépendaDtes du carré et des produits des exceutncités et des inclinaisons. En ne portant l'approximation que jnsqu^aux termes dépendans des premières puissances des excentricités et des inclinaisons ^ on a trouvé , n* 85 du livre II ,
I — = — COcos i(n't— n«-f-t'— i)-f-TO'«DCOco« [t(n'«— nt -f-/— •) ^./it+t— •] + i?*VE(Oço« [i(7i't — nt -I- /— i) 4- /it -f t — «'].
En supposant / = 2 dans les formules (4) et (7) (*), ' on trouve ainsi :
3 , C (C(0+ D<0)e»cos \i{n*t — n« + *- 1 } -1- an* +ai — a»] I j ,
a-^^fi^-) m^ I (C<0-hD(0)c«siii [i(n'£— /i« +#'— •)+ ant 4-ai— a«] | *'"' fl«iM/« a I + E<Oe«'iin [i{n't — «« + •'— f)+a/i« + ai — •'— •] i
[i(/i — /i) 4- an]» i(/i'— ii)^-»» J
En donnant à < toutes les valeurs positives et négatives, en y comprenant zéro^ on aura toutes les inégalités du second ordre y dans lesquelles le coeiB-* oient de n't surpasse celui de nt ou est surpassé par lui de deux unités.
Si la quantité M + (a — i)n diffère peu de dbn, lun des diviseurs i(n' — • n) -f- 5/z ou £(/i' •— w) -f- /i
étant peu considérable, l'expression de — peut acquérir une valeur sensible. Si la quantité zW+(2 — î)n est très petite, les termes de l'expression de «Ti^ et
{*) Les valeurs de F, pages i4i et 142, doivent être changées de signes.
^ux de Id valeur de -7 qui opt cette quantité pour
diviseur, pourront donner lieu à àes inégalités con« sidérables.
En désignant par — la partie de — qtti dépend
des carrés des excentricités et des inclinaisons des orbites et de l'angle i (n't — nt-^é* — €) -|- snt -f- 26 , on aura
La fonction R renferme des termes de Tordra du carré des excentricités et des inclinaisons qui dépendent de langle i(n't — nt+^ -^i). Supposons qu'en n'ayaût égard qu^à ces termes on ait
R = m'A:'cos[/(n'^ — ni -f- é' — «)*t-p}* En faisant Z = o dans les formules générales (4)
et (7) p on aura pour les inégalités de --^ et cTi^ dé-^ pendantes du même argument^
^mn .^ +E(Otfe'co8 [i (»' t — «« + •'— .) + «,-.«,'] /
fJ^
Si la quantité z(n' — n) diffère peu de db n ^ alors l'expression de — ; peut acquérir une valeur sensible
iBti vertu de Taii des très petits dmseurs i(jnf'^H)'^n ou i(n' — n) — n qu'elle renferme ; enfin si la quantité i{n' *^n) est très pçtite, c'est-^à-dire si les moyens mouveiMns des deux plaiûètes diffèrent peu Tun de l'autre > il en résultera des inégalités qui peuvent devenir très sensibles dans l'-expression des longitudes des deux i^anètes^
En désignant par — la partie de — qui dépend
de l'angle i(n't — 71^+ «'—0 ®* V^^ est [de l'ordre des carrés des excentricités et des inclinaisons, on aura :
'm' . [ CD)
^EC0ee^cos[î(n7-/i^4.€'-f)+«-û>'] .
i devant être pris avec le signe + et avec le signe — dans toutes ces. formules. Les formules (C) et (D) introduisent^ comme on voit^ dans l'expression du rayon vecteur et de la longitude, des termes du second ordre par rapport aux excentricités et aux inclinaisonsi qui dépendent des mêmes argumens que les termes indépendans de ces deux élémens.
Les formules (A), (B), (C) et (D) donneront toutes les inégalités du rayon vecteur et de la longitude , dépendantes des carrés des excentricités et des inclinaisons ; mais cotnme leur nombre est trop consid^ rable pour qu'on les puisse calculer toutes , on se bornera à déterminer celtes qui sont assujetties k l'une des quatre conditions énoncées plus haut , et
i6o THÉORIE ANALYTIQUE
qui f par cette raisoo , peuvent acquérir une valeur
sensible^
Si l'une des inégalités de la longitude est suscep* tible de devenir, considérable il sera nécessaire ^ dans l'expression de S's^ ^ d'avoir égard à la variabilité des élémens des orbites, on pourra recourir alors à la formule générale (8) , et elle donnera sans peine des formules applicables au cas où l'on considère les inégalités dépendantes du carré des excentricités et des inclinaisons.
35. Considérons maintenant les inégalités dépen-* dantes des cubes des excentricités et des inclinaisons. Comme ces inégalités ne deviennent sensibles que par les petits diviseurs qi^e ^^'intégration leur fait acquérir, on peut se borner à calculer les termes qui sont affectés de ces diviseurs.
* Pour cela, supposons que par l'approximation précédente on ait
— ^S=s^ COs[f(7l7 — -W^+ê' — €)+2n^-f-!l£*4-J^].
Le coefficient h étant affecté du très petit diviseur i(/i'— 7i)+5w. Il en résultera dans — le terme
Acos \jJ(p!t — /il-f- €' — €) + :int + a€ -f- cT].
Et cette valeur de — introduira dans l'équation
différentielle (i) des termes dépendans de l'angle i{n't — »^+*' — 6)+ 3/2^-f- 5€ , et des termes dépen* dans de l'angle i{n't ^-^nt +€* — e) + ti^ + «> qoî auront pour diviseur i(n' — n)^^n, d'après ce que
DU SYSTÈME DU MONDE. t6i
nous ayons dit n^ aS; en ne coosidërant que ces termes, on aura
En faisant donc /=3 dans la formule générale (4)> et en observant que Ton peut négliger 1(71' — w)+ 5/i devant n dans les diviseurs de cette expression , on aura , en ne considérant que les termes qui ont /(»'—- «)+3/i pour diviseurs ,
— =: — - cA C08 [i^f — ni + 1'— 1) + 3n/ 4. 3i — # + «r]
+ -eh CO8 nV* — nt + t — t) + m + i+m + r\
+ .y? -0^'^ .iifeos[i(n /—»<+•'— e)+3/il + 3i-K]: i(n — n)4-3/t ^ ^ ' : ' • J
£n vertu de cette valeur et de la précédente '-^:=ik cos [ï(/iV — nt-j-è' — ë) + nnt + 21 ^ J^J ? on aura pour la partie de —7 qui a pour divisei:ff
— = hco^i{n!t — 71^ + €' — é) + 2nt + ae + cTj
— - c^ cos[/(7i'< — nt'\'6' — €) + 5nt + Se — o) + cT]! -f- e^ cos[i\n'^ — n^ + 6' — €)H-'ï^+^+û> + cr] ( W
