Tome IIL i i
i6a TBÉORIE ANALYTIQUE
l'équation (5) peut s'écrire ainsi ^
En ne considérant que les termes qui dépendent de l'angle 2(n'^ — Ti^-f-g' — $)^nt+i, et qui ont pour diviseur i{n! — 7i) + 5w, en vertu des valeurs précédentes de —7- et — , Qn trouve
a'nat \ « V
La quantité «(/i' — 7î)-f-3/i étant très petite, dans le coefficient de cette inégalité on peut supposer , sans
erreur sensible , i{n' — 71):;;=:— 3/z; la partie indépendante de K de la formule (5) introduira donc dans l'expression de cT^^ le terme
En vertu de la valeur
— z;=^hcàs [/(/l't — W^ +?' — é) 4- 371^4- af •+-c/^] y
le terme ^ ^ introduit dans le cTv , le suivant :
— ^(^ — ») -^^ ^?,2Asin[I(7^^^^-7^^+/— €)+ayi<+ag4-<ri,
ou bien en observant qu'on a à très peu' près^ . . . i(n' — 7z) + 3/1 = o , le terme
-h ^h sin p(w7 — nt^î' — t)+2nt'^2î+ cT] ;
le tçrme ^- donnera celui-ci :
En réunissant donc les différentes parties de ^v; faisant /= 3 dans la formule générale (7), et en
DU SYSTÈME DU MONMl. i63
ne bonsidërant que les termes qai ont i(n''^^n)^5n pour diviseur^ on aura
^=— -cA sin [i{n't — . ni 4. g' — g) -f. Bnt 4, 3» — ,, 4. /]
— 2h sin [i (r/t — nt 4- / — § ) 4. a/if 4- ai -f- /]
4--eA sin [i C»'« — «t -«- / — «) 4- i< 4- • 4- » 4- «T] / (F)
l3(i— 3)m'«/i« . îim'« ^itl . .., . ^ , ^ ^
|[i(/i -«j4"^/»]* i(«-/i)4-v'» da} ^'^ ' .-T-«^T— j
Les formules (E) et (F) donneront toutes les inégalités du troisième ordre croissant avec une grande lenteur, et qui peuvent devenir sensibles en acquérant par l'intégration un très petit diviseur.
36. On pourra donc , au moyen des formules des n** 28 et 29 , déterminer toutes les inégalités de m dépendantes d'une puissance donnée des excentricités et des inclinaisons, qui peuvent avoir une valeur sensible. Mais lorsqu'il s'agit seulement, comme dans le numéro précédent , de calculer quelques inégalités parti«culières dépendantes d'un argument déterminé, il est plus simple d'employer la.méthode de la variation des constantes arjbitraires , qui donnera immédiatement toutes les inégalités d'un ordre quelconque , qui deviennent sensibles par les petits diviseurs que l'intégration \çnv fait acquérir, sans qu'on. soit obligé de s'occuper des inégalités d'un ordre inférieur.
En effet^i soit
m'kcos[i(n't—nt+i'—éj+tnt+h—feù—fc^^
l'un des termes du développement de R. D'après la loi de ce développement, lï** 4> ' ^^ ^ étant supposés positifs, et i plus grand que l, le coefficient m sera de l'ordre
4 THÉORIE ANAlïTIQim
>u d'nn ordre supérienr d^rdcox , de qaatre , etc. , lités , relativement aux excentricités et aux iiidilisons ; en sorte qne, si parmi les inégalités dépenintes de l'angle i{n't — nt)-^Int, on n'a égard qn'à lies qui sont de l'ordre le moins élevé , relativement X excentricités et aux inclinaisons, m -sera de la pnje efe'^'\'^"A,J',f etf étant des nombres tons lis positifs liés par l'équation / — f — f — sj" = o A étant une fonction indépendante des excentriés et des iaclioaisons des orbites. On aura donc
^ = fef-^ e'^A'/"A =^ , § =^ a/Ve'/'A*'"-A = ^.
Supposons maintenant que le terme
kcos[i(n't — nt-^t' — i)+înt^U—f(6~-J'cù' — 2j"T\)
inné la forme suivante :
•in [i {n't -nt + ^~ •■+(n(+/.]-Hn'P'co.i:i{«'(—n(+i'— <)+//.<+/.].
comparant ces denx expressions, on aura P = A sin {/û. -h/&' + a/'n) ,
F= koos (fa +/'»'+ a/'n), ii l'on différentie par rapport à e, â). A, et n ces tressions , et qu'à la place de -j- et de ^r on subsle leurs valeurs précédentes, on tronTera
dP JF ^ "T
d.~ " tk ' d, ' dt '
<ln~ dy' da~ '^ A • «la posé , si pour abréger on fait iirlt — nt-\-i' — «)
DU SYSTÈME DU MONDE. i65
^lnt^ks=:a, et qu'on néglige les inégalités qui seraient d'un ordre supérieur à l, relativement aux excentricités et aux inclinaisons , on trouvera, n**' 1 7 (*)f que le terme précédent du développement de R , introduit dans chacun des élémens de Torbite de m les inégalités correspondantes qui suivent :
la = r-; 7; rf— (F «m « -h P CO8 «t),
f = rn^ — V — TT^r (Psm «— P co« «).
ïït'fl» r/i </F cflP'N . /i JP */P\ T
iTi'— (t — l)n \de . oe /
. if/fl» /dP' . dP X
M»= T-T — 7: ïr- I -J- 8in * — j- cos « 1,
m'ansinv /dF . dP \
p= rr-7 — 7: TT-r I -7-fiin« — -7- cos A 1,
m'awx /'^P . . JP' \
Ces diverses inégalités peuvent devenir très sensibles, si le diviseur /n' — {i — l)n est une très petite quantité ; les plus considérables seront d'abord celles du moyea mouvement, à raison du très petit coefficient dont elles sont affectées , et ensuite celles de lexcentricité et de la longitude du périhélie , parce que l'ordre de ces inégalités se trouvant abaissé d'une unité par rapport au pi^mier de ces élémens, et de deux unités par rapport au second , elles peuvent ^ par cette cause, devenir très sensibles si l'exçenr tricité est très petite , et aiéme surpasser les inégalités correspondantes du moyen mouvement , quoi-
(*) Les termes de ia^ iZ, , etc», donnes n*> 1 7, ont été pris pajr erreur, avec un sîgne contraire.
t6$ THÉOftlE AIALYTIQDE
^ti'ellesti'aiênt pour diviseur que la première puissance de la quantité in! — (f — l)n^ comme la théorie de& satellites de Jupiter en offre un exemple. Cest donc principalement aux inégalités de ces trois élémens qu'il faudra avoir égard dans la détermination des perturbations planétaii'es.
Il ne s'agit plus que d'introduire ces variations dans les formules du mouvement elliptique, pour avoir les formules qui conviennent au mouyenient troublé. On a
V zizfndt -j- 6 + 26 sin {fndt + « — co)
+ I e'sin 2 {fndt -J- € — ») + etc.
Cette valeur de la longitude vraie étant celle que Ton obtient lorsque dans les formules de Forbite elliptique on change le moyen mouvement nt en fndt f pour rendre ces formules applicables au mouvement troublé, conformément à ce que nous arons dit n'* 45 , livre II.
Si Ton différence l'expression précédente par rapport a la caractéristique J", en observant que l'on a fndtzsznt'+'Ç , et qu'on peut supposer fndtzsznt dans Ids termes qui sont de l'ordre des forces perturbatrices, puisqu'on néglige ici leur carré , en supprimant les termes qui après la substitution des valeurs de ^, cTé, J^e , etc. , seraient d^un ordre supérieur à l, on aura
/pï=Ç+J^6+^^[2SÎn(n^+f-^»)-f-|esin2(n<-f-g — co)] — eJ^û;[!3icos(/i^-f-€— û>)+|ecos2(nf4-6-a)].
Si dans cette expression on substitue pour l^, J'e, et e^ûf leurs valeurs précédentes , et que pour abréger on fasse
m' an dk - 4
izy • -71— f^f
(i — l)n'^in de
et f = — foù — f^œ' — !ip'n , on trouvera
ETf/i'— n) -f. //ij* l— tfPco» [«(/i'* — /Il -f- •'— «) 4- Int 4- /•] I
, - fl*-r-sinfi(n'« — ii« -4- •'— •) H- //i« -f- /•]
vnln \ da ^^ i -i~ t- ^
i(«' — /i) + //i ] dp ., , . j / \ . j - . iT
^ ' ' — n*-3-co»[i(» « — R< -f r -« •) -f* 4fit -f> /O
— ièfc8in[iV«— «I + •'— •) + int + /t + C]
-4- *fc »in[i(/i'£ — »« -H •'— §) + (/ — i)rt« + (/ — i)i -h • H- C]
De même pour le rajron -vecteur on a
-= 1 -— ecod(y/Mfe-f-i — o)
*+--ïd'[ï — cas 2{fndt -+- i — û>)}+etc^ et en dîfiërentiant par rapport à cT
^ as — -f- «^tf — /e [cd8 (ni -f- i — •) H- « cos a (m -f- • — *>)î
— «/» [sia (/iC + f -*' «) 4* 0 «in a(ni + • *- •)!•
Eu substituant pour JVf, JV, J'co leurs valeurs ^ on aura
£l ^>»^(^— 0" / «P "" [«('»'' — »f -*• / — •) -h //Il H- /•] V ' a *^î(n'— n)-f-/ii l4-tfFco8 [£(/»'« — ni -f- <' — t) 4- /«t -f- /t] J
— . eh «o» [t (fi'i -^ fit 4- ^ *- <) 4- l»« + /t + C] V (^
•4* A eo8 [i (n'i — nf -f» *' — ».) -f. (/ — i) ni -f«(/.^i)fHh • 4* C]
+ eA«o> [*(«'« — m 4- •' — •) 4- (/t- a) ni 4- (^-^)«4-a^4fl.
Ekifitl , en vertu de l^ëquatîon (i l) tîu ri'Sa, le ternie de la valeur de R pnodoira dans Feicpres^ion delà la-^
>€8 THÊ(AI£ ANALYTIQUB
titude le suivant :
Si Ton fait maintenant / = 3 dans les expressions précédentes y en observant qu'on a € z=zS ^^ a, et <]ue pour P et F on substitue leurs valeurs en foûction de k et de € données par les équations (13), on retrouvera les valeurs de J^r, Jv, JV que nous avons déduites ^ n* 35 ^ des formules générales des n°' 28 et 29, L'accord des deux procédés est donc parfaitement vérifié , quel que soit le degré d^approximation que Ton veuille obtenir , ainsi que nous l'avions déjà établi dans le n® 91 du livre II, relativement aux termes dépendans des premières puissances des excentricités' et des inclinaisons.
37. La méthode de la variation des élémens de l'orbite elliptique conduit très simplement, comme on voit, à la détermination des inégalités qui sont afièctëes de diviseurs qui les rendent considérables; mais s'il s'agissait de déterminer toutes les inégalités d'une planète dépendantes d'un . argument déterminé ,. la multiplicité des termes qu^introduirait dans les expressions du rayon vecteur, de la longitude et de la latitude,^ la variation des élémens, rendrait ce procédé long et pénible; et dans ce cas, pour éviter des réductions trop compliquées , il sera mieux , comme jaous l'avons dit , n*" 88 , livre H , de recourir aux formules générales qui résultent de l'intégration directe dés] équations différentielles du mouvement troublé.
Nous avons exposé dans le chapitre II ^ pour caf-
DU SYSTÈME DU MONDE. i6g
cnler le coefficient d'un terme quelconque de Texpression de R en série ^ relatif à un argument dé* terminé , un procédé qui est indépendant des excentricités et des inclinaisons , et qui dispense d'effectuer le péùible développement de cette fonction. On aura de cette manière ^ sans beaucoup de calculs , les valeurs de P et F que l'on doit substituer dans les formules précédentes; et ce procédé^ joint à la méthode de la variation des constantes arbitraires, est sans coatredit le plus simple et le plus sûr qu'on puisse employer pour déterminer les inégalités d'une planète qui peuvent devenir sensibles quoiqu'elles soient , relativement aux excentricités et aux inclinaisons , d'un ordre supérieur au second.
58. Reprenons les formules (G), (H} et (K). Le cas de Z= 3 mérite une attention particulière , parce que c'est de lui que dépendent les deux grandes inégalités que l'observation avait fait remarquer depuis longtemps dans les mouvemens de Jupiter et de Saturne, et dont on avait vainement cherché la cause. En effet, en supposant que n se rapporte à Jupiter et /i' à Saturne, si dans i{n' — '*)+ ^^ on fait /= 5 et z = 5 , ce diviseur devient 5n' — 2n, quantité très petite en vertu du rapport qui existe entre les moyens mouvemens de ces deux planètes , n® 59, livre II ; de sorte que les inégalités qui ont cette quantité pour diviseur peuvent devenir considérables^ quoiqu'elles soient au moins du, troisième ordre par rapport aux excentricités et aux inclinaisons.
Comme ces inégalités sont extrêmement importantes dans la théorie des mouvemens planétaires^ nous
allons développer complètement les formules propres à les déterminer. Pour cela , désignons par ttz la masse de Jupiter et par m! celle de Saturne. En ne considérant que les termes du troisième ordre relativement aux excentricités et aux inclinaisons qui dépendent de Fangle 5nt-^ ^nt^ on a ^ par le n"^ 4 ^
R = M^e* cos {5n't — ant + Se' — 36 — Sœ) + M^%*e' cos (5n't — 2nt-{-5e' — 2 « — 20 — dû')
-f- M^'W*C0s(5w'f 2/l< + 5€' 2€— C0 2Cû')
-f- M^*V^ cos (5n't — 2nt+5i^ — 26 — 5«') ^ 4- N^*^eA*cos {5n't — 2nt -f- 5ef — 2e — co — sll) + N^' V A*cos (5n7— 2nt+ Si' — 26— û»'— 20}.
Les valeurs de M^*^ , M^'^ , etc. , étant déterminées par les formules générales du n** 7 , dans lesquelles on fera ê = 5, ce qui donne , en substituant en outre à la place de A^*^ et de ses coefEciens diflférentiels ,
leurs valeurs e» b^^, a — — , etc.,
/IVT/ N "* » I 7 ^" . * I
Si Ton décompose l'expression precëdeofe de R en sinus et en cosinus de l'angle Srit — 2n^-|-5i' — 21 ^ et qu'on lui suppose cette forme :
R = mT sin {Mt — 'int 4- 5/ — ^c) + mT'cos (5/»'< -— ^nt 4- Se' — 2«) ,
inVP = o^COc »8in 3m + a'MCOc'c'sio (a. -f. a/) 4- a'M(>)ce'«8iii (« + a«»0
et la quantité rtia!Y sera déterminée par la même expression dans laquelle on changera simplement les sinus en cosinus.
Cela posé^ si l'on fait Z=5 et î = 5 dans les valeurs de S's^ et «Tr du numéro précédent, on aura, relativement à Jupiter , pour les inégalités de la longitude
^ =s s^-~ — \ L ', flP'— ^af -7- ) sia (5fi'f — aitl -f- 5i'— atl
o/i' — a/i \5/» — an da J
— r-; •( =-7 aP— aa» -7- ) cos (5/i'/— ant + 5i'— at)
+ afc sîn (5/i'« — 3«t + 5/ — 3i -h J')
— - «^ sm (5«'£ — anf -f- 5t' — at — 0» •+• /)
+ - cA sin (5/i'« — 4"' + 5i' — 4« H- » -H /)>
et pour celle du rayon vecteur ,
^r l^m'n T tfP ain {^n't — int •+• 5t'— ai) "1
a""* 5b'— aw'L-f- ûP'cos (5/i'f — awf + 5^— ai) J
«^ A co# (Sii'r — 3»/ 4- 5f' — 3t -f- iT) ^ (L)
— cA CM (5n'i — a/it •+■ 5f' — at — a» H- /) + cA C08 (5/i'« — 4"' "^- 5/ — 4« + • + ^)«
En supposant / =5 — :i dans les formules (G) et (H) , et en changeant tout ce qui est relatif à m en ce qui est relatif à ni^ et h en ^', on aura des for-
mules analogues aux précédentes pour déterminer les inégalités du mouvement de Saturne troublé par Jupiter.
On trouvera ainsi
5»'— an \5» — an da' / ^ '
+ =-7 ( =~7 a P-hafl'»-7-7 )co»(5n't— a/i«-f-5f'— at)
5/»' — a/i \5/i — an dtc J
+ aV sin (4n'« -• anr -f. 4»' — ai H- ^ ) ^^
— i C'A' sin (5n'/ — inl + 5i' — ai — •' -f- V)
-f--«'A' «in (3n'« — ant -f- 3/ — a« -f- •' + O» a
//•' lonin' r a'P sin (5rt't — an« ■♦- 6t' — ai) "1 af ■" 5n'— an L+ a'P'cos (5n'« — ant + 5/ — ai) J
-h A' ces {\n't — an£ ^. 4/ — at + J*0 ) CT
— «'A'cos (5n'f — ant -^ 5i' — a« — »' + O -h c'A'cos (3n'i — anï + 3f' — at + •'-!- ^').
59. On doit observer que les quantités P et P' conservent les mêmes valeurs , soit que Ton considère Faction de rri sur rrij soit celle de m sur nJ ^ ce qui résulte de ce que dans le développement de la fonction
1 xxj\jy+z^
V/(x'— x)H {f-J^y+^z'—zY r^
la partie -^^ ne produit aucun terme
de Tordre des cubes des excentricités dépendant de l'argument 5n'^ — J2«f^ en sorte que ces termes ne peuvent résulter dans R que du développement de
la partie [(^'— jr^'+Cy-^J^j'+C^'"— ^)]~* qui est commune aux deux planètes.
Il suit de là que si Ton ne considère dans «Tp et /^
DU SYSTÈME DU MONDE. j^S
que la partie qui a pour diviseur (5w'— an)' , et qui est la plus considérable de ces valeurs ^ on aura eptre elles la relation
'aV
5mn
nm' n'a
jv^'= ^J!î^ .jv,.
ou bien en observant qu'en vertu du rapport qui existe entre les moyens mouvemens de Jupiter et de Saturne , Sn' est à très peu près égal à 2/1, et que
équation d'où l'on conclura la partie S'^ qui a (5n' — 2n)* pour diviseur de la partie correspondante de cTi'', et réciproquement.
Cette équation, d'ailleurs, n'est qu'un cas parti* culier d'une relation générale qui existe entre les inégalités à longues périodes des moyens mouvemens de deux planètes m et m', troublées par leur action mutuelle , et qui est fort utile dans la théorie des perturbations planétaires , parce qu'elle peut servir soit à déterminer l'une par l'autre ces inégalités , ce qui abrège beaucoup les opérations numériques , soit à vérifier leurs valeurs lorsqu'on les a calculées séparément.
On peut démontrer a priori cette relation de la manière suivante :
En nommant R' la valeur de R relative à l'action de m sur m', on aura, u® 4^^ livre II ,
v; -^ my a y
Lorsqu'on aura calcule les inégalités de ^ qui ont {iri — in)^ pour diviseur , cette équation donnera les inégalités correspondantes de ^^
La relation précédente , qui lie entre elles les inégalités à longue période de deux planètes soumises à leur action mutuelle, est la même que celle qui existe en général entre les variations séculaires des élémens elliptiques d'un système de planètes réagissant les unes sur les autres.
40. Considérons enfin les inégalités du mouvement en latitude : l'expression de R contient les deux ter« mes suivans :
W^eX^co^{^n!t — zmt -)- 5e' — 26 — œ — ail), N^'^e'A*cos(5/i'^ — :mt -f- 5e' — 26 — cJ — ail).
En vertu de ces termes , on aura pour les inégalités de latitude^ n* 36.
*^*"" 5//— a/i L + e'xN<0 sin (5/i'« — Znt + 5i' — 3f — «'— H) J'
En changeant dans la formule (K) tout ce qui se rapporte à m dans ce qui est relatif à in! et réciproque^ ment , et en observant que N'^*^ et N'^*^ désignant ce que deviennent N^*^ et N^'^ relativement km\ on a
N/(o) ^ "^L NO, N'CO = ^ N^.), on aura pour l'inégalité correspondante du mouvement en latitude
DO SYSTÈME DU MONDE. ' m'
ae -' •"
n désignant, comme dans ce qui précède, la longitude du nœud de l'orbite de m' sur l'orbite de m.
as inégalités peuvent s'élever à 4" à peu prés pour Jupiter, et à 10" pour Saturne. Ce sont les seules inégalités de la latitude dépendantes du produit des excentricités et des inclinaisons , qui soient sensibles dans le sjstème planétaire.
On a vu, dans le n» 33, que la valeur de J^s introduit dans l'expression de la longitude rapportée à un plan fixe le terme -tang <p^s cos(v.- fl), en substituant donc pour ^s sa valeur, U en résultera un terme dépendant de l'angle Sn't^ant qui devra être ajouté à la grande inégalité qui affecte la longitude de m; mais ce terme est insensible pour Jupiter et pour Saturne.
4i. On déterminera, au moj^en des formules précédentes, toutes les inégalités de l'ordre des cubes des excentricités et des inclinaisons, qui dépendent de l'angle 5n't—mt, et qui peuvent devenir sensibles dans les longitudes, les latitudes et les rayons vecteurs de Jupiter et de Saturne, en vertu de la commensurabilité approchée de leure moyens mouvemens. Comme les inégalités du mouvement en longitude sont très considérables, il sera nécessaire , dans JV et «Tt^, d'avoir égardaux variations séculaires des élémens elliptiques de to et de m'; pour cela, dans les expressions de ces deux quantités , à la place de «T et de a'P', on substituera les séries Tome lll. 12
^p j a^P 3aifP
^ad? 3adP
af^
iSn^fàn)ik (5n'— *n)4ft'
et Ton détemunera les difTérences -g- , -^ , ^ ,
-^T f comme on 1 a explique û* 119.
4a • Diaprés la théorie des perturbations planétaires^ les inégalités dépendantes de l'angle Sntt — ant doivent se reproduire parmi les termes du cinquième ordre relativement aux excentricités et aux inclinaisons , et la petitesse du diviseur 5n' -*— 2tt oblige d'avoir égard à ces termes. Il sera facile de les déterminer par les formules précédentes du moment que Ton aura efiectué le développement des termes du cinquième ordre de la fonction R qui dépendent de l'angle 5n't — 2nt; pour cela il suffira de faire /=5 dans l'expression de R du n* 16. On aura ainsi
Ri=n M<«>eos (5nV— 2?iie4-.5k' — . a€+A>'— 4») 4- M^'> cos (5n't — 3»f +5£'— tk& -*• 3 «) . 4-M<*>cos (5h'f— 3î»^-h5é^ — a€ — ^'^- 7w) -l-MWcos (5n'if— line+Sé'— 2«— 3w>' — w)
4- M«> cos (57i'f — 2ru + 5«' — ai — 4^' -f- At) 4-N^**icos(5/i'^ — 2n<-+-5É^— 215— Mi-f-to'— ^ H-N^*^cos(5n'< — ^nt^Sé'-^ai — t^-^alT) 4-N^»^ cos (5n't^ ^nt+Sê'^^e^ ^»'— ^11) +N<^^ cos (5n'i — !i/i/4-5«'-~a€-f. w^ — 2« -alT) 4-N^*>cos(5n'f — 2n^+5é'— 12«+ »'— 40) +NWcos(5n'^ — 2n^ + 56'— 2€^- «—411).
^ pour détCTjp^aer les'^yantîtés IVP*', M^*', etc. , on aura
OPl-
07^8^1 -h543an-2-S-4-i6oit»—Y-^ai6<tf..^>j^ ^
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TOÊbRIE ANALYTIQUE
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DU £¥S1^ME DU MOMINE. iftt
«TJ«=
3içWx«( .(0 '**! \
Si Ton décompose les sinus et cosinus de l'expression de R en sinus et cosinus de Tangle Sn'^-^^^h^Sf'-— ae^ on donnera à cette fonction la forme
m!Q sin (Bn't — 2nt + S^ — 2t) + m'Q'cos (S/i'i^ — 2nt'{^5i' -r- ae) „
et pour déterminer Q' on atira
w'Q' » «'M<<») co» (4« -^ i/) 4- fl'M<0 cos 3» + a'MW co« (•'4- a») H- a'M(») cos (!!«'+ a») + ^'MO) coi 3«'-h «"MCO cM.(4i/ ^ •} + aTiC*) co» (!J1 -f- a»— •0-Hi'N(»)co»(!in+«) +a'N<«)co«{2n+«') + a'NO) cof (anw«4^9«/)+«fN(Oco«(4n— i/)H.anN(Oco*{4n— ^^
et Q sera donné par la même équation dans laquelle on changera- les cosinus en sinus. ;
JEti 8idistitiià'iit>ces vàloiirs à la place de P ef F dans l«à formiiles (JK) et (L), on aura: h pflffiè tfé U loogifii^e et du. rayoù vecteur de Jupiter ^ du ciuqulème ordre par rapport aux excedtrrcite^r et rela* tîve à Tangle 5/i'/ — :int.
. lies iaégalite& eorrespondauteft de featufoè se détermineront de la mèmç manière au moyen des fortuites (M) et (N). Soit Q, et Q', ce <)ur dcfvieiment Q et Q^ par rapptWt à làatiïiiie , on ^auta relàtiyen>eift k Ta^iôtl de Jupiter sur èette planète
K = mQ, sin {5h't — ^nt + 5c' — 2«) ( -|- mQ' ,cos(5/i'f — !ànt 4- 5( -^ »«)•
On substituera /ti^Q, et thQ^i à la place de mP et de mV dans les valeurs de J'p'', et de cT/^ et l'on afura les iné* galités de ces deux quaîititës qui dépendent à la fois des cinquièmes puissances des eti^ntricités et des inclinaisons, et de l'angle 5n^t — aM.
;j..Ç9Q^fiie ;Çi$tt/9.^rtie 4ci# deil:i^ gi^tode» inëgalhés 4^ Jupiter,, Qtii^'jllitvlrae est peii considérable i^k*« tivement à celle.^¥i0 ilQusi'^vi^s^) déterminée dam le numéro précédent, on pourra sa borner à en calculer les tern^e^ brihcipaùx. Ce i^ont ceux qui sont aifertés du \rèi petit diviseur {6nf — nny ^ et qui sont introduits dan« l'éiipre^idn dé k lédgitadé par la variât^ 4p . moyen m^uvement^ On poun^a donc ici SiuppOlNâr dimpletîlent •
et par conséquent t)rt àtirh èrftôt*é ëhlrë lëilëfméâ des
DU SYSTiÈME QU MONDE. i83
deux grandes inégalités de Jupiter et de Saturne qui dépendent des cinquièmes puissances des excentricités et des inclinaisons la relation ordinaire ,
cT^ »? f^ ' ■ '^^- . cTo.
my a
d'où Ton conclura immédiatement la partie précédente de la grande inégalité de Jupiter, lorsque là partie correspondante de la grande inégalité de Saturne sera déterminée.
Il est aisé d'ailleurs de vérifier la relation précé* dente dans le cas que nous considérons. En effet, d'après la nature de la fonction TnK , les termes dp son développement qui renferment la quantité A^'^ et ses différences $Qnt les seuls quj uq sont pas communs aux deux planètes, en sorte que la quantité M^**^ est la seuk dpnt li^^ valeurs différeront dans les ex*pr^s6iaiQ$ w $évm de m^ et de m'W, Lorsque l'on con^ sidère Taction de m' sur m on doit £iire, n^ a4f
A^'^sas -^ r^-K . et dans le cas où 'l'on considère
l'action de m sur m\ il faut faire A^'^ t= -i -, Si
l'on suppose donc simplement A^'^ = -^ , çn aura
rigoureusement mK = m'R', et par conséquent Q=Q, et Q' = Q, ; il faudra ensuite dans les termes dépendant de A^'^ et de ses différences ^ faire A^*^ = r« ,
ce qui ajoutera à la valeur de M^""^ la quantité
i84 THÉOIIE ANALYTIQUE
— ^ ""^" • "^ î ^* quand on conisidérera l'actîoa
de m sur m' , il faudra faire A^'^ = r, , ce qui
ajoutera à la valeur de M^**^ la quantité •^- m' -gg . -7;.
Mais par le rapport qui existe entre les mouvemens moyens de Jupiter et de Saturne , on a, à très peQ près,
5oo . -r = 3ia5 . -r*
En effet, -t^- = -^r * et comme Sn* est à fort peu près égal à 2/1, on a — j- = -2- ; par conséquent,
5oo = 5i25 — n^ = 5* —77-
La valeur de M^*^ est donc la même, soit que l'on considère l'action de m! sur m, soit que Ton considère Faction de m sur m\ Les formules qui déterminent la partie des grandes inégalités de Jupiter et de Saturne, dépendantes de la cinquième puissance des excentricités , deviennent donc
(5/1 — a/t)* • \—a'(lcos{Sn't—mt+Sî—2^)\ '
Et Ton pourra conclure , par conséquent,, la valeur précédente de J^p' de celle de cTv^, en multipliant
,• . Smn'*a' . 1 , ml/a
celle-ci par -^ — 7-r-f ^^ smiplement par -^.
DU SYSTÈME DU MONDE. i8ff
45. Oa rencontre dans la théorie de Mercure troublé par la Terre une inégalité du troisième ordre, à laquelle, il faut également avoir égard , parce que le rapport qui existe entre les moyens mouvemens nt et n^t de ces deux planètes^ rend très petite la quan* tité. nt-^^^n't , et peut rendre considérables, par conséquent , les inégalités dépendantes de cet argument. Toutefois , coname les inégalités de Mercure sont en général de peu d'importance, il suffira de considérer celles qui sont affectées du petit diviseur (n— »<4^')*> 6t ^P^ sont introduites dans l'expression de la longitude par la variation du moyen mouvement. Pour les déterminer, supposons que m et m' désignent respectivement les masses de Mercure et de la Terre , on aura
J'i; = — Zan/difceK.
Si dans le développement de la fonction R on n'a égard qu'aux termes qui dépendent de l'angle ^n^t — nt et qu'on suppose
R = m'Psin (4n7 — /zi -f- 41' — g) -f m:?'co&{4n't '^nt'\- 4«' — é) , on aura
ft 3m y^ f <2P'6in(47î'^ — 71/ + 4g' — g)|
^ ^~ (4/1- — ny • t— ûPcOs(4w'«— 71/ 4- 4« — i)J*
En faisant î = 4 dans les formules du n" 7 , on trouve
i86 TBÉOUIE ANALYTIQUE
R = M<« V ços (4n'< — n/ 4- 4 «• — f — 5«) -f- Mt'>eVcos(4n'< — n*-f 4«' — «— 2»— 4»') -+■ MWe«'*cos(4n'< — n<+4«'— j— » — 2<»'j M«*V»cos C4»'< — n< 4- 4«'— «— 5«') N<*>cX* cos f 4n'< — n« 4- 4k' I — û» — an) + Nt'VA* cos(4n'<— n«+ 4«'— i'— «' — aO).
Et pour détenoiner M^*"^, M^*^, etc. , ou aura
./ „, «^6?^ eZ..?^ ^3,<«>
«'M(«)=— ^.i i5i6. -fio8«--jî— ♦-ao.'-^ + .s-r^-
En comparant la valeur précédente ^e R à ceDe que nous lui avons supposée , on trouvera ,
et Ton aura pour déterminer m'afV, la même équation, dans laquelle ori fchanget*a seulement te sinus en cosinus.
En réduisant ces formules en nombres , et en sub*
W m^È^KB m MOMIE. 1817
t^taml ensuite poi^r jtffP. et aT' leurs valeurs dans rexpr£9sioa de «Tv^» on aura sans difficulté la partie principale de l'inégalité de Mercure produite par l'actiOû de la Terre. Cette inég^lifé, au reste ^^ ne Vélève guère à plus d^une demi-seconde dans sa plus grande ^valew| les temoes que tous avons négligés peuvent donc lêths omis $a«s. erreur âensiUe^
44*^^^î^^^i^^^ théorie de la Terre trouLléeper yétos uœ inégalitédépendante de Fai)gle dnt>^ 1 5n% et par conséquent du cinquième Ordre par rapport aux excentricités et aux inclinaisons^ à laquelle il faut avoir égard , parce que 8» — 1 3w' est une très petite quantité^ en vertu du rapport qui existe entre les ttloyens mouvëmeiis de ces deux planètes. En effet , Texcès de huit fois le moyen mouvement de Vénus sur treize fois cttlm de la Terre ,. est d'enviroû la ^ p&rticLdu jûaojea oipuirement «mnuel de la Terre ; et cette circonstance donne lieu à une inégalité dont la période est de 2^0 ans environ^ et dont rinfluence est très sensible lorsque Fon compare entre eux des lieux dû Soleil obséiVés à dé lôûgy intervalles. Pour la déterminer /supposons que m soit Vénus et m^ la tWxve; cenHkle <:elte ilil^alitéNesi ^eo ^dn^éraUe^ 0|i peut^égliger le^ termeçqui jq'ont.pas (^x59t! ^^Bny peur i^i vîseurj, alpre si l'on suppose
^ - ft =7n'Fsin (1 5n1?-^*«72E 4* 1 5/ — 8f ) ou aura
i88 THÉ(»IIE ANALYTIQUE
., 39m/i> f tfT'sin(i3/i'^— 87i/4-i5e'-86)î '^^"*"(i3/i'— 8n)» • i— aTcos( 1 5n'^— 87if+i3f '-8€)J *
les valeurs de P et F' étant les mêmes , soit que Too considère Taction de m' sur m ^ soit que l'on considère.raction de m sur m', et 1 5nf étant à trè3 peu près égal k 8n, on aura entre J'q et J^(/ l'équation ordinaire de condition
Ea faisant i =: 1 3 dans les formules du n* 9, on aura
4- M('>e*e'cos(i5n'<— 8n<-H i3^— 8»— 4to — a') + MWe'e'»cos(i5n'« — 8n«4- iSi'—Se — 5a — afi»*) ■f- M«Ve"cos(i 5n7— 8n<+ i5ï'— 8«'— 20 — 5»') 4- M(*îce'*cos(i3n'<— 8n<4- i3^~8«—ûi— 4»') 4r M«e"cq6 (iV<.— 8/i« -h 1 3/— 8«— 5»') , -f- N«*Va» cos ( I Su'* —Sntr^- 1 5«' — 8f — 5« — al^ -f-N^' Ve'A»«»s( 1 3n'<^8nH-ï 5/— 8r-a<»'— a'—all) +NWee'*A*cos(i37i'<— 8n«H-i5<' — 8(->— <s> — ao'-all) 4- N«»V»A*cos(.i3i>'< --8ff« 7f* .1 5«'-r8«r- 3»' — afl) + N<*>fiA ♦ços,( 1 5n't — 8w<4- 1 5t' — .8« — a» — 40) + N»>e'A< cos ( 1 3«'< — 8/K + 1 3e'— 8«— «'— 40).
et Ton trouvera
DU SYSTÈME DU MONDE. ,8g
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(Os .2^1 io33oà3 '4-1468*—? Ki8*.-5JL-^î i, ]
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En comparant entre elles 1^ .deux expressions précédentes de R ^ on itura
