CHAPITRE IV

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Inégalités dépendantes du carré des forces

perturbatrices.

46. On est quelquefois oblige , dans la théorie des perturbations planétaires , de porter les approximations plus loin que nous ne Favons fait jusqu'ici, et de considérer les inégalités dépendantes du carré des forces perturbatrices. La méthode la plus simple que l'on puisse employer pour les déterminer, est celle de la variation des constantes arbitraires dans les formules du mouvement elliptique. Il est toujours facile, en effet, d'obtenir par ce moyen les inégalités du rayon vecteur^ de la longitude et de la latitude d'une planète, lorsque l'on connaît les inégalités co^ respondantes de chacun des élémens de son orbite; on n'aura pas même k craindre ici que la compli" cation des formules nuise à leur usage , parce que les considérations qui obligeront à avenir égard à quelques-unes des inégalités du second ordre, permettront toujours d'en négliger le plus grand nombre^ comme absolument insensibles.

Nous avons présenté, dans le n^ 61 du livre II 1 des formules qui donnent les variations du grand

DU SYSTÈME DU MONDE. igS

axe et du moyen mouvetnent ; en ayant égard aux termes dëpendans du carré des forces perturbatrices , déterminons de la même manière les variations correspondantes des autres élémens de l'orbite elliptique. Pour cela , en indiquant par J^ les variations dépendantes de la première puissance des masses , il faudra , dans les formules qui donnent les variation^ des élémens de l'orbite de m (n^ 4^ f l^^i*^ H)» substituer à la place des élémens que ces formules renferment leurs valeurs augmentées de leurs variations J'cù, l^y eTe, etc., et R-l- cTR à la place de R, en nommant cTR la variation de la fonction perturbatrice correspondante à celle des élémens de l'orbite elliptique que cette fonction renferme , et dépendante simplement de la seconde puissance des forces perturbatrices ; en sorte qu'on a

Nous avons désigné par ^'R la différentielle de la fonction R prise par rapport aux coordonnées de la planète troublée , et sanfe faire varier celles de la planète perturbatrice ; lors donc qu'on aura substitué à la place des coordonnées de m et de m! leurs valeurs en fonction du temps et des élémens de leurs orbites* augmentées de leurs variations , on aura la difierentielle rf'(R -f- cTR) de la fonction résultante, en différentjant, par rapport au temps introduit, par les coordonnées de là planète troublée et par leurs tariatioâp , sans £aire tarier le temps dépendant dèft

fe

ig6 THÉORIE ANALYTIQUE

coordonnées de la planète perturbatrice ou de leurs variations, conformément à ce qui a été dit n^ 60 livre II. Quant aux différences partielles de la fonc-tion R 4" ^I^ relatives aux élémens de Forbite elliptique I qui entreront dans les formules qui déterminent les variations de ces élémens, pour montrer comment on les obtiendra , désignons pour un moment par R cette fonction y.et par a = a + ^^ l'ui> quelconque des élémens de Torbite de m aug-

mente de sa variation . -z: sera la quantité qu'il

du

faudra substituer à la place de -j- dans les formules du n° 4^ ^" '^^<*^ II > lorsqu'on aura égard aux termes dépendans du carré des masses , mais

il est clair que la valeur de -^ est égale à celle de

-T~ f dans laquelle on substituerait , à la place des élémens de Torbite , leurs valeurs augmentées de leurs variations; en sorte quon aura