L JN

^i — ^ "** ^ • dï" ♦

Or, d'après la valeur précédente de cTR, il est aisé de voir que l'on a

i> dR dJK

la différentielle de J^K relative à a devant être prise en faisant varier la constante a introduite par la substitution des valeurs des coordonnées elliptiques

de m, et en regardant comme constante celle qu'introduisent les variations de ces coordonnées^ ainsi que celles des coordonnées de la planète perturbatrice w! .

Il faudra donc, pour avoir égard aux termes dépendans du carré des masses , substituer dans les for« mules du n"" fyiy livre II, à la place des élémens de l'orbite de m, que nous supposerons corrigés de leurs variations séculaires, leurs valeurs elliptiques augmentées de leurs variations périodiques, que nous désignerons par la caractéristique J^, et mettre ensuite

R + cTR à la place de R, ^ — | — ~ à la place de

-^ , et de même pour les différences partielles relatives aux autres élémens; ou bien, ce qui revient au même, on différentiera , par rapport à la caractérisr tique ^^ les formules du numéro cité, en observant que dans les différences partielles de la fonction /R , relatives aux élémens de Torbite elliptique de m, on doit regarder comme constantes les variations S'a $ Ç, «Ta', etc. , qui entrent dans l'expression de /R , ainsi que les quautités qui en dépendent.

Cela posé, en observant que -^sn — , on trouvera rfa= 2a- (^'cTR 4- /^ad'Yifd'K) , ( i )

Enfin , la formule (4) du n"" 6t du livre 11^ en observant que Ton a

/(d'Kfd'K) = i {fd'K)%

donnera , pour la variation du moyen mouvement ^ rfÇ = — Zandtfd'J'K + 1 a'/w/f (/t/H)'. (7)

Dans les formules précédentes, il faudra substituer à la place de J^e sa valeur déterminée par l'équation (5) du n® 4^ du livre II ; et en intégrant ensuite ces formules, on aura les variations finies des élémens de l'orbite elliptique, dépendantes du carré des masses. Nous n'avons pas effectué ici cette substitution, qui ne présente d'ailleurs aucune difficulté, afin de ne pas trop conipliquer les formules.

47 • Si de même, dans la valeur (a) de /R , on rem-

DU SYSÎÈME DU MdMDE. igg

place les rariations finies des élémeiis deis orbites de m et de m' par leurs valeurs données par la preiâièrè approximation y od pourra développer lexpression résultante en série de sinus et de cosinus d'angles proportîotinels aux moyens mouvemensdes deux planèteSyde la même manière qu'on a développé la fono tion R dépendante de la première puissance des masses; mais 9 dans certains cas, il sera préférable de déterminer la variation cTR de la manière suivante.

Au lieu de regarder R comme une fonction des élémens des orbites de m et de m\ et du temps t^ on peut considérer cette quantité dans l'état où elle est donnée pat les formules du tnouvement ffbublé ^ c'est-à-dire comme fonction de.^ côôrdonrtées de la planète troublée et de la planète perturbatrice. Si l'on désigne doue respectivement par r, ^, s, le rayon vecteur, la longitude tt la latitude de m dans son orbite elliptique, et par ^r, J^i^ et J's Ifes parties de ces coordonnées dues à l'action des forces perturbatrices, et dépendantes de la première puissance de ces forces, qu'on désigne par les mêmes lettrés aciTeiltuées, les quantités correspondantes relatives à m', oâ aura

/Re*^^+g;;/^+-^/^4-5p^ + 3;;,/^'+3;;^^ {b)

La première approximation par les formules dé-* veloppées soit dans le livre II , soit dans les chapitres précéd0hs, fera connaître les valeurs de J'r, cTp, J's, exprimées en suites de sinus et de cosinus des moyens mouvemens de m et de m\' ordonnées par rapport atix puissances et aux produits des excentricités et

aoo THÉORIE ANALYTIQUE

des inclinaisons de leurs orbites. Nous avons donné »

dans le n^4f ^^ moyen d'obtenir les valeurs des

^•/w»/> -• Il «R oR, dn. • , j 1

différences partielles t- ^ -j- ^ -j-f expnmees de la

même manièi*e; on pourra donc déterminer sans peine les termes de ^R correspondans aux termes que Ton aura considérés dans chacun des facteurs des

produits -T^^^f d" ^^^ T ^^ * ^"® ceXlà fonction renferme. Il en serait de même relativement aux

produits ^«Tr', -p^^\ T'^^*^ ®* ^^ ^^^ facile,

par conséquent , de distinguer tous les termes de ^R qui dépendent d'un argument donné , et de tel ordre qu'on voudra par rapport aux excentricités et aux inclinaisons.

On aura les termes correspondans de ^VR en différentiant par rapport au temps t ^ introduit par les coordonnées de la planète troublée et par leurs variations Sr , J^p , cT^ ^ et en régardant comme constant celui qui dépend des coordonnées de la planète perturbatrice et des variations ^r% ^y^ et cT^; enfin, on obtiendra les termes correspondans des dififérenccs partielles de «TR relatives aux élémens du mouvement elliptique , en différentiant , par rapport à ces élémens, Texpression (6), sans faire varier ceux qui se trouveraient renfermés dans les valeurs des variations J^r, JV, cTi^, etc., Conformément à ce que nous avons dit précédemment.

48. On déterminera donc de cette manière les inégalités des élémens de l'orbite.de m, dépendantes de

la seconde puissance des forces perf nrbatriçes ; et en introduisant ces élémens corrigés de leurs variations ainsi obtenues ^ dans les formules du mou- Ycment elliptique, on aura les inégalités correspon* dantes du rayon vecteur , de la longitude et de la latitude : toutefois , comme les termes dépendans du carré des masses sont en général, très peu considérables , on n'aura besoin d'avoir égard qu'à ceux qui , par l'effet de quelque circonstance particulière, peuvent devenir sensibles. Si, par exemple, il existe entre les moyens mouvemens de m et de mf un rap-r port tel que «W — in soit une très petite quantité, / et /' représentant . deux nombres entiers quelconques , les inégalités les plus considérables parmi celles qui dépendent du carré des masses, dans les mouTemens réciproques de ces deux planètes, seront , toutes choses égales d'ailleurs , les inégalités qui auront pour diviseurs les plus hautes puissances de cette quantité.

Or, les valeurs de Ç et de Ç' renferment des termes dçpendaqs de l'angle i'n't'^^intj et qui ont (i V — m)* pour diviseur ; en les combinant avec

les termes des différences ^ ®* jp > ^"^ dépendent

du même argument, il en résultera dans cTC des termes dépendans de l'argument ^{îult — int), et qui, à cause de la double intégration, seront affectés du diviseur (i'w' — m)*, et dans les variations des autres élémens des termes périodiques dépendans du même angle, mais affectés seulement du dir viseur {i'n'—itif. Ces derniers termes, quoique sous

302 THÉGOIIE ANALYTIQUE

ce rappoft moins considérables que le» premiers , pef^ rent cependant produire , dans les expiressions des excentricilés et des longitudes des périhélies , des illégalités très sensibles, et qui même surpasseront celles du mojen mouvement j si les excentricités de m et de ml sont très petites , parée que leurs coefEciens seront d'un <>rdre moins élevé relativement aux excentricités et aux inclinaisons. Cette remarqué est analogue k celle que nous avons faite n*' 36 par rapport aux in^lités dépendantes de la première puissances dès foroo perturbatrices.

. Les expressions de «^a., cTe , etc. , renferment des termes dépendans de largument fn't • — int , et affec^ tés du diviseur iW -^ in; en les combinant donc avec

les termes de ^ , ^ > cte , dépendans du même angle^ il en résultera > dans l'expression da moyen mouveinenty des termes dépendans, comme les précédens , de l'argument 2 (Jln't — int) , et qui auroât {i'n^^-^iny pour diviseur y et dans l'expression des autres élémens de l'orbite de m, des termes relatif au même angle, mais affectés seulement du diviseur {Vn' — m)*; cependant, il faudra encore avoir égard à CCS termes, priticipalement dans les expressions des variations des excentricités et des périhélies , par la même raison que précédemment*

Enfin, si l'on considère les termes de la fono iion J^R qui dépendent simplement de Vargument i'n^t-^int, il est aisé de voir qu'il en résultera dans ^Ç , par la double intégration que ces termes subissent ^ des inégalités qui n'auront , il est vrai , pour

DU SYSTÈME DV MONDE. sa3

diyiiSeur qae la quantité (iV — inYf m^îa aus^i qui sçroat simplement de Tordre i'-^ x relativement aux excentricités et aux inclinaisons , tandis que les inégalités relatives à l'angle a {Vn't — int)^ qni sont affectées du diviseur (fV — inY^ seront de l'ordre

Lorsqu'on n'a égard qu'à la première puissance des forces perturbatrices , l'expression du moyeu mquve* ment est la seule qui contienne des inégalités dépens dantesy comme les précédentes^ de Ts^ngle i'n't — intf et ayant {i^nf-^^inY P^^T diviseur ; et c'est elle, par conséquent, qui fournit alors la principale partie de Ja variation de la longitude moyenne; mais tous les élémens de Torbite pourront contenir des iné* galités semblables parmi celles qui sont de Tordre du carré de la force perturbatrice. En effet, pour les obtenir, il suffira de combiner dans Jfi les termes des variations de cTa, J'e, etc«, qui dépendent de l'angle i'nft — irU, et qui sont divisés pariV-*-i/2, avec les parties constantes des différences t- , -T- . etc.; il en résultera évidemment,

da ' de ^ ' \ '

par l'intégration dans /a , J^e, etc. , des inégalités relatives au même angle, et qui auront (zV — m)* pour diviseur. Ces termes seront donc comparables ^ sous tous les rapports, à ceux qui leur correspondent dans l'expressiot) du moyen mouvement ; et il ne sera pas permis de les négliger^ du moment qu'on aura reconnu la nécessité d'avoir égara à ces derniers termes.

Les différentes inégalités que nous venons d'in-

ao4 THÉORIE ANALYTIQUE

diquersont celles qui r&ultent, dans les expressions, des variations des élëmens de Torbite de m dépendantes du carré de la force perturbatrice de la fonction SK et de ses différences ; mais il est clair que les autres termes des expressions différentielles de ces quantités introduiraient de même dans leurs yaleuis finies des inégalités dépendantes de langle in^t—int^ et ayant pour diviseur (i V — m)*, et des inégalité dépendantes du double de cet angle ^ et divisées par {Vn! — i/i/, {Vn! — inf ou {Vn' — in). Pour les déterminer, il suffirait d'examiner avec soin les différentes parties des formules générales (i), (2) ete«; ïdx& comme ces inégalités ne deviennent assez considérables pour qu'on en tienne compte , que dans la théorie de quelques planètes , il sera plus simple de les développer, dans chaque cas particulier, selon rimportance qu'il présentera : les circonstances qui auront rendu leur considération nécessaire conln-^ bueront toujours à faciliter ce développement.

49* C est principalement dans la théorie de Jupiter et de Saturne que la grandeur des deux inégalités qui affectent leurs mouvemens réciproques oblige à tenir compte des termes qui dépendent du carré des forces perturbatrices. Nous allons donc appliqua aux inégalités de cette espèce , qui peuvent devenir sensibles par le rapport qui existe entre 1^ moyens mouvemens de ces deux planètes , les co^ sidérations précédentes.

Occupons-nous d'abord , parce que ce sont les plQ^ faciles à déterminer, des inégalités relatives au double de l'argument de la grande inégalité, etq^^

DU SYSTÈME DU MONDE. fto5

ayant pour diviseur la très petite quantité (5n'-^— any, peuvent acquérir ^ par cette raison, une valeur sensible y quoiqu'elles soient , comme on le verra , du second ordre par rapport à la force perturbatrice , et du sixième à Tégard des excentricités et des in<clinaisons. Les inégalités de ce genre ne peuvent exister que dans l'expression du moyen mouvement. Reprenons donc la . formule (7) , et supposons que m représente Jupiter, m' Saturne, et que toutes les quantités relatives à m , marquées d'un siccent , désignent les mêmes quantités [relatives à m', en intégrant, on aura

Considérons d'abord le premier terme de cette expression. En n'ayant égard qu'aux inégalités dont nous nous occupons, on peut supposer, d'après ce qui précède ,

En ne considérant que les termes du développement de R qui dépendent de Tangle 5n't — - 2nt , soit

d'où l'on tire

•^ = — làmfPcoB (Sn't — an t -f- 5i'— «•) -+- amT'fin (5n'£— anH^/— ai)] ,

dR.

jjTjjrs Sm'Pcot {5n't — anc + 5/— at)— 5m'FuD(5ii't— aiit-f.5/— ai)],

et par suite

/ R a m^{S^^ a^CPcos (5/i't —ant-i-S*'— at)— P'sin (5n'/-.ant+5i'— ai)] .

ao6 THÉORIE ANALYTIQUE

Pour avoir la différentielle d'^K^ il &ul faire rarier dan^ cette expression f et ;if j mais on peut Rejeter d'abord la partie dépendante de la différentielle de Ç", parde qu'il n'en résultera dans J^^ cjuc des termes relatifs k l'angle 2 (5n't — 27U), ayant (5n' — anf pour diviseur; on trouvera ainsi

--^==am'(5f'-a{:)[Pain(5/i'i--îw«+5i'--ai)+Pcos(5«'/--a/»t-«-5f'---w)].

On a d'ailleurs (n* 56)

et au moyen de l'équation }^=: — ^/^.Ç^onen conclut

r=-(5„r^3^)a V ^.{ P^sinCS^'f-anf+Sf'. ai)~Pcos(5ii'<-a/it^^/-. ai) l

En substituant ces valeurs dans l'expression pré»* dente, on trouve

<r./R 6m'*n»a /5m \/7-h'im \/â'\ ( ( fv. .P«>ina(5/i'/— anr-hSi'-af) i ndt (5/»'— an)«V mV«' /l— aPP'cosaCS/i't-a/if-f.St'— at). |

on aura donc, en vertu de ce terme,

^ a(5n'-.a7i)4 V^ w'|/^ yt— aPFco8a(5«'/-a/ifH-5«'— ai). I

Cette inégalité doit être ajoutée à la longitude moyenne de m dans l'expression elliptique de la

longitude vraie. En la multipliant par -— ^^^ et 1

faisant a = ^, on en conclura pour la valeur correspondante de cTÇ',

DD SYSTÈME DU MOtfDS. M7

'^^"" a(5/»'— a/»)4V m V^î y l— iPPcw^5«'<-$i«4^'-ai). /

5o . Considérons maintenant l'inégalité de J^Ç relative à l'angle aÇSn^t — ^nt)^ et qui a (5n'— a/i)' pour diviseur. Les termes qui la produisent peuvent résulter, i"". de la partie de cTR que nous venons de considé-^ rer, 2*. du deuxième terme de la formule (7); 5'. de la partie de «TR qui dépend de la variation des élémens a , a\ e , etc. 9 des orbites de m et de m^» Déterminons successivement les différentes parties de oett^ inégalité.

' iL'expression de cTR donne 1 en différentiant par rapport a Ç ,

«f . iTR = ai»' Jf [P'sin (5/i'i — a«t 4- 5i'— ai)— P cos (5/i'«— aiit+Si'— a«)] ,

et en substituant pour di^ sa valeur,

<yjR 6m'*na i (F* — ^>») «n î» (5»'« — an« -h 5f' — at) 1 ndt "■ (5/i' — an)* l — aPF cos a (5/i't — anr 4- 5i' — ai). f

et par suite

^ ^ a(V— a/i)J*l— aPP'cos a (5/i'« — a/if + 5/ — ai;. J

Supposons maintenant

J'Ç as ia^nfdt(/d'T\y;

la valeur précédente, de R donne , en la différentiant,

et , pat conséquent ,

ao8 THÉORIE ANALYTIQUE

En élevant cette Valeur au carré, et en rejetant les termes non périodiques, on trouve

awt'»/!*

W^^y^^^,^„y { (P'«-P')co8î(5ii't.a/i£4-5i'-ai)+2PFwna(5/i'f-aiif-h5d'-îi.)l

et par suite

3irt^»n^fl« r (F» — P») sin 3 (SnU ^ an*+ 5/ — at) ^ *• "" u(5/i'— any'X — aPF cot a (5/i't — a/i« -+- Si' — at). /

Cette inégalité , jointe à la précédente , donne la suivante :

j aift^'Ti^fl» r (F» — P«) «n a (5ii't — ant H- 5/ — ai) 1^ ^ a (5»' — a»)"» "l — aPP' coi a (5/t'« — ant -f 5f' — at). /

On trouverait pour l'inégalité correspondante relative à m%

75OT«/^«a^» f (F« — Pt) sin a{5n't — ani + 5/— as) > ^ a (5;/ — a»)* l - aPP' cos a(5«'f — a/tc + Si' — •). I

Ces deux inégalités, comme celles que nous avons précédemment déterminées, sont du sixième ordre ^ par rapport aux excentricités et aux inclinaisons, puisque P et P' sont au moins du troisième ; mais ces dernières inégalités n'ayant pour diviseur que le cube de 5n^ — an , tandis que les autres sont divisées par la quatrième puissance de cette quantité, elles sont nécessairement beaucoup moins considérables ; et Ton s'est dispensé, jusqu'à présent , d'y avoir égard, les inégalités affectées du diviseur (5n' — aw)* devant fournir, en effet, la principale partie de la variation^ de la longitude moyenne relative à l'angle 2 (5nU — 2nt).

DU STS'EÈME DU HONIS. 20g

5i« Supposons maintenant

^n faisant abstraction des termes de J^R qui sont relatifs à la variation des élémens de l'orbite de m^

Les différences partielles -y^ ^^^ cette expression p

ainsi c[ue dans celle de J^e , doivent être prises en re» gardant n comme constant (p? 4^ 9 livre II).

Si l'on substitue pour J^a , J'ê, Se et J'cû , leurs valeurs données par l'intégration des formules du

n** 4^ 9 ^^^^^ H^ cû observant que -j- rs -^, et pour

j-, ^^ cTp, cTj, leurs valeurs données n^ 4f ^*^ trouvera

Supposons ; ' comme précédemment ,

^ = m'P *in (5n'/ — ant + 5/— a») + m'I" cm (5/i't — ant + S/ — 3>)>

En faisanjt, poarab^ger» 57t'^■^a7^^4~5«'— 3«=sa« l'expression de J'R prendra cette forme : Tome III. i4

2 1 o THÉORIE ANALYTIQUE