I -p sio « + — cos « I (P sm « 4- r' cq
Là; ""••^ *7 ="• 'J W '~— Z-° *j|
- Lifo •■° • ■*• rfë""* "J C* T •" 3i "" v!
rdp . .dp' n/dp dP* . N
»r«fl/»
âr5rt^5«n7i-cî*j r*'^- i*''*' V*^ » ^'^ • ^1
a^an -a/i;|r i— e j i ^ gj^ ^«^ cos « K t- Col*— -^ sin «J^
/ l [F ces A — P'fin «1 f -r- coi « 5— sîn *)
m^'gwx 1 ^ \€i\ dx J
(S/i'-a/i)!/!"^^*' 1+ r^iîn*+^cos ^ (Psin *4- P'^os a).
Si ](^ûn jopèi'e^ 4^ds cette exprossion » les mnltiplica^ lions indiquées, on verra que le second membre se réduit à une qti^otîté coQî^tante f de sorte que la fonc* tion cTR ne contient aucun terme périodique dépendant de l'angle ik{$n't — - un£^ introduit par la. variation des six élémens de Torbite de la planète troublée ; le même reâultse^^ttrait lieu r^ilativemeùt aux élémens de l'orbite de ni y ce qui tient à ce que tous les termes de la valeur de J^R peuvent praadre^ dans les deux cas , la forme générale K (M/Ncft — TSjT&dt) , K étant un coefficient constant.
Pour avoir la difRérentieUe de dftf'Kp il fattt ditferentier l'exprÉOSton précédeute par rafppMt aux
DU SYSTÈME DU MOIIÏ)E. ai,
seules quantités relatives à la planète m^ o'est-à-*dire d'après la forme que nous lui avons donnée , qu'il faudra ne (aitt varier le temps t dans les facteurs compris entre les crochets [ ] qu'autant qu'il est multi|dié par n^ et différentier complètement les fiicteurs compris entre les parenthèses ( ) , et qui sont introduits par la variation des élémens de la planète troublée. Dans les deux cas^ cette expression détient identiquement nulle ^ en sorte que les varia^^ tions du grand axe, de Texcentricité, de l'inclinaison , des longitudes de Vépoque , du périhélie et du m^eudde l'orbite de la planète troublée,. n'introduisent dans la fonction d'S^K aucun terme constant , ni aucun terme relatif à l'argument ^i (5n'^ — 2/1^). Il serait facile de s'assurer que le même résultat a lieu relativement aux variations des élémens de la planète perturbatrice, H en résulté que le moyen mouvement de m, de même que celui de m', ne sont assujettis, en vertu des mêmes variations, à aucune inégalité croissante comme le carré du temps, ni à aucune inégalité à longue période dépendante de l'angle 2(579fi — an^); ce qui confirme, relativement aux grandes inégalités de Jupiter et de Saturne , le beau théorème de Vim^a* riabilité des grands €uces et des moyens inouvemens planétaires f en ayant même égard au carré de la force perturbatrice , que nous devons à M, Poisson , et dont nous avons donné une démonstration générale dans le n*^ 60 du livre II (*).
f*) M. Poisson avait conclu (Mémoires de T Académie, tûiAfc I" ) que \t knème résultat subsisU encofe en portant
Les expressions de cTÇ et de <rç' ne renfermest donc aucune autre inëgallté dépendante de Fangle [2 {Mt — !knt),el ayant pour diviseur (5»' — :m)\ que celles qup nous avons déterminées n* 5o. Les grands axes et les longitudes des époques renfermeront des inégalités semblables, et qu'il sera facile de développer d'après l'analyse précédente. Mais, comme on peut s'en assurer , ces inégalités seraient absolu-* ment du même ordre que les inégalités correspondantes du moyen mouvement, c'est-à-dire du second ordre par rapport à la force perturbatrice ^ et dn sixième relativement aux excenl ricités et aux inclinaisons des orbites; et l'on ppurra les négliger^ comme nous l'avons dit, devant les inégalités du même ordre , et relatives au même argument , qui ont {5n! — 2nY pour diviseur. Nous nous dispenserons, par cette raison, d'en effectuer ici le développement.
52. Considérons les variations des excentricités et des longitudes des périhélies relatives au même ai^ ra^nt. Pour simplifier les formules, nous n'aurons
Tapproximation jusqu'aux termes du troisième ordre , par rapport aux forces perturbatrices, mais il a reconnu depuis qu'il avait donné trop d*extension à son analyse. L'expression différentielle du demi-grand axe peut donc renfermer des termes constans du troisième ordre , relativement à ces forces , et le demi-grand axe enpeut contenir qui soient seulement de Tordre de leur carré ; en sorte que le théorème sur rinvariabilité des grands axes n'a plus lieu au-delà de la première puissance de la force perturbatrice : nous en verrons un exemple dans la théorie de la Lune. {Mémoires de l'Académie, tome XIIL)
DU SYSTÈME DU MONDE; 2 r3
égard qvLSL la partie de ces variatîontis qui est de Tordre le moins élevé possible, relativement aux excentricités et aux inclinaisons. Dans ce cas, on peut supposer simplement
de=: {-T -T-h
e \ dm e du J
Wn
andt fd.S^ »e d^\ ( (^^
\ de e* de )'
Déterminons d'abord les inégalités relatives à l'an*gle 2 (5n7 — tmt) , et qui ont {Sn' — nny pour diviseur. Elles résultent , comme on la vu précédemment, de la partie de cTR qui dépend de la variation, des moyens mouvemeus de m et de m'; en ne consi^ dérant que ces termes, on peut supposer (n"* 49)
/R= ,g , ' .;! -T^-^ — I . [ P'auKt p- Pco»«] {P'iin* — Pcoia) ,,
(5n'-2/i)«\ mVa' /
les quantités P et P' ne devant plus s'étendre ici qu'aux termes d6 la fonction R; relatifs à l'angle Sn^t — %7ii j qui dépendent des cubes et des produits de trois dimensions des excentricités et des inclinaison&d^ès orbites.
Pour avoir les diflFérences partielles -^— et -^ — , il
faudra , d'après ce que nous avons dit n' 46> différentier l'expresçion précédente par rapport à cû et par rapport a e , sans faire varier les constantes introduites dans J^R par les variations des moyens mouvemens nt et n!u Four cela, d'après la forme de cette expression, il suffira de différentier , relativement à ces constantes, les facteurs entre les crochets ;i enre-
ai4 ÎHÉORIE ANALYTIQUE
gardant Gomme invariables les facteurs compris entre
parenthèses. En observant qu'on a, par le n* 56 ,
dP ^ ^__ ^
</« """ de ^ dit de
on trouvera ainsi
dé de
En substituant ces valeurs dans les formules (c), et en intégrant ensuite ^ on aura les inégalités correspondantes de «Te et de J^éû.
Considérons maintenant la partie de cTR qui ré-' suite des variations des autres élémens des orbites de m et de m\ En n'ayant égard qu'aux inégalités dont nous nous occupons, on peut faire > &= Ay et en observant qu'on a
dm~
-* de *
dV df dm *«fe '
dm'^ *dP*
dV *y dy>
dV dV
«ftl """ ' dy '
on peut su[^ser simplement
DtJ SYS'rïME DU' MONt»E. aiS
a^m'an^ma'nr) f rd9' . dP "] /dP </P' . V
fdp . ,dp' -1 /dp- ^dp . \ï
Pour obtenir tes différences -^ et -^ . il &u^
. .«• €te
dra^ comme précédemmefity différeiitier cette éxpre&ion , en fatsisint Varier les fàcteur$ entre les cro chets , et en regardant comme constans ceux qui sont compris entre pâventhMs. Ea ofa6ervatit'qiie^<d'â(^rè»
]|» équâtiims (d) , on a ; .> :
. . ' • • • ''.Il
^d« die "^ <fe' ' £fe£/# rfff de* ^
et en substituant pour /e sa valeur (n* 56) >
'^^ = 5;r::rr«\^ ^'» * -^ &■ ^^ *; r
on trouvera y toute réduction faite y '
3^6 THÉORIE ANiLYTIQUE
de de* de de*
'^T7^a]l\\deJ. \S:j X e
(<f.W^/«^\ / I dP dP'
dm e dm/ \ \ ede de
mmWn'e /dP d*V dP^ d*P \ Su'— a» Kde'^'dêdj? I^'dêd^) x'frm'an'^m^n')e /rfP d*P' dP^ d*P\ Sïî?^ 9» Wy dedy dy dedy) *
«H» d«P . ai" rf»!" de de de de*
, il»'«<y» I dP dP* .
on — in \ ede de
cos 9«
, mm'afrt fdP d*P dF rf«y^ ■*"W^/»\a? <*•!&' ^ de' dedeO Jt^jm^erh^mqWy fdP, d*P dP' d*^\ ^ri'^'xn \dy dedy d'y dedy/*
Si l>Qi» substitue ces yaleurs daosr 1^ fomiHles (c) > et qu'après avoir intégré on joigne, lès inégalités ré^ sultantes à celles que nous avons déterminées précédemment^ on trouvera, en n'ayant égjard ^'aux parties non périodiques y
ikr*fl«B«t td^, d^ dP £f'F JF d»P dP d*V "1 5/r — an t, àe de* de de* dy dedy dy dedy j '
mm
im'aafnn't rdP' d*P dP d*V dP' d*P d^d*^^ 5n'^2n. 14*' dede' de' dedaf. d^ dedy dydedyX
m'*a*n*t î^à^ d^^ ^ rf*P - rfF ^T (5/»'— a«)e L ^« <te« "^ d« €/«• "*" dy dedy dy dedyj
mm'aafnn't VdP d*P dP' d^P" dP d*P dP' d*P"\ ^(^5n''^2n)e\jde^ dede^'^'d? dede''^!^ dedy'^ dy dedy}'
DU SYSTÈME DU MONDE. a rj
Ces termes croissan.t proportionnellement au temps ^^ introduisent dat^s les expressions des variations séculaires de rexcentricité et de la longitude du pénbélie^ dés inégalités dépendantes du carré des forces perturbatrices; qui deviennent très sensibles dans la théorie de Jupiter et de Saturne.
En considérant ensuite les termes périodiques, on aura
, dP dV , ,^ , ^^, ^ I
Ces formules détermineront, les variations périodiques de Texcentricité et du périhélie de Torbité de m, dues au carré des Ê>rces perturbatrices , et relatives au double de 1 argument de la gi^ande inéga->> lité ; ces variations introduisent dans l'expression de la longitude vraie une inégalité à longue 'période , qui acquiert une valeur sensible dans là théorie de Jupiter et de Saturne.
55. Pour la déterminer, en nonimonti^ ht longitude de m dans son orbite elliptique , et en ne considérant que le premier terme de l'ét^uatioU du cen*-
aifi THÉORIE AHALTTiQUB.
tre , on a
i^ z=:fndt + § + 2^ sin {fndt -{- € — »).
DésîgaoïiSy comme précédemmeqt ^ par la caractérîf tique c^ les variations dépt^ndantes de la première puissance des forces perturbatrices ^ et par la caractéristique J^' celles qui sont dues au carré de ces forces. Si dans l'expression précédente on augmente les élémens de l'orbite de m considérée comme une ellipse variable de leurs variations, on aura danfi Forbite troublée ^
la partie de cette valeur qui dépend simplement des masses m , m', etc. , e^irelle que nous avons examinée dans la première approximation.
Si Ton dévelo]^pe donc ^expression précédente , en jil'ajant égard /qu'aux inégalités de Tordre du carré de la force perturbatrice, qu'on observe que les inégalités de J'U et ( cTc )* y dépendantes de l'angle ^iSn't — 272/+5é' — 2e), sont insensibles^ n® 5q, qu^on
a d'ailleurs dans l'orbite troublée y>2cfc=:72<+Ç+crC> en sorte que les inégalités dépendantes du même angle, introduites par la variation du moyen mouvement , s'obtiennent eh augmentant dans la partie elliptique ^ comme nous l'avons dit n° 49 > l'angle tU de C + cTC^.la quantité cT^ étant déterminée par la formule du même numéro , on aura
-7 [aeêr'a + lie.îtÊ — aÇ/e] cos (nt -f- 1. — »)*
Cette exfHTâ^sJw^ . devrait, contenir encore les deux
DU STiSfrÈMB DU MONOE. ^ig
termes -^ 2eJ'ê J'cù et -f-^<^^'^'^i mais ces termes, comme il est aisé de s'en convaincre , ne donneraient que des inégalités insensibles relativement à celles que nous considérons.
Si au lieu de J'e on Substitue dans cette expression sa valeur donnée n^ 52 , et au lieu de Ç et de S'c^ leurs valeurs déterminées par les formules
* (on— an)*
qu^on remplace ensuite J^e et if 'é» par la partie périodique de leurs valeurs donnée par les formules précédentes, ou ve^^a^ que les inégalités qui ont (5/î'— a/i)* pour diviseur disparaissent d'elles-mêmes ; et en né*gligeant les inégalités dépend^iïtes de Yax^gJient'^E, parce qu'elles peuvent être supposées comprises dans l'équation du centre, on trouvera
W^'\r m'Va >>)(? ^p^co,(,o«'«-5«t+.o
Par une analyse semblable , on trouverait pour les variations sécnlaires de l'excaitricité et de la longitude du périhélie de m', dues au carré de la force perturbatrice,
^ V— an \^dT de* def di^* ^ dy dfi'dy . dy dTdyJ mm'aafnnft V^^ d*V dP d^P" ' dP^ d*9 ^^ d*)^^
m^a'^nfH fdP ^ . ^ d'F <fP ii»P <fl>^ rf*F -j
"*"(5^^ any L2& </«'- "*" rfe' de'» "^rf> rf«^rfy "*" rfy <ie'4>J
"*■ (5«' — a/iy Lrf« 3ê3? ite dedé^ dy d^dy dy d^dy^
et pour les variations périodiques de ces mêmes ëlé-« mens y dépendantes de Tangle 2{5n^t — 2nt+5&' — ae), on aura
+(p'g:pg)co.,(5«'«-,«.+5.'-..)
^ ' l-'^'Tp ^-7-co»a(5n'tr-îMi<4-5r— »«•);
d'où Ton conclura qu'en vertu des termes dépendans du carré de la force perturbatrice, la longitude vràîe de Saturne est affectée de Finégalité suîvarite : * '
On peut déterminer imniédiateme^nt ; et sans -au- <fUï^ calcul, les deux inégalités précédentes de S^ et, cTv'au ipioyen des inégalités déjà calculées dans
DU SYSTÈME DU MONDE. ait
la première approximation. En effet, si l'on repré* sente par K sîn {Sn't — Znt + 5^ — 5« + B) Fînégalité de m dépendante de l'angle 5n!t — 5n^+5fi- — 3€, et par H sîn (5n't — imt -|- 5«' — at -+- A) la grande
inégalité y ou celle qui dépend de Tangle
5n7 — uni + 5«'— ai, Finégalité de JV, qui dépend de l'angle lon't — 5n^+ lot'^ — 5f pourra se mettre sous cette forme :
i ^^'-V^-^'jV^) ffK,i„(,o„'t 5»t + .0.'- 5. + A + B). CV
Soit de même R'sin(4/i'^ — 271^+4/ — 2«-{-B'), l'inégalité de m' dépendante de l'angle 4^'^ — 2/1^+4^' — 2€,
et — . H' sîn ( 5n'/ — 2nt + 5g' — at-fr A')' la grande inégalité de m\ l'inégalité précédente de cT/ pourra prendre cette forme :
- ^ ï- -= — ' — ^ H'K' 8in (gn'i — •4»« + 9/ — 4* + A + B').
54* Déterminons maintenant les inégalités des inclinaisons et des longitudes des nœuds, correspondantes
(*) Il suffit, pour s'en couvaincre, d'observer que parles
n'^aSetaSona Bs=:« + C, A = C, K = — ^-^ . — ,
5/1 — 2/1 de^
H= Tg 7^. Si l'on développe l'expression pre'ce'dente ,
JZ. Jt
et qu'à la place de ksmCj A cos ^, ^ sin f , — cos C, on
substitue leurs valeurs en fonction de P et P', n® 3o, on retrouvera identiquement l'inégalité de ts^ déterminée plus haut.
^aa THÉORIE ANAITTIQUË
aux précédentes. Pour cela nous observerons que (p et. p* éuttif comme précédemment , les mclinaisons des orbitea d^ m et de m' sur un plan fitse^ et a et a/ les longitudes de . lenrs noeuds ascendans , si l'on nomme y leur inclinai$oli ntutuelle, et H la longi-*tude du nœud ascendant de m^ compté sur Torbite de m, et qu'on considère le triangle sphérique corn-pris entre ces trois plans , on aura
sin y sin (Il — a) = sin ^' sîn (a' — à) ,
sin y c6s(n — a) = sin^'cos^cos(â(' — et) — ^sin^cos^'.
Si l'on suppose donc
P^ =: sinj' sin n > Q^ = sin 3/ cos II,
et^ comme précédemment,
j9 c= sin 9 sin a^ p' z=z sin (p' sin a\ q .=r sin (p cos gl, q' s^z sin (p' cos a^,
en multipliant par siu^ les deux équations précé* dentés , on aura
Si de ces éqaationi ou tire les valeurs de P, et Q,, en observant qu'on a
on trouvera
DU SYSTÈME DU liQHDE. aaS
Si , comme nous le faisons , on prend pour plan fixe celui de Forbite de m à une époque donnée , p et q seront de Tordre des forces perturbatrices, et l'on aura , aux quantités près de Tordre du carré de ces forces
On a d^ailleurs v^i — p'^ — ç'"=cos7j eu négligeant donc les quantités de Tordre du carré des inclinaisons mutuelles des orbites,
Ces valeurs sont conformes à celles que nous ayons trouvées n^ 86 , livre II ; mais Tanal jse précédente montre de quel ordre sont les quantités négligées.
Si Ton différeutie par rapport à la caractéristique cT, en observant qu'en prenant pour Torîgine d'où les longitudes sont comptées , l'intersection commune des deux orbites, ce qui suppose II rr: o ^ on a <rP^ = 3.^11, cTQ^ = cT^ , et que les inégalités de J'p et J^p'^ de Sq et J'q'p sont liées d'ailleurs par les équa* tions prdinaires^
aa4 THÉORIE ANALYTIQUE
on aura
Maintenant^ en n'ayant égard qu'aux termes que nous considérons, en vertu des formules du n*^4» on a
En différentiant^ par rapport à p^ et à II , les deux parties de la valeur de J^R donnée plus haut , n* 5:2 y et ne conservant que là partie constante de cette différentielle, on aura
5/»' — a» \»rfc itei/y de deéy J ^ mm'a'n' fd^ d*P dV^ d'V \
<f./R 3m''an» /5m^\/â4- awV7"\ /^p ^ F^^
ydn ""(S»'— a/i)» V m'V/«' / V. ^'r "" i'^y
m'*ûn rd^ d*V ^ </»P N 5»' ^— a» v</« • «/crfy . de dedy J mm'aW fd9 d^V , dP" d*P \ ■*'5/i'— an V^'e' de'dy de' dTd^)'
ISi l'on substitue ces valeurs dans les expressions dé ^^ et dq, qu'on intègre, et qu'on remplace ensuite Sp et S'q par leurs valeurs dans les expressions de J^ et de yJ^U , on trouvera . .
DU SYSTÈME DU MONDE. aaS
^ >nf*a*nn/m \/7'{-m' \/a\ /'dP d^P' ^ dP^ d^ \ M — 2/i\ m'V/a J\-de dedy "de dedyj
"*■ 5n' — a/1 \ ,„/j/- / \di^ df^dy de d^ J'
Zfnf*a^nH/m\/'7'^mf\/a\ /5m j/â-^-ai» V?\ /^ f? . « ^'P'^ ^ (5«'-a/i)«V «/y/i J\ ^.y/â' JVdy'^^'dÇ)
)dP d^V dP" d*V de dedy "*" de dedy ^dP d^ ^^^ dy dy* dy dy*
ÎdP d^P dP" J«P
të de'dy '^ dtf d^éy
^dPd^ ^^ ^.
dy dy* dy dy*
On détertnmef a , au moyen de ces expressions , les valeurs de J^y et de yJ'U; on en conclura, en vertu des formules (e) et (J^), celles des quantités S'p, jy, J'p et cTç', et par suite les valeurs des quan-^ tîtés J\p , JVt , J\p', JU', qui déterminent les variations des orbites de m et de m% résultantes de leur action réciproque et relatives à un plan fixe quelconque.
Les quantités j^y et yj'îl, comme les valeurs de J^Cy cTâ^t etc. y sont encore affectées d'inégalités périodiques dépendantes de l'angle !i(5n^t'-^ant); mais •comme elles sont absolument insensibles , nous n'au*rons égard ici qu'aux inégalités séculaires.
55. Nous avons vu, dans le n^ 78 du livre II, que les inégalités de cette espèce, dépendantes de la seconde puissance des forces perturbatrices, comme celles qui dépendent de la première approximation. Tome III. i5
sont soumises à l'équation de condition suivante :
Les valeurs précédentes de cTe , S^e^ et S'y doivent donc satisfaire à c^tte équation ^ et c'est en efifet ce qu il est facile de vérifier en y substituant succès^ sivement chacun des termes correspondans des valeurs de cf e y cTe' et S'y ; et en observant que P et F^ étant des fonctions homogènes en e ^ e' et y y de la troisième dimension , on a
d9 , , dt , dP „
de^ dé ^ * dy dV , , dV , df
et que -^ et -^-^ étant des fonctions homogènes en e ^ e' et > ^ de la seconde dimension , on a
^ £/e» "•* ^ dede '^ ^ dedy — ^ de ^
et dé même relativement à -r- et -^— : enirn, qnë d'après les valeui^ de P et P' on a
dy dy* dy dy^. ""
La stabilité du système des deux planètes m et m! dépend de l'équation (A), comme on l'a vu n* 78;
BfU SYSTÈME DU MONDE. aa^
livre II ; ce système est donc stable , c'est-à-dire qu^ les excentricités et l'indinaiscm mutuelle des orbites de Jupiter et de Saturne resteront toujours très pe** tites , en ayant même égard aux variations séculaires dépendantes du, carré de la force perturbatrice et du troisième ordre , par rapport aux excentricités et aux inclinaisons.
56. Ce résultat n*est qu une vérification particulière dii théorème que nous avons démontré généralement a* 78^ livre II , et en considérant un nombre quelconqiie de planètes circulant autour du Soleil. U faut toutefois &ire ki une remarque importante. Si les masses m, ïf£ y ni^j etc. , ainsi que les demi-grands axes a^ ct^ ii\ etc. , et les excentricités e , e*', e", etc. , des orbites^ différaient beaucoup entre elles^ comme cela a lieu dans notre système planétaire y il s'ensuivrait que
les quantités ms/ae^e^ Tw'v/a'e'cTV, etc. , pourraient se compenser entre elles , quoique les variations S'a , J^e' , etc. , fussent très différentes. Les équations (e) et (Z), n* 54 f livre II , pourraient donc être satisfaites^ sans qu'on eu dût conclure que les oscillations des exi^entricités et des indiinaisons seront toujours comprises dans d'étroites limites^. Il faut , dans ce cas , recourir à l'intégration des équations différentielles (P) et (c) des n** 64 et 69 du livre IIj si l'on n'a égard qu'aux variations séculaires , qu'on suppose
& = e sin eu , € = 6 cos co ,
V ^^ e' sin û)', . « c' 3= e' cas m^.
etc.
Oa sait qu'on satisÊiit au premier système en faisant
aa8 THÉORIE ANALYTIQUE
5 = M sîn [ht + 1) -f M, sin {h,t 4- /,) + Ma sin(Aa< +/.) +etc./ *'= M'fiin {ht + /)-hM', sm(h,t+V) +M'.sin(ft.« +/.) + etc. , etc.,
c = M cos {ht + /)+M, QO%{h,t -f /,) +M. cos(A.i +4) + etc. ^ c'=M'cos (^/ 4- /)+M',cosrft^r + /,) 4-M'.cos {Kt +/,) + etc. , etc. ,
I9 l'If ht elc. , étant des constantes arbitraires en nombre égal à celui des équations (F)f M, MV M", etc., M., M',, M'„ etc., M., M'., M\,€tc., des systèmes de valeurs dont chacun renferme UQe arbificaire et des quantités déterminées, et enfin h, k^, h^ , etc. , les racines d'une équation d'un degré égal à celui des corps agissans que Ton considère.
Soit X = o cette équation. Si toutes ses racines sont réelles et inégales, les valeurs de b, c, .^V «t<^- > seront toutes composées de quantités périodiques; et^
en vertu des équations 6=v/A*+c', e'ssV^i'^+c'N ete-> il en sera de même à l'égard des excentricités e,. e\ etc. Si, de plus, les quantités M, M\ M", etc., sont supposées très petites et du même ordre que les excentricités des planètes principales à 1 époque actuelle, les intégrales précédentes montrent que les quantités b , b% etc. , CfC', etc. , et par conséquent les excentricités qui s'en déduiront, varieront dans des rapports peu considérables, et seront,, dans tous les temps, très petites, comme elles le sont aujourd'hui. Il en sera de même des inclinaisons qui dépendent d'un système d'équations absolument semblables. On démontre aisément, par les considérations exposées n® 65, livre II, et sans avoir besoin de résoudre Féquatioa
DU SYSTÈME DU MONDE.- aag
X =: o ^ que cette équatloa ne saurait admettre, que des racines réelles et inégales ; mais il reste encore k calculer les quantités M , M'^ M'', etc. ^ qui sont des fonctions de ces racines , pour être assuré que Telîiptîcîté de Torbite de chaque planète sera tour jours comprise entre d'étroites limites qu'elle ne saurait dépasser (i) : c'est d'ailleurs. le seul moyen dé déterminer avec exactitude, pour un temps quelconque, les élémens des orbites planétaires. Jusqu'à présent on s'était contenté de donner leurs variations séculaires développées par rapport au temps , et en ne portant l'approximation que jusqu'à la seconde puissance; mais la connaissance plus exacte que nous avons maintenant des masses des planètes et des élé^ mens de leurs orbites exige qu'on détermine ces variations d'une manière plus précise. Aussi, quoique la formation et la résolution de l'équation X = o , lorsque Ton considère à la fois le systèi^e des sept planètes principales ^ demande de pénibles calculs; la nécessité d'établir avec certitude un poini si impo^*lant dans le système du monde, ne notisa pas permis d'hésilerà les entreprendre, et l'on verra que les ré^ sultats que nous avons obtenus confirment les conclussions auxquelles nous étions parvenus dans le cba«> pitré'VIIIdu livre II, ep admettant comme un £aûtla petitesse des quantités M, M'^ M-Vetc. , qui n'àV^iedt pas encore été calculées» : '<' . . > t
> Lorsqu'on veut avoir égard au calTé^des foTcês^peif tarbatrices , il faut^ dans les équations (P) et (<^)^ n'^^ (^
tM«U *
{*) Voir leB notes â-la fin du volume.
x3» THÉORIE ANALYTIQUE
et 6^1 livre II, augmenter les quantités j7f ^ > etc. ^
-^^ ^ y etc., de leurs varii^oiis séculaires relatives à la
seconde approximation , et déterminées par les formules précédentes. Ces équations alors ne sont plus li* néaires , cependant on peut encore les intégrer par les méthodes ordinaires d^approxîmation. En effet, supposons d'abord qu'on ait égard aux quantités d'un ordre quelconque par rapport aux masses m, rnl, vfi'^ etc. , mais qu'on néglige dans les équations citées tous les termes qui dépendent des puissances des excentricités et des îndinaisons supérieures à la première. Les équations qui en résulteront seront encore linéaires et à coefHciens constans; en les traitant comme on a traité les équations primitives (P) et (c) y on en déduira une équation de la forme
X H- X, + X. -4- €tc. === o , ' («)
^ui remplacera t'éqiiatîon X «: o , et dans laquelle Is premier terme aeia cette ibénve quantité X de l'ordre des masses M y m! y etc.; X, dedignei^ une •qiiantité Avl secobdv.orére }Mir rapport à ces mlotes, •X4 une quantité d» troisième ordre ,. ' et . ainsi de ishite» Or^ les. racines > de récpattiita («) sef dâddirout jde !o9Ues Ue Véqiiali6n, Ik^Ao fiér le procédé ordi^ naire des substitutions successives « et . d'axtrès les ficindipes de oette. méAtodè ai les racines de cette jéqimtioa sont toutiss réelles et illégales ,,H en sert de même des racines de l'équation {cl) y qui se trouveront exprimées «n séries ordoûnées par rapf^ort
aiix produits et aux puissances des masses vif m', m", etc., J^es expi^ntrici.^^ et 1^$ inclinaisons serpnt df>pc fçnpor^ ,^dans ce <i9i$f conafposëes di^ quantités periQd^qi|0s.,
^ Si t*Qn atosidère maii^tenaat lès^ermes dépéndaas des cqJtes ^ des.puissançe&suparieni^s.des'cxoén-' ^i:^iSésiejt dés inclinaisons , lès équations (P) et (c) ne seront plus/ lineaitvs y et^^ur le& intégrer il fan- 4ra re^dnrîraux métliDdesd'approjif^itnation. On sup* posera .jqu'on ait détt nmna; le^ valeurs des iocQi)-^ nues f en faisant d abord • abétractidn des termes dépendasi^' des {HÛssances dès.ènccentcicités sujperièut^ h Ja {treniièrèi y nais en ayant égard k tontes iës^ poiasaiices^des.niasses.qa'joii veut considérer. On subs» titiiera; ! dans les équations prçposées les premièrea vj^ujfa ap{Kroehées>y jêt l'on déferraînéra les variatiottsi ;qif'ii faut faire subir aux constantes qui entrent .dans Jâs intégraks, jpoijr.satisfiiine àiceséqua^tîdns^ lûiiqii'on a .^acd. âu^ terhies: du traisième omkrë par rapport iux.èxcentHcités. et. aux inclinai-' aohSciOà pàfvienépa ainsi ^: par des ap[H!qiuinati<ms aoccessJLves ^ ! à déterîniùer. les valeurs dç ces qùiaucê titéife aiV6C:tèl degré d!exaetiiude qu'on tondra ^; et tob tes icàesivaiiMirs y d'après les princi^&de oette >mé^ thoâe'd?appn6xîmâitîon^ conserv^érànt-laniéme foripé ^ueidaiiB lex^as» pu L'cîn li^a égard i^U la^premièm puissance des excentricités et des inclinaisons.,. Sait
V ^ Yj^ 4- Y. -f- etc. = o , ' • '
V^qiaatipni qui remplace l'équation (à) , et dans la-^
a3i» tHÉORIE ANALYTIQUE
quelle Y est le premier membre de cette équafiotr^ Y| une quantité de l'ordre des carrés et des produits^ des excentricités et des mclînaisons, Y« une quantité de l'ordre de leurs quatrièmes puissances , etc« Toutes les racines de cette équation, résolue par la méthode ordinaire d'approximation ^ seront réelles et inégales si les racines de l'équation Y sss o remplissent cette condition ^ et elles se trouveront exprimées en séries eonrergentes ordonnées comme les quantités Y, Y, 9 etc. f suivant les puissances ascendantes des excentricités et des inclinaisons.
Ainsi donc la stabilité du système planétaire est généralement assurée, quel que soit Tordre des termes auquel on veut pousser les approximations, du mo* ment qu'on a prouvé que les valeurs des excentricités et de& inclinaisons résultantes de la première approximation ne sont composées que de quantités périodiques. Nous avions déjà démontré ce théorème au moyen des équations qui- résultent du principe des aires , n^ 78 du livre II , en étendant les appioxima* tions à toutes les puissances des excentricités et des inclinaisons , et aux quantités du second ordre par rapport aux masses perturbatrices. La démonsti^ation précédente , déduite de la considération . même des équations différentielles qui déterminent les variations des excentricités et des indinaisons^, en est uœ con-* firmation nouvelle.
Le principe important de la stabilité du système du monde repose , comme on voit , sur deux conditions également indispensables : il faut, i** que Téqua-* tu>tk X =3 o ait toutes ses racines réelles et inégales p,
DU STSTËBfE DU MONDE. ^33
2^ que les valeurs de M^ M', M^^ etc. , qui sont des fonctions de ces racines , soient toutes de très petites quantités. On prouve ^n' 65, livre II, que la première condition est remplie dans la supposition que tous les corps célestes circulent dans le même sens autour du Soleil. C'est 64 effet ce qui a lieu dans la nature; mais il était d'autant plus intéressant d'examiner ce qui résulterait de rhypothèse , que quelques-uns des corps célestes tournent danâ des sens op{K>sés, que plu* sieurs géomètres avaient cru popvoif avancer que l'hypothèse contraire n'était pas indisiptesable à la stabilité du système. M. Poisson a démontré, en né considérant, il est vrai, que l'action mutuelle de deux planètes^ que, dans ce cas, les excentricités seront encore des quantités périodiques ^ mais que les inclinaisons ne seront pas assujetties à cette condition, et qu'elles pourront croître indéBhifhent avec le temps. Mais comme cette recherche n'est que de pure curiosité , nous ne nous y arrêterons pas ici , et ûoùs renvoyons, sur ce point, au mémoire du sa Vaut géomètre (*). ;' 1
57. Considérons maintenant les inégalités des clémens des orbites de Jupiter et de Saturne , de Fordre du carré de la force perturbatrice, et qUî dépetident simplement de Targument 5n't — - uni de là grande inégalité. Il est aisé de s'assurer que parmi ces tenbes les moins élevés, relativement aux excentricités • et aux inclinaisons, sont ceux qui dépendent des câb^s
et des produits de trois dimensions de ces quan-
(^) Connaissance des'Tems pour Vannée iS36k
234 THJÊORIE ANALYTIQUE
lités^ et que les plus considérables sont ceux qui, 9près l'intégration , acquièrent .1$ très petit diviseur (5n' — 2n)\ Nous n'AUrona donc ogard, ici qu'à ces Ite^mes, piarce q^e ce ^iit eux qvi fouriiis^nt ïiiéc^s- S^iremept la partie principale (dea ii^ég^téscorr^^ pondantes 4e$ l^ngitji^^js S'y et. cTf^» » q^e mtiis nous proposons j^ç dliterminei** , : .
, QocuponsHnous da|>ord jdçs moyens tnéuTeméns* En supjios^at qoe m représente Jupiter, m' Saturne^ et que toutes lîss. quantités relatives à m, marquées li^uà 'accent^ i désignant les mêmes quatiftités ^elativ»; . à • m^, ^pitair déterttiinér IdS inégalités de cTÇ eb Si^f ibitaura;
«T^ =« r-r 5qnfA finaux ^^fdt(/d!Ryr
Les : différentielles //' et rf" .^ rapportent pniqi^Q'^ nient^ h' px^p^ière à la pj^nète m , la seconde à la planète m' , et devant être prises , par eonsféque^t, ^e^ fôis^nt;. jr^^ dans c^aqfle fqi-^mdç 1^ Jpmps t iptr<p.duit, f^vXçs coordonnées dç; la, pla^^fï troublée, et en rçg^rd^t conjfpè coi?sl?int le ,t^i?}pç ?;el^tif^auk |CQ0^4^nnée& d^ lapbujèt^^peflurbft^riç^^ .
. P'^prèfl^ 1a. f0^n)fid^.ion£tiobs. «TlViel rfïl'/»° 4?» \l fimdrA»t49bfi^ckfteun des/phulmt^qm ôwtpo* ff§4%ju coimj^^^eir ;eteJtré eusc les idiffçretts : itertnes des dj^^x façtç^i^rde.maaièrejopie lai)Soaàoie.ouJbLidif-<férence desargumens relatifs -aux tegme^-^ue Ton a considérés ;j%eit égale à Sw'/ ,^^. a«* } i&'eslrcàndire, que
DU SYSTÈME DU BfOMDE. lO^
si l'on désigne par U Targument du terme que l'on a considéré dans l'un des facteurs, et par tt l'argument du terme correspondant dans Faufre facteur, m^^t pour fixer les idées, on suppose de pins que n'^ soit toujours précédé du signe -|- dans It et dans l't , il faudra qu'on ait
t + 1 =z 5n^^^ an ou P — l=z5n! — 2/1.
Il faudra , en outre , que la somme des exposans des excentricités et <1^ inclinaisonisi dans ces termes ne snrpasse pas tmis.
• . Or, d'après les lois du dévèlô{^ment de la fonction R, n^ 4^ ^' c^liiôs des différens termes des expressions de J^r, eTr', j^v, etc. , il sera aisé de reconnaître qufi les râleurs de l et de r, qui satisferont à la première condition, ser<mt' ■ * . . c •
Z= o et : /' = 5n' — a/î, ^.
/ =;=: /l', , V 55: An' — 2/î>
l =x 2n\ , t zsz 5»' -^ s/i^ : »
/ =r: Sn, ? s=± uri ---^ in, '
Ces con(ibinaisotis scntt.au noitabre de^ six , mais elles en fourniront douze, parce qu'on peut diangerdans cb^Krune d'ielles Ifin.Vf et réciproquement. : i .!< »
Quatit tox . y^(^ws ide il et dû . r:qhi aatiisfepoiitfà |;a deuxième ci3tnditik>»>r.lettî! ûornbcd) ^t>ihdéfiili,^' et l'o^ p0ut kiB cQmprftndce som cefi)quitti>e'£9r»iies gé^
-i36 THÉORIE ANALYTIQUE
/ = Sn! — 2n + i{n^ — n) et t=:i(n''^n)
l == Sh* — • 5/1 + î {n! — w) Z' = i^n!"^ n) — n^
î étant un nombre entier et positif quelconque.
Ces combinaisons sont doubles , comme les précédentés^ parce qu*on peut y permuter les lettres / et /'.
On voit^ diaprés cela ^ que U partie des valeurs de J^Ç" et J^Ç" qui provient de la coitibinàiison par voie de soustraction des argumens Z e^t ^ sera composée d'un nombre indéfini de termes , et que par conséquent il serait impossible de calculer • rigoureusement lés valeurs de éT^ et de ^^' qyX dépendent de l'angle Sn!t — 2nt , et qui sont du troisième ordre par rapport aux excentricités des orbites , et du second par rapport aux masses perturbatrices. Mais comme les inégalités que ces termes produisent sont pour la plupart très petites^ il suffira de tenir compte des plus considéi/ables ; en général, ce squt celles qui répondront aux moindres valeurs de./; et^en effet, on verra , lorsque nous réduirons en nombres les formules du chapitre précédent^ que les inégalités du rayon vecteur, de la longitude etdeia latitude, forment des séries qui décroissetit ^vët; beaucoup- de i*apidité à meâure que leur argument dépend d'un plus grand» multiple des moyens ' moia^etnenâ' dé la planète troublée et de la planète ^pertixrbatrice. Les premiers termes.de ces séries seront donc > en généif'al, les seuls qui puissent; par leur combinaison avec les,
DU SYSTÈME DU MONDE. tk^^
différences partielles de R et R', produire des inéga^ lités sensibles dans les valeurs de cTÇ et de cTÇ'.
Considérons maintenant la seconde partie des formules (o). Il est évident que les seuls termes qui, après la double intégration, auront la très petite quantité {5nf — 27z)* pour diviseur, sont ceux qui, dans les intégrales (fd'Ky et (y<f' R'/, sont déjà divisés par 5/i' — an. En nous bornant donc à déterminer ces termes, il faudra, pour les obtenir, combiner la partie constante des intégrales /d'K et fd''K' avec la partie de ces intégrales qui dépend de l'argument 5n't — ant.
La détermination des inégalités dépendantes des seconds termes des expressions de J^Ç et de /Ç" sera comprise, par conséquent, dans la première des combinaisons des argumens It et rt, c'est-à-dire dans celle des argumens zéro et 5n't -r 2nt.
Commençons par déterminer les inégalités relatives à cette combinaison.
Inégalités de St^ et cTÇ' qui résultent de la combi-^ naison des argumens o et 5n't— «ant.
58. Pour les déterminer, reprenons la première des formules (o) , en n'ayant d'abord égard qu'à son premier terme.
Si l'on ne considère que la partie non périodique du développement de la fonction R , et qu'on néglige les termes dépendans des excentricités et des inclinaisons , on aura
R = ^'aco,
a4o THÉORIE ANALYTIQUE
JR
= m'(a^¥+a' ^f) 8iii(5«'< - an/ + 5i'— 21)
• d^ dp' \
+ m'f fl ^ F + a'^F'jcos (Sn't — 2ni + 5i' — 21) , *
d'où en diffërentiant par rapport knt , en regardant n't comme constant , on tirera
^!^£5=--aifi'^tfa'^F+a'« ^ F'^ cos (5n'< - Mt + 5«'— a«) + 2m'^«a'Î2^F+fl'*^ F'^ fin (5n'« - a«« + 5/— ai).
En multipliant cette expression par jpi^ — tt-- — » >
on aura la partie correspondante de J^.
Considérons maintenant le second terme de la même formule. Supposons, comme précédemment,
JR = m'P sin (5n'« — a»t H- 5«'— ai) + m^?' oof (Snft — aiil 4- 5/— ai),
d'où en différentiant par rapport kntfeten intégrant ensuite , on tire
am n
g étant une constante arbitraire.
En ne considérant donc que les termes dépendans de l'argument Srit — ont , on aura
</<^R)*=— 1^^^. [Piin (Sn'f— îin«-f^-.a«)+P'coi (5/i'«— ai»«+5/— ai)].
On a d'ailleurs ^ n"* 93 , livre II ,
La première des formules (o) donnera donc, en
en vertu du terme précédent ,
En réunissant cette inégalité aux deux inégalités déterminées précédemment , on aura' la valeur complète de cTÇ, résultante de la combinaison des argumens zéro et 5/z'/ — - 2nt. , ^
59. Pour avoir la partie de cT^^ correspondante à celle de J^Ç que nous venons de déterminer , reprenons la seconde des formules (o) ti ^.'. ^ . , .
En suivant l'analyse du numéro précédent , et en supposant
Ç = F cos ( 5n't + 2nt + 5î' — 2g+/)
on trouvera
— -«. — = \ -, — i, a'* . ,"' F' sin iSn't — a/it -f- 5i — a$ + /'),
ndt an dar
et en multipliant cette expression par ^ ,^' --^-p — ?; ♦
on aura Tinégalité que le terme précédent introduit dans la valeur de cTÇ''.
Réciproquement 9 soit
R'=: mP sin (5/2'« — a/it +5f''— a«) -f mFcos (5n'£ — ant + 5«'— at) »
et supposons , comme plus haut,
on .trouvera
