QC») s -f- Q<») s -f- Q(^) s
ou bien en faisant
ndt
ant 4- 5i'
^nt 4- 5* 'int •+• 5i'
^nt 4^ 5«' 2/iï 4- 5/ a/i« 4* 5i' 2nt 4- 5»'
— ai —
— ai —
— at —
— ai —
— ai —
— ai —
A^= Q<*)cos (•'-g^)4-Q<'>cos (»'— ,çO-<-Q<*)co8 (• — /f)4- QWcos (•'— :^) 4- QCOcos (» -./')4-QC«)co8 («'-/')4-QCfi)co8 (« - f)4-Q<7)co« (•'—/),
et nommant B^ ce que devient cette expression quand Qn y change les cosinus en sinus
ndt
= A^ sin (5«'« — art« 4- 5f' — ai) — B^ cos {5n't — 2nt •+• 5t' — at),
Les valeurs des quantités M^'^ et M^*^ et de leurs différences , se détermineront au moyen des formules du n** 8i , livre II, dans lesquelles on fera i= 2, les valeurs des quantités désignées par F, G, F', G' dépendront de la première approximation,
62. Proposons-nous de déterminer les inégalités du ^îoyen mouvement de Saturne, correspondantes am^
deux inégalités dxt moyen mouvement de Jupiter dont nous venons de nous occuper, c'est-à-dire la partie de la grande inégalité de Saturne du second ordre par rapport aux forces perturbatrices , et qm résulte de la. double combinaison des argumens 5n't—2ntet an't—nt.SiYon désigne par P'^*^, 1?'<'\ etc.^ ce que deviennent P^**\ P^*^, etc. y relativement à cette dernière planète , on aura
an da 2 da in da' a aa J '
L «' an' a
a/1 aa' a da w da a aa J
«/rN /.r 5/2'-»^,,-,,.. 3- .... ^ ^n'^n-, .dW^i 3^ ,rfM(0-|
L a/i' a an da' a aa J
w/ox . r 3(5n'-n)„, ,... , . q„ ,>, . 5n'-n„, . </IVl(o) 3„ .cHVKOT
L ^ '» * 2n' rfrt' a da y
p.<O = ex.r-J(52;^HVM<O+2H«^M0)52:-FV.^'-JF.a'^l. Lan' a an da' a aa J
De itaéme en nommant Q'^**^ , Q'^'^, etc. , ce que deviennent Q^*^ , Q^'^, etc., relativement à m', on trouvera
Q'C«)=— (— T^WmCo), Q'(i)=tL5^GVM<0, Q'<»)=aG'flM(o), Q'(5)=GaTM('),
Et en nommant ensuite A'^ et B'^ ce que deviennent ^^ B, A^ , B^ I relativement à m', on aura
aSo THÉORIE ANALYTIQUE
Remarquons maintenant que par la nature de la fonction perturbatrice , les vdeurs dés quantités M^^\ AP*^ y etc., relatives à Faction de m' sur m , sont égales
à celles des quantités correspondantes M^*^ y M^*^, etc.^
lit' relatives à Faction dé m' sur m , multipliées par — p
autant que Fon fait abstraction des termes qui renferment la quantité A^*^^ parce qu'elles se rapportent alors au développement de la partie commune aux deux fonctions R et R^. Quant à celles de ces quantités qui renferment A^'^, dans le cas de mouvement de m troublé par m! , il faut supposer (n* 24)
dM^=::b^ — a, et dans le cas de m' troublé par m^ il faut faire a'P&^z=zh, — — j en faisant donc sîmple-
ment dans les deux cas a'A^ =s 6 , — et , les valeurs
de M^'*^ M^'^ , etc. , lorsqu'on considérera les perturbations de m y seront aux valeurs des mêmes quantités relatives aux perturbations de m' dans le rapport de ma m\ Cela posé, si l'on compare respectivement entre elles les valeurs des quantités P^®^, P<«^ F*>, etc., et P'W, p'O)^ fP)^ etc., en observant que 5n^ — un étant une très petite quantité , on peut, dans ces valeurs, supposer sans erreur sensible Snfsszan, onauram7iP^*>+m'/iT'^*>==o,wmF*î-f-m'/i'F'>==:o,etc.» les quantités Q^*>, Q^*>, etc. , Q'^*^ Q'^'^ etc., seront liées entre elles par des équations semblables, en porte que relativement à cette partie de ^Ky on aura
Cette relation devient ici d'autant plus importante , que les calculs qu'elle doit servir à vérifier sont plus longs et plus compliques.
Reprenons l'équation {i^)d\i n** 3g.
Les caractéristiques d' et d!' désignant respectivement des différentielles prises par rapport aux coordonnées de 772 et de m% et en supposant pour abréger
Pour déterminer le mouvement autour de M de la planète m troublée par Faction de mf, on a par le n** 8 du second livre ,
itx , (M -^ m)x . mx , d\
-dF^ ? t-TT—^ ^-^'
^z , (M + m)z , mV , rfA
dt^ ^^ H ^ /v^ dz
Le mouvement de 77i' troublé par Faction de tti sera déterminé par les mêmes équations, dans lesquelles on changera ce qui est relatif à tti en ce qui est relatif à 77z' ^ et réciproquement.
Si l'on tire de ces équations les valeurs des six quantités ^ — 3 ' , ^^ — 73" > ^*^* ' ^ ^ subs-
a56 THÉORIE ANALYTIQUE
seur sont ceux qui dépendent de l'argument Snft'^^ant^ on verra que la variation de A cos(iW^ +m^-f- B)ne saurait être aucun terme de ce getire relatif au même argument , c'est* à-dire aucun terme qui puisse par une nouvelle intégration acquérir le très petit diviseur (5w' — 2ny.
Quant au dernier terme de l'équation (P), on peut le réduire au suivant :
Puisque la partie de ce terme qui est du troisième ordre ne peut donner aucun terme ayant pour argument 5n^t — 2nt et pour diviseur 5/i' — 2w.
Il faut , dans le terme précédent , substituer à la place de p , sa valeur dépendante des forces perturbatrices. Or^ si l'on regarde A comme une fonction des six variables r, ^^, s, r', ^', /, pu des cooixlonnées polaires des planètes m et 7n/, en remplaçant ces coordonnées par leurs valeurs^ augmentées des parties dues aux forces perturbatrices , on aura
D'après cette expression^ il est évident que les seuls termes de cTA dépendans de l'argument 5r/t — uni qui puissent avoir 5/i'— 2/1 pour diviseur^ sont ceux qui résultent de la substitution des valeurs de J^r, J^p ^ etc. , qui ont déjà pour argument 5n't — 2nt ; combinés avec la partie non périodique de A. En faisant donc pour le moment abstraction de ces termes, on peut regarder comme nul le second
DU SYSTÈME DV. HdHIIE. iLh*j
metnlire de rjQ<|Qatidn:(P)^ et .e» déftigUMCt pttr JH et J!W.les fonctions de Riei de Hf qui dépendent àtà carré des fbnre&i{)6rttarbitri€esy cêtte^'ëquatîorti éâ supposant M = I , donnera ->>
Si l'on ne considère , àii contraire , dans l'équation (Ç) que les parties qui dont d^es à la oontbiuaison des argumçns zéro et 5n[t — ant, on aura
Or y la valeur de R donn^ .,
Nous ne considérons ^au^ cTA que les ternafcs qui résultent de la combinaison de la partie non périodique de A *yèe ceux dé JV'i J"^, J^s, etc. , qui dé-pendent de l'ai^ument Bn't-^atU,} ùr^ la dernière partie de l'équation précédente ne fournit pas de teribés semblables / n^ 60 > livre II. ' Ob aura éiiat^ simplement^ dans ce cas, in'A=r-^Ry et par consequent
L'équation (P)^ mu n'ayant égard qfi'a ces ten^ies^
donnera donc
En vertu de l*équatioi)i.(p}pn peut donner à léquation.(^) cette forme:
