Tome IIL
Si 1^ crasidèns uniquement les parties de cTÇ et dû J'C <rxî sont indépendantes de la partie constante de la fonction R ^ en vertu des formules (o) ^ on aura simplement
J^C' = — 5aWfdtfd" . cTR'.
On a , de plus, par la formule (8), livre II,
C — - 5a^n'/dtfd!^K\
L'équation (r) , en la multipliant par dt et en Tin-^ tégrant ensuite , en vertu de des valeurs donnera
D'âiHeùhs; ank 'qaantités près de Tordre m, on
a n*a^ =;= n' V^ ^ . (^ q^i don ne—:=sy^}] 'équation. précédehlé'deVieùBradoticr' ' \
équation de condition a Liqtielle devront satisfaire les parties de «fÇ et de ^^ jjui dépendent du carré dès forces perturbatrices , et qui résultent de toutes les cfbihbînàisotis qti^oti'|)èût^fairé âei' difieiiens 'ai^gurbetis de chacun des facteurs de la fonction SK', et qui* ont été énu^iéréçi n*,5.7.y If çpml^ii!^aisûn;;des\ albumens Sn't — 2nt et zéro étant seule exceptée. Quant aux parties ^ûi dépendent 'de' cét^é doMbiiiaisoti V en ies désignant par J ,Ç et J'X'p ^^ ^^^^ entrt telles ï'è^ ' ^^tiou/de condition .
DU SYSTÈME BU MONDE. aSg
m V/â.cT.C + mV^.J'.C' — 3m//IW^ar:o. (N)
, Les équations (M) et (N) serviront à déterminer la valeur de J^ lorsque celle de cT^' sera connue, et réciproquement, ou bien elles serviront à vérifier ces valeurs, si elles ont été Calculées sé}>arément.
Il faut toutefois remarquer que s'il arrivait, comme cela a lieu en effet , qu'une partie des valeurs de JX et de ef^' fût liée par I^éqbation de condition
m V/â . cTC + "»' V^^' ^'== d , (L)
toutes les inégalités qui. satisferaient à cette équa-* •lion n'ajouteraient rien aux équations (M) et (N) , en sorte qu'on pourrait en faire abstraction sans nuire k leur exactitude. D'ailleurs^ le dernier terme de l'équation (M) étant une très petite quantité , d'après ce que nous avons dit n^ 62, chaque couple d'ir négalités correspondantes de cT^ et de cT^' satisfera toujours en général, à très peu près, à l'équation (L). Il ne suffit donc pas que les valeurs que l'on a trouvées pour J^Ç et ^Ç' vérifient Inéquation (M) , pour qu'on puisse en conclure que ces valeurs sont le^ iBxpressioQS >oûmplètes de ces quantités ; il faut quW se soit , de plus , assuré , par le calcul direct , que l'on n'a omis aucune des parties de ces illégalités qui peuvent acquérir une valeur sensible .
64* Déterminons maintenant les inégalités de la longitude de Tépoqne correspondante aux précér Rentes. Ces inégalités devront être ajoutées h celles
ly..
a6o THÉORIE ANALYTIQUE
du moyen mouvement dans l'expression des longi-*
tudes moyennes.
Reprenons la formule (a) du n" 4^, qui dëter-mine la variation de c* Cette formule , en intégrant et en négligeant les cubes des excentricités ^ donnera
. En changeant dans cette expression tout ce qui est relatif à tu en ce qui se rapporte à m!, R en R', dn aura l'expression de^cTc'.
Examinons successivement les di£férens termes de cette formule. Le premier ne peut donner danb ^s de tei*més divisés par (5n'—â^)^ qu'âtf tant qu'on con«sîdttrera dans eTR les termes qui ont déjà pour divi^ seurs 5n!^-^ an ; si Ton -se boràé donc & ces termes ^ Ja valeur de i^ rapportée ^ 58^ dènnera sim^ plement
cTr et // désignant les variations des rayons ellip*^ tiques des deux planètes dépendantes de l'argument
6iit — wtt , et — A^""^ étant h partie non périodiqve
du développement de R. Nous réduisons^ comme on voit , cette partie à son premier terme '; èllé renferme^ de plus 9 des termes dépendàns ides Narres des excentricités et des inclinaisons ; mais ces ^eiHnes ne donneraîetit que des quantités de Tonfre de celles que tious négligeons^ puisque «Tr et JV sont déjà de Tordre
BV S¥3frJÈ:ME DU MONDE. aft»
des cabes de ces mêmes élémens ; on peut doné ne pas y avoir égard.
Cette valeur dîffërentiée par rapport à a , en regardant comme constantes les variations J^r et J^/, don-* nera
da "^ a * da^ * •" ^ * dadaf
Supposons aux valeurs de S'r çt de /r' cette forme :
^ = — a/'LP iin (Srt'r — a«« -h 5i'- ai) + P' co« {Bn't — ani + 5i'— at)],
on ailra
^^-= a. ^^^^/ [P"n(5«'l--2iiï+5«'-2i)+P'co»(5»'«— a/it+5i'— 2f)],
Nous avons trouvé, n* 58 ,
y. affina ,yy Stnn'a*
On aura. donc ^ en ne considérant que le premier terme de la formule (^)
(5« — an)» </«• ^
iomiiiW^,^^ J«A [•^/p'^i^5„/j.an«4^f^!ii><i'Pco.(5«ri-îmf+6/. ai] .
Considérons le seco^^d terme de la même formule. Les seuls termes divisés par (5n' — an)* qui puissent en résulter dans «Té, sont ceux qui dans la valeur de jf rf'R ont déjà Snl — %n pour divisem*. #
a6x THÉORIE ANALYTIQUE
' Si Ton suppose donc
E = m'P fia (5/i'* — a«l -f- 5i'— at) -f- m'Fcoi (5/i'l — anf -♦- 5f' — at) ;
d'pfi Ton tire
am'/i
Il faudra combiner dans ^€la valeur précédente de /^R avec celle de j- qui résulte de la partie non périodique de R; c'est-à-dire qu'en ne considérant que le second terme de la formule (a) on aura
^>=T/"'*'^'fl^T^ [a'FaiiiCSii'f-anf+Sf'-af)— fl'Pcoâ(5ii'l-an£-f-5i'^0] • (5/t - ais)* aa
Si l'on ajoute cette partie de la valeur de St à la précédente , en observant que
on trouvera, ^n vertu des deux premiers termes de la formule (2) ^
'•""l5//-a/i)» A '*'' lûT^^ ""' da* )\ — «'Pcot(5n'/-a«/-4-5f'- ai)( , ifïmm'nfiU ( ,</ACO , ■ «^ AW>\ I a'P'iinCSii'f— awt-hSt'— ai) ) '(5// — a/O'A^'"' <i« "*"'*'' dû» /i-«Tcoi(5»'£^a/i«+5/-at)j['
et par une analyse semblable pour la partie coixes* pondaute de cTê' y on aura
5w«n^« / ,,<fA(<>) /3^lA(0\l rtT<«in(5/i'£— a/«-|-5f'— ai) ) V-"""(5/i'-a/i)« V "*' -^fl' '*"*'* da!* Jl— a'Pco.(5/i'£-a/i£+5i'— af)f \mrtinnU( A^^. / y»A(«>)\ C a'P'8in(5/i'£— a«£-+^t'— ai) ^ ""(S/i'-an)»" V'''' "^a '*"'*'' </«« j l-aTcof(5«'t-a/il-H5/— a*)/:'
Le troisième terme de l'expression (2) ne peut 4onner wcun terme de l'espèce de ceux que noHS
DU SYSTÈME DU MONDE. jt63
(Ottfiidéroos lorsqu'on négli^ les quantités dëpèndaptes des. puissances des excentricités supérieures à la troisième. En effet , pour avoir ces^ termes, il suffit de supposer
n da ^ da
Cette expression, dîfférentiée par rapport à e ^ sans feire varier /r et J^/, se réduit à zéro.
Passons au calcul du dernier terme de la valeur de cAs. En n'ayant égard qu'à ce terme, on aura
Il est clair que les seuls termes qui puissent avoir (5n'— an)* pour diviseur sont ceux 4e JVi et de /e qui dépendent de l'argument Sn't-^int, combinés
avec les termea non périodiques de e -j- et de -j- .
Or , e ^ est une fqnctioq; du $eiCQnd ordre par rap-,
port aux excentricités, et les termes de cTa dont il" s'agit sont déjà du troisième ordre; il ne résulterait donc de cette combinaison que des termes du cinquième ordre relativement aux excentricités , quan-! tités que nous négligeons. Tenons*nous-en donc à considérer les termes de cTê qui naissent de ^ substitution de la valeur de J'e. On a pour la variation de Texcentricité , u* 4^^ ^ 1^^*'® U >
dez=- — aed'K — andt
dK
a ' edti • . i
La première partie de cette expression ne peut dpn-^
964 TB^eniB ANALTOQUE
«'agît, pw la même raison que {Nréôédemment j il Suffira donc de considerfr la seconde. En n'ayant égard qu'aux termes qui dépendent de largmiieiit Sn't — 2nt ^ on j| , n*. 56,
*s=3r-7— - ^sin(5/»'< — ant+5t— at)-H-^cas(5n'^f— anl+Sf — ai) j.
On aura doup par ]^ siib&titution de eette valeuir
4(5» -:!»)■ 4ic L 4» ' '4e 'J
et en changeant tout ce qui est relatif à m' en ce qui est relatif à 7n, et réciproquement, on aura pour la partie pqrrespondante de «Ti^'i
T et F' dé^gnant respectivement les parties con&r tantes du développement de R et II'. Si Ton n'a égard qu'aux termes dépendans des carrés des excentricités ef de$ inclinaisons j on a
F=— AW+^'H(e*+c^») +!îi'eç'H'cof(#'--*)— S^oa'BC' V >
où Ton fait pour abréger
et en multipliant par ^ Texpression de F , on aur^ Vexpressîon de F
DU SyS1!ÈMB DU U0NP1S. iOS
: 64>UMt^<^cle&'assiu%irqiiale$Yari9tioQ&âeaexcQn* tricités et des longitudes des périhélies me coiàtieBii^Qt aucune inégalité de l'espèce de celles que nous ^eitons de considérer ici ^ c'e$t-à-dire aucun tçrme dépen* dant de rar^)iment de la grande inégalité du second pr4re p^r rapport k la force , perturbatrice , et q^i ait pour diviseur la très petite quantité (5/ï'-«-3n)% ^u inoins tant qu'on n'a égard qu'aux termes .dépen-* dau^s des troisièmes puissances des excentricités et des inclinaisons; il n'en saurait donc résulter dans les expressions 4^ longitudes vraies de m et de m' que des inégcilités insensibles. En réunissant par conséquent l^s diverses inégalités des moyens mouvemeiis de n^ et ^e ni qui résultent de$ combinaisons énu*- Itérées n^ 67 y et celles des longitudes des époques qqe Bpa$ venons de déterminer ^ et en désignant par <rC t f^C'9 ^^ y 6^ ^^' c^ sommes , pour déterminer les inégalités correspondantes du mouvement en Ion» gitude de m et de mf^ on aura
<^V = JiX + ^7 cT^^' = efr + cTé'.
Ces équations donneront les parties les plus sensibles des deux grandes inégalités de Jupiter et de Saturne dépendantes du carré des forces perturbatrices.
65. Nous n'avons considéré jusqu'ici parmi les termes de cet ordre que eeux qui sont relatifs à l'argument de la grande inégalité; mais on peut tenir compte des principales inégalités de Jupiter et de Saturne ; dépendantes de la seconde puissance de la
force perturbatrice , et relatives à un argument quelconque de la manière suivante.
Soit H cos (i/iY — int + A) un terme du développement de R y et soit K sin {tntf «nr- int + B) Finégalitë qui en résulte dans le mouvement de m. L'ex*pression de K, d*après ce que nous avons dit n* 28 , aura pour diviseur Tune des trois quantités (i'n' — i/i)% (ïW— in) ou (iW — in)dzn. Maintenant^ si Ton veut avoir égard aux termes dépendans du carré dé la force perturbatrice, il faudra, à la place de n^t et de ntf substituer fnd^t et fndt, et faire croître dans H et A les élémens de Torbite elliptique de leurs varia* tions. Mais on a fn'dt = n^t + Xl et fndt :=2nt-+'Ç; il fendra donc dans le terme H cos (iW^ — • m^ -4- A) augmenter les longitudes n't et nt de Ç et de Ç', et en n^ayant égard dans les valeurs de ces quantités qu'aux termes relatif^ à la grande inégalité : il en résultera dans R un terme du second ordre de la forme kU cos [tn't — int dz(5n't — 2nt) 4. A 4- C] , et l'iné^ galité correspondante de m aura pour diviseur [iW — in ± (5n' — un) ]*, i'n' — in db [5n' — 2/1) , i'n' — in ± (Stî't- 2n)d:;n. Si îV — in ou iW — inzhn ne spnt pas de très petites quantités de Tordre 5n^ — 3fi, on peut, dans ces diviseurs^ négliger 5n' •. — an devant l'n' — in et iV — indzn; en sorte que Finér galité correspondante à
A:H cos [/'/i' — int dtz {5n't -r^ nnt) -j- A -f- C} sera
AK sin \i!n't'--' int d;: (5n7 ^ ant) + B + CJ ,
quantité qui est l'expression de la variation de K sîn (iW — înt Hh B) lorsqu'on augmente n'i^ et nt de leurs grande^ inégalités. Ainsi donc, dans les inégalités de Jupiter et de Saturne , qui ne dépendent pas de Targument 5n!t — nnt^ ou dans lesquels le coefficient de t ne diffère pas de la quantité 5n! — an du coefficient n pour Jupiter, ou du coefficient n' pour Saturne, on aura égard aux termes du second ordre , en augmentant n't et nt de leurs grandes inégalités dépendantes de l'angle 5n!t — :mt.
Quant aux inégalités résultantes des variations relatives à ] angle Sn'f — - nnt des autres élémiens de l'orbite elliptique, comme ces variations sont toujours très peu considérables par rapport ^ celles di^ moyen mouvement , on pourra les regarder cqmme tout-à-fait insensibles.
^. Lorsqu'on aura déterminé toutes les inégalités du mouvement d'une planète , dépendantes d'un même argument , on en fera la somme , et on les téunira ensuite en un seul terme , comme on l'fi dit n** 3o. Soit
K sin (iV/ — înt + iU' ^ h 4- A)
l'inégalité qu'on obtiendra de cette manière ; K et A étant des fonctions des élémens des orbites , leurs variations séculaires peuvent avoir de l'influence sur les valeurs de ces quantités. Si Ion juge l'inégalité assez considérable pour y avoir égard, on pourra le faire par la méthode du n^ 29. On calculera la même inégalité pour une époque éloignée de deux cents 9n^ de la première , soient A' £t B' ce que deviennent
a68 TIIÉ(»IIE AWÀLTTIQUE
dors A et B; ou aura
dK
dk
dt "
di'^
On aura donc pour u^ temps t quelconque compté ^n années juliennes , à partir de l'éppque qu'on a choisie ^
(K + ^Ç)sin(iV< — m« + îV--Î6 + AH-^^);
et, sous cette forme, cette valeur pourra s'étendre à plusieurs siècles, sans erreur sensible.
La détermination des deux grandes inégalités de Jupiter et de Saturne exige qu*on ait égard aux termes dépendaus du carré du temps dans la partie qui^ a pour diviseur {5n^ — ^^Yf et qui est, par cette raison, très considérable. En ne considérant que ces termes, on a, n"" 4^ »
6mfn*a
L (5» -2/i)a< (5ii'-2ii)*at»J ^ '
Les valeur^ de P^ F et de leurs différences se rap-< portent à un instant quelconque. Si , pour fixer les idées , on prend pour époque Tannée 1 8oo ; que pour abréger on fasse
^ * (5/1— - 2/i)é// (5/i' — anydi^ ^
Vj * T- (5^/ 2n)J/ (5n' — 2nydt^ *
F, P' et leurs différences se rapportant ici à l'époque
1)(J SYST^E DU MONDE. aSg
4b 1800 f <Hi aura pour no temp» quelbooque <, en n^ligeant les puissances de t supérieures à la aer coude ,
Les valeurs de Q , Q^ et de leurs différences s'ob^ tiendront sans peine lorsque celles des quantités P et P' et de leurs différences seront connues j on pourrai ^sps ces Taieursy n'avoir égard qu'aux prejuières et secondes différences de P et de P\ ^t ces quantités sa 4éternii0eroût comnie oa l'a vu n^ ag.
Si Ton vaut réduire à un s^ul terme l'inégalité pré* çédentCy on la calculera pour les trois époques^ de t3oo, âSoo.et ^800 > éloignées de 5oo ans l'une dîs l'autre. Soit L sin Ç5n!t --^arU •+• 5«' — • !a« -h 6) cette inégalité réduite à un seul terme pour 1800^ et soient Ij'j &^ h\ C, ce que deviennent L et € aux époques 4^ aSoo et de .21800 1 c'est-à-dire lorsqu'on faitri^^^ pectivement /&=s5oo et ^:=iooo dans la valeur da J^v, on aura pour un temps quelconque t, compte de 1800^
les différences de L et f se rapportant à l'époque de 1800 y et étant déterminées par la méthode du n^ 2g. On aura ainsi
dL 4^ — 3L — L^ </*L L''-- nV + L
dT ""^ 1000 ^ dt* ^"^ aSoooo *
X 4f-3C — g^^ ^?!izi?l±i.
dt "^ looo ' d^ aSoooo *
on donnera de même à la grande inégalité de m! ik
forme
(A + B^ H- Cf ) sin {^'t — mt 4. 5i' — -lé) 4- (A'4- B'^ + C«*)cos {Mt -^ 2h< + 5é' — û^) ,
et l'on réduira ensuite en un seul terme cette inégalité par les mêmes procédés.
Lorsque toutes les inégalités dn mouvement d'une planète seront ainsi rattiénées à la même forme , il sera facile de les réduire en tables qui s'étendront a plusieurs siècles avant et après l'époque qu'on aura choisie. D'ailleurs, comme nous l'avons dit, il ne sera nécessaire d'avoir égard aux variations dépendantes de la première puissance du temps dans l'expressioii des côefEcienSy que pour celles de ces inégalités qui seraient considérables , et l'on n'aura égard au carré du temps que dans le calcul des parties des <leux grandes inégalités dé Jupiter et de Saturne ayant (5n' •— 2/t^* pour diviseurs et relatives à la troisième^ jouissance des excentricités et des inclinaisons. *
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DU STSTÈICE DU MONDE. a^i
ésdBs*a:^Bsa^BB^:afcatefBaii
