CHAPITRE V
Des perturbations dans les mous^emens des plattètés et des comètes j dues à la résistance dun milieu très rare.
67. La résistant qu uti corps en mouvement peut éprouver par la réaction du fluide qu'il traversé , dépend en général de la densité du fluide et de là vitesse dont lé mobile est animé.
On suppose ordinairement la résistance proportionnelle au trarré de la vitesse; et l'accord de cette hypothèse avec un grand nombre de phénomènes ab^çryés à la» surface de la Terre semble indtqiier que çfast ^ el^tîla loi de l^nature^ Quant à k loi da ^eAsitjé du fluijde éthéré qui entoure le Soleil > elle e$t absolument; incQunujç^ puisque Festistence même ^ de eé fliûdiBi^t encore très! problématique, Ccipend^ot on doit )Swpposej:, en général, que cette densité diniime^à mesure quW s^éloigne du Soleil, et qu'elle devient dm116 à des distances infinies. On pourra donc teaf^xàes: It^ à&i'^lié du milieu comme une fonction inconnue de la distance au centre du Soleil^ et faire e^siuite sur la ^orme de cette fonction dîfiérentes hy-;.
&7^ THÉORIE AHALITIQUE
pothèses y parmi lesquelles on choisira celle qui s'ac-
d^rcle le tnieux inrec i ooser ^^stioo i -
Soit donc ds 1 élément de la courbe décrite par la
planète m, dans l'instant ^^^ ^^^kIè) ^'^^P^^îon de
la résistance du fluide qu elle traverse, p , qui représente la loi de la densité du milieu , étant une fonction quelconque de la distance de la planète au centre
du Soleil^ eu mtVe ^'on â généivleitaetit p ^^ Kip(-)
en nommant r le rayon vecteur de la planète et A: un coefficient constant. Cette résistance s'exerce évidemment en sens opposé au mouvement de la planète ; eo multipliant donc son expression pat les tosinus
«^, ^, -^ que formé t^élémeitt rfyavec les axes coor-
ds' as as *^
donnés , on aura pour les trois composantes respectivement parallèles à ces axes
ds dx ds djr ds dz
'^^dt^ H' ~P dit Mr ~^dî di'
Pouf détertnineP lëà pértûrbutidns ^lÉé tes forcer inlrodui^ent dâM le hiouVén^hf de la platièCe, oik regardera son orMte Cômthë tlnë ellipse vârielbie, dont <m déterminera les ëlésiëdè pai^ là mëthô^ orditiàite. Nbtis i^otitriic^^s dédinre= le» Variation^ de ces élémensy des fbk*mules qjfte noûi»^ atOtxé ddtiûéës n* 5 1 ^ livre lit , ^\ qui à'appfiqn^t îMttMîdiàtëÉttèilt au cas où la vësîsïaticè de Téther ^st-kfiM^ce |MJN-' turbatrice qui agit sur la plaAète ; nlâîi ttbùs |]ft30fitérotis de cette occasion pour- Iriohtrér coihmettt > par la simple combîtiatàon dès' formule^ du moUVe^
rr
ment elliptique ^ on peut obtenir très aisément les expressions des -élémens de l'orbite' troublée sous telle forme qu'il conviendra de leur donner.
68. Si l'on désigne comme précédemment par R la fonction perturbatrice , et qu'on néglige la masse de la planète devant celle du Soleil prise pour unité, ce qui donne fjLz=:i y les équations différent ielles dit mouvement troublé donneront d'abord les quatre intégrales suivantes :
zdx — xdz f( <fR ^^^Jt
Dans le cas de l'orbite elliptique^ R est nul, et les seconds membres des équations précédentes se réduiisent à des constantes, on a donc ^
^~dt =C, — ^— -=rC', j^ — C.
Les trois quantités 7 cfife, ^c-dû, \d'dtf représentent les aires décrites par le rayon lecteur dé w, pendant l'instant dt sur chacun des plans de projection , et la racine de la somme de leurs carrés l'aire décrite sur le plan même de l'orbite ; cette aire est égale
d'ailleurs à \ \/a{\ — e*) dt, n'* 20, livre ÏÏ, e^i sorte Tome III. ï8
^^4 TBÉOIIE AVÂLTTIQSm
^^^on wira
. Si Ton prend pour plan de projection le plan de Torbite primitive de la planète , c' et c" seront d^ Tordre des forces perturbatrices } en négligeant donc
}fi carré de ce^ forces^ on aura v/a(i •— e')s=»£?.
Quant aux quantités o' et c^, elles déterminent la position du plan de Torbite ; et en nommant p son inclinaison sur le plan fixe ^ et â la longitude de sou nœud , pn a , n* 3o , livre IIL
c'= \/â(7-^^*)sin^cos9,i c^=-^ V^^z( i •^e^ sinç sinfl.
En faisant donc^ eomme dans le n"^ 4» livre 11^ sin ^ sin 9 = ^y nn 9 cos0 = 9 ^ on aura
Cela posé y si Fou différentie, conforn^énaent à la théorie des variations des constantes, les équations (2), en faisant varier à la fois les ocmstantes et les variables qu'elles renferment , et qu'on compare ensuite œs différentielles à celles des équations (1)^ on aura, pour déterminer les quatre constantes a, e,p^ q que
uoua ayoQâ substituées aux coustante § a^c^c\ c^ les équati9Q9 fiuivautç^ :
a^6^ THÉORIE ANALYTIQUE '
Ces tfois équations suffisent pour déterminer dg et dG>y en fonction de de et de da. Si Ton substitue dans les deux dernières la valeur de du tirée de la première , on aura les deux suivantes :
ae\/i — e^dùùsvnu + ade[e+QO^ — da{ i — e') = o , > {cU — d(M))ae&\ n w + a<ie(c— co6w)-+-û&i( i — ecosw)* = o ; ( ^^^
ou bien en ajoutant ces deux équations :
de. — d&K i — Vi — ^ ) = — ^^ — ï-^^ •»
Cetle dernière équation peut prendre, comme on sait, une forme très simple. En effet, on a
et en substituant pour da et d . \/a(i — e*) leurs valeurs, en observant qu'on a
\/a=:a*n ^ dK=i-j'dx+'j-dr, et oc - — f- r-p- =r-7- ,
' dx dy ^ ^ dx ' -^ dj- dr
et faisant attention aux valeurs de dx et (fy données , no 5i, livre III, on aura
ds=da>( I — \/T^^^) — 2andt(^r^^, (5)
équation à laquelle nous sommes déjà parvenus^ n* cité.
En substituant dans la première des équations (4) pour da et de leurs valeurs , on aura la valeur de dt», et l'équation précédente donnera celle de de quand la valeur de dco sera déterminée*
.. On aura donc ainsi les différentielles de tous les lâémens de l'orbite exprimées au moyen des dîfFé- -rences partielles de la fonction perturbatrice rela«tives aux coordonnées de la planète troublée. On peut donner à ces formules différentes formes, selon les cas où l'on se propose de les employer. Si au lieu de^ coordonnées rectangulaires on veut faire usage des coordonnées polaires/*, i',^, on observera qu'en regardant R comme fonction de ces quantités, on a
^R := -j- dr + -j ds^ +-7- ds\
dr * dv * ds
Nous avons supposé dans ce qui précède
en négligeant les quantités qui sont de l'ordre du carré des forces perturbatrices, on a d'ailleurs
ar=:rcos(i' — c?), ^ = rsin(i^ — où) y z = rs.
£n comparant donc ces deux expressions de ^R après avoir substitué pour dûc, dj-, et dz leurs valeurs , on trouvera , aux quantités près que nous négligeons ,
dh dR dR
^ H'^^d^^^dr'
dK ^ ^ dR djr . -^ dx^"" du*^
dR,ldK dz r ds **
En substituant ces valeurs dans les formules (3) , (4) ^t (5), et en exprimant les sinus et cosinus de Vano
roalie excentrique u en fonction du sinus et du cosihus de l'anotnalie vraie u^^Vf on aura ks variations de tous les ëlétnens de Torbite exprimés par des for*- .mules qui ne contiendront que 1er différences par^*titUes de la fonction R relatives aut coordonnées^ polaires de m multipliées par des fonctions de coordonnées*
Enfin ^ »i Ton observe que Ton a ^ a* 4 ^
dv mit dit
dK JR
' dr da ^
. , . iR rfR . . rfR dR
sm {y^ 0,) = — ; cos (^-^)-^ = " ^ -
en substituant ces valeurs dans les formules précédentes f les variations de tous les élén^ens se trouveront exprimées par des formules qui ne contien-^ dront que les différences partielles de la fonction perturbatrice relatives aux élémens de l'orbite elliptique I multipliées par des fonctions de ces élémeâs indépendantes du temps , conformément au théorème démonti*é généralement dans le n"^ 17 ^ du livre EL Nous avons vu les avantages de cette manière d'exprimer les variations des élémens de l'orbite elliptique dans la théorie des inégalités planétaires»
69. Revenons maintenant à la question qui nous occupe ici , et déterminons par les formules précédentes les altérations de l'orbite de m dues à la résistance du milieu que cette planète est obligée de traverser.
I^ous avons représenté par ^ , . > -j- , les forces^
ou SYSTÈME DU BfONOE. s^.
qui sollicitent m dans 1« sens de «es coordonnées' rectangulaires , on aura donc dans ce cas, n* 67 •
dR dsdt dK éisdjr dR dsdz
On voit que z étant de Tordre des forces perturbatrices -j- est une quantité d)é l'ordfe du carré de ces-
forces I oik peut donc supposer -^ =s o^ ce qui donne
p = constant ^ q 5= constant ; c'est-à-dire que l'action du milieu résistant n'inftue pas sur la position lie l'orbite defn, ce qui devait nàturellolaent résulter en effet de la supposition <^ue nous avons faite , que la résistance du milieu était une force qui s'exerçait tangentiellement à chacun des élémens de la courbedécrite par le mobile.
En observant que l'on a
dlr* + ^* + dz^ = ds^ , Les valeurs précédentes donneront
En subiitituant ces valevins ^ans les formules (5) et (4) , en observant que par les formules du mouvement elliptique on a*
-a»o THÉORIE. ANALYTIQUE:
r'dv = a*ndt \/ 1 — e* ,
€t a*/i= I ^ on trouvera sans peine
oa = — 2apas[ ),
' \i — e cos tt/ '
^ L I — e cos M J
edo) = — 2p<3& A V '— g sinu\
' \ I— ecosif / '
dê^ — di» ( I — v/i — e*)=^jod!y e sinir.
On peut, dans ces formules, substituera la place de ds sa valeur en ^ ^ en sorte qu'elles se trouveront toutes exprimées en fonction de l'anomalie excentrique. En eflFet, on a
ndt z=i du(i — e cosf^) ,
d'où , en observant que — ^—= =: a ^ on conclura
dszzzadu \/i — e* cos*«.
On aura donc ainsi i
' V I — e cos tt. ^
^ = — 2rt(, — e)fdu COSU\/^±I^ ,
^ ^'^ V I -^ ecostt '
tfrfûï sz= — 2^ V'i — e^pdusinu y —
e costt
e cos M '
'V » — >ecos k'
DU SYSTÈME DU MONDE. aSi
En nontmant l^z=z fndt le moyen mouvement dans Forbite elliptique, on a dans l'orbite troublée , n* 45, livre II ,
On aura donc ^ par ce qui précède y
■ <=5a^«(. -ecosu)ffdusJ^^^. (7)
70. Ces formules donneront les Variations des élémens de l'orbite elliptique dues à la résistance du milieu que la planète est forcée de traverser. Pour les intégrer, il faudra supposer connue la loi de la densité du milieu , ou la valeur de p. On observera d'abord que la fonction p doit être supposée une très petite quantité, puisque les perturbations causées par la résistance du fluide éthéré sont elles-mêmes très peu considérables^ ce qui permet de négliger son carré et de regarder aei e comme constantes dans le second membre des équations précédentes; on pourrait d'ailleurs , par des approximations successives, tenir compte ensuite des termiss négligés.
La valeur de p , comme nous l'avons dit , sera en général une fonction donnée de la distance r de la planète au centre du Soleil; et en y substituant pour r sa valeur rt(i— ecosw), elle deviendra fonction de cos u. Supposons qu'après avoir
multiplié par y ' + gcos^ ^^^^^ fonction, on la réduise en série ordonnée par rapport aux cosinus de l'angle e£ et de ses inultiples, et i*eprésentons cette série par
^s THÉeRIE ANALYTIQUE
A + fi B cos M + e* Ccos 2M + etc.,
A^ B^ C étant des fonctions qui ne renferment que des puissances paires de r , et devant être regardées d'ailleurs comme des quantités positives , lorsqu'on suppose que la densité décroît en raison inverse de la distance au Soleil. Si l'on substitue cette valeur dans les 'formules (6), et qu'ensuite oti intègre , on
en déduira très aisément les valeurs de chacun des-
élémens elliptiques de l'orbite exprimées en séries ordonnées par rapport aux puissances ascendantes de l'excentricité.
Si l'orbite s'écarte peu de la forme circulaire, en sorte que e soit une très petite fraction , en dégligéant les termes dépendans du carré et des puissances^ supérieures de l'excentricité j, on aura
cTisf = — ^a^[Au + e(A + Ë)sint^] , S^e -=■ — 2fl[Asinw -+■« eB(w + J sin « )j ^ ^ tes I OnlJkM^ --^ 3eBços24 ),
eS'ùd = 2af Acofi « ^-^ ^ éB cos art) ^ d^ê = — a (Acos tt -4- ^ ôB cos iu).
Ûti voit par ces formules que la longitude du pér xihélie f ainsi que celle de l'époque , ne sont assujetties qu'à des variations . dont là péi'iode n'excède pas la durée d'une révolution de la planète; il en serait de tnéme relativement à l'inclinaison de Torhite i^t à la longitude du nceud^ en ayant mém^ ^^ leSk carré de k force peartili^batrics ; Â Ifaa ne considère donc que les inégalités qu'un long intcff-
vallé peut rendre sentie > on aura
J^a = — 2à^ku^ Je = — aébu , Ç = ^anku* , eJ'Cf =a, J^€=o, J^^= o, ^qz=zo;
d'où Ton doit eondofe que là t^ésistâuce dti tnilieu n'altërera à la longue xA là position du plàti de ToiN bile y tii t(d\\t de son périhélie ; maiâ eotntne A et B Mut , par hjpothè^ ^ des quantités positives , elle fera décroître indéfiuiment , et pat degrés ît^sensiblés, le grand âxc et l'exceutricité* L*ôrbîte se rapprochera de plus en plus de la forxne circulaire , et il en résultera une inégalité séculaire dans Fejcpression de la longitude moyenne , et par conséquent dans 1^ durée de la révolution de la planète. En effet, /ndt-^^ étant la longitude moyenne de la planète dans le vide, là Variation du moyen mouvement fndt introduira
dans cette expression l'inégalité - anAu*. Ainsi donc ,
en vertu de la résistance du milieu, le mouvement angulaire de la planète s'accélère de pins en plus , et par conséquent le temps périodique diminue à chaque révolution.
Si Ton considère les variations totales du grand axe et de l'excentricité pendant une révolution entière de la planète, onaura J'a== — ^a^A^Cf J^e= — 2âeE7r; ainsi, par l'effet de la résistance du milieu^ l'orbite se rapproche de plus en plus de la forme circulaire , tandis que la distance moyenne de la planète au Soleil diminuant continuellement , elle doit finir par atteindre la surface de cet astre.
Au reste , si les espaces célestes Sont remplis par
îi84 THÉORIE ANALYTIQUE
un fluide très rare , aucune observation n'a indiqué jusqu'ici que ce fluide exerçât la plus légère influence sur le mouvement des planètes ; mais il serait possible qu'il eût une action sensible sur les comètes, à cause du peu de densité de la matière qui les compose y comme nous lavons dit n"" J^o , livre IIL
71 • Considérons donc maintenant le cas des orbites très excentriques comme celles des comètes. Si l'on n'a égard qu'aux inégalités séculaires que la résistance du milieu peut introduire dans le mouvement de la comète , on pourra ne s'occuper que des variations du grand axe , de l'excentricité et du moyen mouvement , puisque celles du périhélie et de la longitude de l'époque ne renferment aucune inégalité de cette espèce* Reprenons les deux premières formules r4) ^^ ^^ formule (7) , que nous écrirons ainsi :
J'az=:—2a* I pdiA ; 1 — V i — e*cos*w L
J ^ Lv/i— e*cos*M -J
<re = ^ pdul — — VI — e'cos*M K
« J ^ Lv/i-e«cos»u J
Ç = 3anfdt/pdu |^-^;:==-- \/ , — e-cos«w J.
'"Supposons qu'en développant en série ordonnée ^ar rapport aux cosinus de Tangle u et de ses multiples la fonction
p (i + er.osu)
dans laquelle on substituera pour p sa valeur en fonction de u, on ait
v» THÉORIE ANALYTIQUE
même dans tous les points dç l'orbite. On a généralement, n' 67, p==K^Ç-;j , r élant le rayon vecteur de
la comète, et (pf^ une fonction de r qui devient égale
à lunité quand r= i , enfin K une constante qui dépend de la densité du fluide à Tunité de distance ^ et de la masse de l'astre en mouvement. Dans le cas que nous examinons, on a donc p = K, et , en observant que Kntégrale / —====:. est nulle entre les limites i^ = o et w = ^, on aura
K r* du
€*ça8*ii
Ces intégrales doivent s'étendre , comme les précédentes, depuiç u^!!=Q jusqu'à us=z^ ; mais il est clair qu'on obtiendra également leurs valeurs en intégrant entre les limites u=o et «=;?: j'TT, et en ayant soin de doubler les résultats. Les expressions de A et B représentent alors des fonctions elliptiques de première et de seconde espèce; et,, d'après la notation adoptée , on aura , n'* 22 ,
En substituant ces Trieurs dans les formules (8) , «k im }es ctenéant à «n« rérolntieiii entier* d« la'
Or /par la théorie des fonctions elliptiques, on a (^)y
on aura donc
aK r 4 „. . 3 „, M 8(a — e') „, ,-1
et en substituant ces valeurs dans les formules (8), on trouvera
Ces deux exemples suffiront pour montrer comrnenty en étendant la même analyse au cas plus général où la loi de la résistance est exprimée par une formule de la forme
P= A+ - + ;3 +- +etc.,
on ramènerait la détermination des variations des élémens de l'orbite de m au calcul des fonctions ellip* tiques.
(*) Traité des Fonctions elliptiques, tome I*', page a56.
