CHAPITRE VI
Perturbations des mouvemens des planètes dues à la
non-sphéricité du Soleil.
fjQiJizji^ la théorie des perturbations planétaires, nous avons regardé les corps célestes comme par* faitement sphériques; mais ils s'écartent tous plus du moins dé cette figure, en vertu de leur mouvement de rotation, qui a du influer sur la disposition de leurs molécules supposées originairement fluides. Il en résulte dans les mouvemens des planètes autour du Soleil et dans les mouvemens des isatellités autour de leurs ' planètes respectives des inégalités dépendantes dé lelliplicité du Soleil et de la non-spbéricité des planètes principales. Nous ne considérerons ici que les premières inégalités, les autres trouveront leur place lorsque nous nous occuperons de la théorie des satellites.
Si Ton nomme h l'ellipticité d'un sphéroïde dont la masse est M et qui difiere'peu de la sphère, q le rapport de la force centrifuge à la pesanteur à son équateur , 6 la déclinaison de la planète m relative à ce plan , et r son rayon vecteur compté du centre
de gravite du sphéroïde , on aura , n* 56 , livre ÏY ,
V=^^ + ^(i,-*)(cos-»-i>
En nommant V la fonction dont les difféi^nces partielles prises avec un signe contraire , ont la pro-s priété de représenter les attractions qu'exeix:e le sphéroïde M sur la planète m.
Supposons que ce sphéroïde soit le Soleil. Le premier teiTfne de Texpression précédente est celui qui se rapporte au mouvement elliptique et au cas où l'on regarde la masse du Soleil comme réunie à son centre de gravité. En faisant donc M=i, et en observant que l'expression précédente de V suppose que Ton prend pour unité le rayon moyen du sphéroïde , on voit que Tellipticité du Soleil ajoutera à lexprqssion de la fonction perturbatrice R^ la quantité
h étant Fellipticité du Soleil , D son demi-<liamètrey q le rapport de la force centrifuge à la pesanteur à Féquateur solaire ^ et â la déclinaison de la planète relative à cet équateur^ en sorte que si l'on nomme y l'inclinaison du plan de l'orbite sur Féquateur solaire^ et 4 1^ longitude de leur commune intersection , qu'on désigne par v la longitude de la planète comptée sur le plan de son orbite 9. on aura.
cosâsssio y sîn {u — 4 )> et par conséquent
3 10 THÉ(HII£ ANALYTIQUE
Nous supposerons très petite Fiiiclmaison du plan de l'orbite de la planète a l'équateur solaire ^ ce qui permettra de négliger le$ quantités de l'ordre >*. En £sdsant de plus peur abréger
on aura
k désignant un coefficient constant dépendant de l'aplatissement dur Soleil.
Les formules de la variation des élémens enip-* tiques, en négligeant l'excentricité de l'orbite » donnent
rfe = — andt f-^j , dcùz=: andt(^\ En différentiant l'expression de R , on trouve
dK dK dB. dRdr da dr ' H ' de dr de"^
k dr
dR dBi dr k dr
dêf dr dt» r^ dm '
Par les formules du mouvement elliptique on a.
r=£ï[i + î^ — ec0B(»^H-'€— a)], d'où, l'on tire
3w THÉORIE AKAtYTHÎUE
Si Ton substitue les valeurs précédentes dans cette expression et qu'on néglige tous les ternies périodiques^ on aura
/i' = — TSûg — a —Vf — ^-^ e co^(nt -1- € — 6?).
Si l'on veut donc que le moyen mouvement soit représenté par nt dans l'orbite troublé comme dans l'orbite elliptique, conformément à ce que nous avons dit v? 92, livre II, le premier terme de cette valeur doit être égal à zéro, ce qui donne pour déterminer
la constante g^ 5ag r= o > c* P^r conséquent
On aura donc ainsi
En différentiant de même par rapport sl J" ]» valeur de r , on a
En substituant pour cT^, «Te, et S'co , leurs valeurs y et négligeant les termes simplement périodiques , on aura
h* i k knt • / ^ , s
78. On voit donc que l'ellipticité du Soleil introduit des variations séculaires dans l'expression de la longitude et du rayon vecteur ; et ces inégalités ayant
pour divîsieùr le carré du demî-graïid axe de Toii^iië de m > elles seront d^antant plus sensibles que la plàr nète sera plus rapprochée du SoIeiL Par conséquent, si les variations précédentes jpoûvaient acquérir une valeur appréciable , c'est principalement dans le mouvement de Mercuirè que leur influence se ferait sentir. Supposons donc que M représente la masse de cette planète y et désignons par S celle du Soleil que nous * regarderons cpmxne un sphéroïde hon^Or* gène f on a dans ce cas hz=,^q; la valeur du coefficient k devient ainsi
q étant le rapport de la force centrifuge à la pesanteur à l'équateur solaire , et D le demi-^diamètre dé cet équateur. Or, si l'on nomme m la vitesse angulaire de rotation du Soleit , la force centrifuge sous l'équateur sera m'D, n' i6y livre I, et la pesan-
teur -=^. D'ailleurs , en nommant a' ,\e demi-grand
axe de l'orbe solaire , et n^t son mouvement dans Técliptique , on a, à très peu près, S = a'^n'*; on aura
donc
La durée de la rotation du Soleil , suivant les observations , est de 25^,417 ; la durée de la révolution sydérale de la Terre est de 365b56, les moyens mouvemens mt et rit sont réciproques à ces deux nom--
bres. On a donc
3i4 THÉORIE ANALTTIQDE
Le deminiiainètK da Soleil, chaerré dans sa moyenne
distance à la Terre , est de i&i',6, ce qui donne
ys=sin(i6'i",6).
Au moyen de ces valeurs on tronye
Iqg^ = 5,5306940,
et le mouyement da périhélie , qui est ^al à -; ^ devient ainsi égal à
|îsinV(i6'i",6).(4-).««.
On a d'ailleurs
a sas 0,38709813 j
» »II • • ITIH
n sa 55a54i6%79.
En substituant ces valeurs dans l'expression précédente , on trouve pour le mouvement du périhélie produit par Tellipticité du Soleil o"^o 1 2 1 o5 1 • • . . Cette valeur ne s'élèverait guère qvCk une seconde en cent ans y l'inégalité correspondante de l'époque serait double de celle-ci; ces variations sont donc à très peu près insensibles , et elles deviendraient plus petites encore si le Soleil au lieu d'être homogène est composé, comme tout porte à le croire , de couches dont la densité croit de la surface au centre. On pourra donc négliger l'efTet de l'ellipticité du Soleil sur le mouve-
DU SYSTÈME DIT MONDE. 3i5
Hient eh longitnde de Mercure, et k plus forte raison sur celui des planètes plus éloignas du Soleil. *
79. Considérons maintenant l'influence de la figure du Soleil sur la position de Torbite. Pour la déterminer , en praiant pour plan fixe celui de Téquateur solaire f et en changeant f en y^ et et en «s)/ dans les fermules (5) et (6) du n"* 4^ » lî^i*^ U f on aura
La valeur de R , en y conservant les termes de l'ordre >•, devient
^ = 5 ;3-{i — â sin'j'C»— 2cos2(4^ — 4 )]} ^
d'où l'on tire
sTSTrfT ^ T5 sm>sma(p-4 }.
Si Fou substitue ces valeurs dans les formules précédentes 9 et qu'on intègre en observant que nous, négligerons ici les excentricités , ce qui permet de faire rssE a et pss: nt H- è$ on aura
cTfl = i [12^— sin a(n< + € — 4)]^
k J^y = — sin5^cos3(n^ + ^ — 4^)]*
On voit par ces équations qu'en vertu de Fellipticité du Soleil ^ le nœud de l'orbite de la planète sur
3i6 THÉORIE ANALYTIQUE
l'équateur solaire est sujet à un mouyement rétrograde qui est égal au mouvement direct du périhélie, du moins tant qu'on néglige les quantités de l'ordre y*.
L'inclinaison au contraire , comme l'excentricité, n'est soumise qu'à des inégalités périodiques. Il suit de là que Tèllipticité du Soleil n ajoute rien aux équations (é) et (p) des n"' 65 et 69 du livre II , et qu'elle n'altère point , par conséquent, la stabilité du système du monde , ni l'invariabilité du plan que nous avons nommé plan invariable dans le n"" 79 du même livre.
La valeur de eTG introduit dans Texpression de la latitude s de m rapportée à l'équateur solaire la variation séculaire
crj = -~^ sin^ cos(wf+«-"4)-
Mais cette variation, comme celle du nœud de l'orbite , est insensible , d'après ce qu'on a vu pour Mercure , et à plus forte raison pour les autres planètes.
Il est clair que les formules précédentes s'appliqueraient également à la Lune , et donneraient les inégalités de son mouvement dues à la non sphéricité de la Terre ; ces formules feront connaître, en général, l'influence de la figure des planètes sur les mouvemens de leurs satellites.
3t8 THÉORIE ANALtTIQUE
X = rcosi', jr =? rsîni^, z = rs.
Soient a la latitude de l'étoile , et f sa longitude , on aura
a:' = r' cosCcosa, ^ = r'sinCcosa, issr'sina. La substitution de ces valeurs , donne
,f I r/[C0S«C08(»'-^+J8iD«]>
La distance des étoiles au Soleil étant très grande , relativement k celle des planètes , si l'on drtreloj^pe cette expression par rapport aux puissances descendantes de r'y et (fu'ou néglige celles qui seraient audessous de t'\ on trouvera
.R = -7 -r-75- {a — 3co»*«[i-f-co«a(i' — C)] — 6* sin ^mcoi{y — C)}^ (m)
^ étant une quantité très petite qui dépend de Faction des planètes sur m, et qui est de Tordre des forces perturbatrices , on peut la négliger lorsqu'on ne con» sidère que les variations des élémens de Torbite de m qui ne contiennent pas les différences de R relatives à cette quantité; on aura ainsi
Ri=:^ — -T^.[^--3cos*rt— 5cos-rtcos:î(i^— ff)].
/, ainsi que a et Qy dépènfdant des déplacettièus dé l'étoile y et ne v^risfnt par ^nséquent qu'avec une extrême lenteur^ on pourra les regarder comme des quautifés constantes^ pendant un grand nombre de siècles.
Par les formules du mouvement elliptique ^ on a
DU SYSTÈME DU HOime. 319
-= I -+■ - «*— e cos(/i«-Hé — a») e*cos3(n^-|-£ — a»),
p î= wf -)- ^ -f- ae sîn (/if + € — a>)+ 7 e* sin2(rU'^e — €»),
en n^ligeant les cnbes des excentricités , et dans la valeur de v, les termes dépendans du carre de s. De là il est facile de conclure
~= 1 -I— e'-aecos(n^4-^ — ^) — ^•cos3(7i^-|-^— «)
cos!2(i^-C)=(i '-4^)cos2(nt+€'-€)''2écos(nt+e+a'- aC)
+2e'co6 2(0) — Ç}+etc.
Si Ton substitue ces valeurs dans l'expression de R, en ne retenant que les termes indépendans du temps^ on trouvera
d'où en diflférentiant et en nommant, pour abréger, R^ y lé second terme de la valeur précédente, on tirera
a ^ = — aR,, ^= p3— cos'«sm!i(»— G),
— = ^^^[2— 3co$'« — 5cos'acos2(fi>— €)}.
Par les formules de la variation des élémens elliptiques , en négligeant les carrés de rezœnfericité de Forbite, on a, n* 4^^ livre II,
rfe = — - oediK — €Kndt {-jt)^
Lorsqu'on ne considère^ comme nous le faisons, que les variations séculaires , on peut supprimer le premier terme de la valeur de de , parce que Tintégrale fd'K ne produit que des inégalités périodiques et un terme constant. D'après les formules précédentes , on aura donc , en intégrant
d'e = — 7-73 — e cos^a sma [cù — Ç),
J'cû = — — jTr -" [3 — 3 co6*<t — 5 cos*a cos2 (^ — C)] .
L'excentricité de l'orbite pourra donc croître progressivement en vertu de l'action des étoiles, et le périhélie aura un mouvement séculaire rétrograde; mais comme le diviseur r'' qui entre dans les valeurs précédentes, est très considérable à cause de la distance des étoiles , il faudrait supposer à m\ qui re* présente leur masse, une valeur excessivement grande pour que ces variations pussent devenir sensibles.
81 . Considérons maintenant les variations séculaires du moyen mouvement et de l'époque. En observant
que la partie constante de la fonction -j- étant déjà
ihultipliée par e , là fonction e ^serait de l'ordre du
earré des excentrieiCeii^ quantités que nous, négligeons , on aura pour les déterminer . .
rfC = —^andtfd'K , rf€ == — 2à'ndt (^\
En nommant donC; com^me précédemment, g la constante ajoutée à l'intégrale /^ft; êt^n substituant
^^^ ^ d^ sa Valeur, ces formules donneront en intégrant
Ç t= — Zangty cTfi 5= — 4an/R,.
Oh aura donc pour l'expression de la longitude moyenne
fndt + JV s= nt{t ^ Zag ~ 4aRJ.
Pour que le moyen mouvement soit représenté par nt dans le mouvement elliptique et dans le mouvement troublé , il faut qu'on ait 3«g=: — 4^R ^ ou bien, en remettant pour R^ sa valeur et négligeant le carré des excentricités.
Swg' ==i -pr (^ -^ 3cos*a).
La variation du grand axe est donnée par 1 équation ^a = 2aYd^ = :^a^gi on aura donc
3/3 (^ "~ 5cos*a),
C == pr- (2 — 3cos*a).
Les valeurs précédentes de r et de i^, en les différentîant par rapport à la caractéristique «T, négligeant les carrés des excentricités, et en observant que la variation de la longitude moyenne est nulle par ce qui précède,. puisque nous ne nous oacqpons ici que des variations séculaires , donnent
^a= — cTecos {nt-jr^ — o^)— e«rosin(w^+€— û>),
S'v =2cresin {nt+e — co)'—2e<^ci cos (nt-^^ — co). Tome IIl. 21
THÉORIE ANALYTIQUE En substituant donc pour ^6 , et S'cDy leurs valeurs^
J^- = ^^^"^ (2 — 3 cos* et) e sin {nt ^ e — a>)
— * . /3 cos'flt 6sin(ni+ « — » — aC -f- 2»},
J*i/ = — 7-7J— (2 — 5 cos* «) e cos (/i^ •+• 6 — û>)
— — 7-7j^ cos**ecos(n* + «-^âi— ab + acÉ)).
Ces yalenrs s'accordent avec celles que Laplace a obtenues d une autre manière. ( Connaissance des Tems j pour 1 829.)
La variation du grand axe introduit dans l'expression de S'r un terme constant , mais il faut observer que la partie cTc cos (w^+é — û))+ecrû> sîn (n^+€— û>) produit aussi un terme semblable ; lorsque l'on conserve dans les vateurs de S^e et de eS'cù les termes dépendans des sinus et cosinus de Tanomalie 7i< + 6— û>, on trouve aisément que ce terme se
réduit à — — 75- (a — 5cos*«t). On aura ainsi pour
la partie constante de J^r, due a l'action des étoiks ^
V = 6;^(^ — 5cos»ct)^
82. Considérons maintenant les perturbations qui résultent de la même cause dans la position du plan de l'orbite. En nommant ^ l'inclinaison de ce plan mobile sur celui de son orbite primitive^ et 6 la longitude de son nœud ascendant^ on a
DU SYSTÈME DU MONDE. j^j
«ftp = — fîî^ {^\ M __ andf/dR\
L'expression (m) de R donne , en différentiant, '
df ds dp f Ti -- dF dï '*
j' étant le sinus de la latitude de»» éx^^àessas àa M nie- on a v^
« =s sin9sin(p ~, ^);
d'où Ton tire
~ = cos^ sin (P -. ô), I =, si„ ^ ^^^^ g^^ On a d'ailleurs
mIi, ont' a*
"iS = ~^^ sinaacos(^ — €)-, on aura donc
^— -^pr sin aa sm (p — B)cos(p — if),
^ ^"""475- Mn^sinaacosC»»-- fl)cos(p—ff).
En substituant ces valeurs dans les formules préoédentés, et en intégrant ensuite, en négligeant ]qi excentnatés, ce qui permet de supposer p^zzrU-4-6 on aura «^ >
, Sm'a» . ' r -
'* ~ "4?r"» "-["t cos (fl 0 + 2 ,in (ant + a, j f H^
.iii<^r8=--^ 6iiia« j^«,in(S - 0+ î w. (wt + ai - 8 - C)].
L'indinaifion de l'oAite m donc sujette à une varia.
ai..
Sa4 THÈOWE ANALYTIQUE
tion séculaire, et le nœud à un mouvement rétrograde sur le plan fixe ; c'est l'effet le plus sensible de l'action des étoUes sur le système planétaire , puisqu'on voit en effet que les expressions précédentes sont les seules parmi les variations séculaires résultant de cette cause, qui soient indépendantes de l'excentricité de l'orbite.
En différentiant, par rapport à «T, l'expression de la latitude, et négligeant les termes dépendans des excentricités et du carré des indinaisons, on a
jvj jv,p sin (n«+€— 9) — sin ÇcTÔ cos (n« + e — fl}.
£a n*ay«Bt donc égard qu'aux variations séculaires, en vertu des valeurs de /(? et sin ç«r6 , on aura
JN, ^ 3m'^ sinaasin (n< + « — C).
v" Cette variation séculaire du mouvement en latitude, surpasse, comme on voit, celles du mouvement en longitude et du rayon vecteur; elle sera d'autant plus sensible, que la moyenne distance de la planète au Soleil sera plus considérable, mais son diviseur est lui-même si grand, qu'il est évident qu elle ne saurait devenir appréciable qu'après un grand nombre de siècles. •
Supposons , par exemple , que m soit la Terre , d'après les suppositions les plus vraisemblables sur la* distance des étoiles, r' ne peut être au-dessous de loooooa, en faisant donc a = i et» =129697 7"35, la
^antité ^^j^ sera, moindre que o",ooooooooo97,
ainsi le terme précédent de la valeur de «T* n'excé-
DU &TSTÈME DU MONDE. i^i
dera pas
t désignant un nombre d'années juliennes^ ea sorte \ qu'il faudrait supposer aux étoiles une massQ. cei^ fois plus grande que celle du Solieil^. pour que ce terme pût s'élever à 10'' dans un. million d!aDnée;Si II en serait de même, à plus forte raison, relativement au rayon vecteur et à la longitude. On peut donc regarder, quant à présent y l'influence des étoiles, sur le mouvement des planètes, comme absolument insensible.
Concluons .donc que l'action des étoiles sur le système solaire introduit, à la vérité, des variations sé-^ culaires dans les excentricités et lès inclinaisons des orbites des planètes, et que comme ces inégalités ne satis^ font pas aux équations de condition (e) et(p), n^' 65 et 69, livre II, il s'ensuit que la stabilité du système planétaire n'existe plus relativement à cette cause perturbatrice. Mais à raison de l'extrême éloignement des. étoiles, les effets qui en résultent seront probablement toujours inappréciables , et dans tous les cas ils nés pourront se manifester que dansdes temps très éloignés.^
Nous ne terminerons pas cet article sans faire re-^marquer encore une fois combien la méthode de la variation des élémens elliptiques que nous avons employée dans ce chapitre et dans celui qui le précède est supérieure , pour traiter les questions du genre de celles que nous avons considérées , à l'intégration directe des équations du mouvement troublé. Nonseuleibent cette méthode donné, de la manière la
Hê THÉORIE ANiLLYTIQUE
plus simple 9 toutes les inégalités du mouTenent de la planète en longitude et en latitude^ mais elle a seule l'avantage dlndiquer clairement Finfluence de la force perturbatrice sur chacun des élémens de son Orbite , et d'offrir ainsi le moyen de remonter aiséfident des efietâ aux causes^ au milieu de toutes les influences diverses qui compliquent les mouvemens. planétaires.
4 ft .
SE
