CHAPITRE IX

Du plan invariable du système du monde^

85. Nous ayons nommé plan insfariable du système du monde , un plan qui a la propriété de rester toujours parallèle à lui-même , quels que soient les changemens qu'éprouvent les excentricités et les positions des orbites planétaires par TefTet des varia-^ lions séculaires. Nous avons démontré, n** 79 , livre II, rinvariabilité de ce plan, en ayant même égard au carré de la force perturbatrice, et l'on a pu voir,, n® 55 , qu'en efiet ce résultat se vérifie relativement aux inégalités séculaires des élémens des orbites de Jupiter et de Saturne , dépendantes des termes qui pl'oduisent les deux grandes inégalités de ces planètes. Nous ajouterons encore quelques mots aux considérations que nous avons présentées sur ce surjet dans difTérens endroits de cet ouvrage*

Considérons généralement un système de corps m , m!^ etc. , réagissant les uns sur Içs autres d'une manière quelconque , et qui ne sont soumis à l'action d'aucune force étrangère. En nommant dm l'un des élémens de ttz , et x, y, z , ses trois coordonnées rectangulaires rapportées au centre de gravité du sys--

terne , par la propriété de la conservation des aires ^ on aura^ n® aS, livre P';

•sp^^)''- == '»

^.S(^-^^^=^dm = f, (,)

Les intégrales S devant s'étendre à la niasse entière de 771^ et la caractéristique 2 comprenant toutes les intégrales semblables relatives à m!, ni\ etc.

Les trois constantes l^ ï^ Z% déterminent la position d'un plan que nous appellerons plan majcimum des aires, pour le distinguer de celui que nous avons, nommé plus spécialement plan invariable. En effets soit O l'inclinaison de ce plan sur celui des xy, et II la longitude de son nœud y on aura , n"* ^3 , livre P%

taDg^sinn=:7 y: tang^cosn== j.

Cela posé , soit Xy y y Zf les coordonnées du centre de gravité de mi et Ç*, >), 0^ les coordonnées de lelé-* ment ^m relatives k ce centre^^ on aura •

En substituant ces valeurs dans les équations (i), et observant que par la nature du centre de gravité les trois intégrales S . Ç't/m, S.ndmy S.^dm, ainsi que letirs différences relatives au temps t sont nulles

d'elles-mêmes, on trouvera

Ces valeurs se composent, comme on voit, de deux parties , l'une relative aux aires résultantes du mouvement de translation des corps m, m", etc., suppose's concentre's dans leur centre de gravité respectifs, la seconde aux aires que produisent leurs mouvemens de rotation autour de ces centres regardés comme des points fixes.

Si Ton rapporte les coordonnées des corps m, m', etc., à Tun d'entre eux M , pris pour centre des mouvemens , les premiers termes des trois équations précédentes coïncideront respectivement avec les premiers membres des équations (A), n® 77, livre II; et l'on doit remai'quer que les seconds termes de ces formules représentent ici ceux qu'introduirait dans ces mêmes équations la considération des termes de la fonction perturbatrice R dépendans de la figure du Soleil et des planètes. Ce n'est donc pas sans le savoir que dans la théorie du plan invariable , 11° 78, livré II, on a négligé les aires provenant de la rotation du Soleil et des planètes, cette omission 8 été volontaire, et l'on va voir qu^en eflFet elle est par* faitement justifiée.