dt ^ 1.2 d
On pourra ne considérer que la première puissance du temps dans ces formules tant que t ne dépassera pas 3oo , et Ton pourra rejeter toutes les
puissances supérieures à la seconde lorsque t sera moindre que 1200; on le fait même relativement aux observations les plus anciennes qui nous soient parvenues^ à cause de leur imperfection. /)" et ç" étant déterminés , on en déduira ^" et a" au moyen des équations précédentes ^ et Ton aura , par conséquent, la position de lecliptique vraie par rapport à l'écliptique fixe.
92. Ce que nous disons ici relativement aux quantités y et g" s'appliquerait également aux variations de l'excentricité et du périhélie de l'orbe terrestre^ et à celles des élémens des autres planètes. Les formules précédentes suffisent donc , comme on l'a dit n** 64 9 livre II , aux besoins actuels de TAstronomie ; mais les progrès futurs de cette science et le désir de compléter sur ce point la théorie y exigeaient qu'on déterminât les variations séculaires des élémens des orbes planétaires par des formules qui pussent embrasser à la fois les siècles passes et les siècles à venir. Pour cela , il fallait appliquer au système solaire les formules des n®' 64 et 69 du livre II, et nous avons vu que c'était en effet le seul moyen de résoudre d'une manière rigoureuse l'importante question de sa stabilité. Les masses des planètes et les élémens de leurs orbites sont aujourd'hui assez bien connus pour permettre celte application j mais les calculs qu'elle exige lorsque l'on considère à la fois les sept planètes principales sont d'une excessive longueur : M. Eugène Bouvard a bien voulu m^aidèr dans ce pénible travail, et voici les résultats auxquels je suis parvenu.
Au moyen des valeurs données n» go, et des^ formules (q) du n" 64 , livre II , on a formé le» sept ëquatiôiis suivantes :
(A- 5",5o39a)M +i",87oo9M'+ o^4aa9lM"■+o^oo88IM•^-o^t48l6M
-f- o*',oo39iM^-H>*,oooo5M^'= o,
pk— ir*,796oa)M' -f.o*,a8787M -t- 5^,71 i9oM''-ho",o5872M"'-+-o'',7a538M«^
-h o*',oi879M^-4-o*',oo6iàM*'= oj
(A--ia",9438i)M" -H)",o49iolVI+ 4",3o8o3M'-fo',aa933M*+i",68a8oM»^
+ o",o4î58M'^-fo",ooo5oM^'=o,
(A— i7",54i69)M*-H)",oo6a4M+ o\^6QS5W-^i%^^3'3M"'h5\'iHiiQ^'^x
-+. o",ia535M'-H)Voi45Mvi= o, ^^^^
(A— 7",489o5)M«^-4-o",ooooàM-h o^o6o7iM'+o",ooai8M''-H)*,ooii3M'
+ 4%8i546M^-4-o>353aM»'s.o,
(A^i8",49366)M.v Hho",oooooM4- o>ooo5M'-fo*',oooi4M"-ho*,oooo7M'
+1 i",8497oM''-ho",a3324iyi^'= o,
(A— a",3a246}M^'-H>",oooooM-f- o'',oooooM'+o",oooooM"-H)",oooooM'
+ o",3f26GM«^-H>'',83548M^=o.
On a éliminé de ces équations, par lès procédés ordinaires, les coefficiens indéterminés Mj W, M^', etc., et l'on est parvenu à l'équation du septième degré qui suit :
<iio6i53fc7 — <),36i88^« -f. 33,93319^'»— i6o5,3584oA4 + 40879, i4655A" »
— 558i86,4oooofc»-f- 3785601,78880^—9837518,88888 =s o. i (*)
On a résolu cette éiquation par les méttiodes d'approximation connues; et en nommant h ^9 h,, A,, etc., ses racines, on a trouvé
ho = 3",7o686, A4 = i8",4890o,
h, = 3^,26007, hs = 17,11532,
A. = 7^63095, he = i, 15404* A3 = 5,37920,
Au moyen des sept équations (a) , on peut exprimer chacune des indélermîâéés là > M', M^, ètfc. ,
ça fonction de Tune ^elconque d'entre elles et dq rinconnue h; il y a même une équation de plqs qu'il n'est nécessaire pour effectuer l'élimination , et Ton en profitera pour écarter celles de ces équations dont les coefficiens seraient trop petits; les valeurs des rapports cherchés devant être d^autant plus exactes, qu'ils résultent de plus grands nom^ bres. Mais ce qu'on doit surtout éviter , pour ne pas parvenir à des résultats entièrement fautifs, ce sont. les fractions dont les dénominateurs seraient peu différens de zéro. Il faudra donc diriger dans cette yue Félimination ; en substituant ensuite pour h les valeurs précédentes, on formera autant de systèmes différens de quantités M, M', M", etc. On a trouvé ainsi :
Mv M^'
a,3io46M'][
OjOiiggM*
-o,o835iM*
p,i776aM*
-7»fop?3M|^
6,87î|8iM*
— 0,oa5ioM.
— o,oa667M
hz
i9?..Ph3P^!I
;9,99oaoWl'J
^ «.SMgSvi*
■--qjiooaSjMj
-rO,o8^9Mj
o,î^iM*
— o,<)tK>46M"[
OyOïabSM -
— 0|Ooa58M'J
— o,o4âogMj
fts
o,oi348M
— o,ooj65M,
o,o9598Mj
o,75a8oM^
--6,^r\iiM*
ht
o,6ai44M'
o,70766Mg
a,6oa93M'^
Il ne s'agit donc phis^ que de déterminer les âëpt quantités M» , M",- etc. , et les sept ^ronstantes /,(^, , Z.,"elCk, que renfernvent le& valeurs complètes .de à, ^%ete.> CyC-, etc., iifté^^ JUvrelI.Poufccela^fonfe^élxient à ce jqpae nqi*s jMOns dit nuï»^^^^^ ai
Sgô THÉORIE ANALYTIQUE
calculé, d'après les ëlcmens des orbites planétaires rapportés n"" 90 , pour chacune des sept planètes principales les quantités
5 = e sin «, &' = e' sin m*^ etc., c r= e coi », c* -=> ef cos m', etc. ,
relatives à l'année j8oo^ que l'on a choisie pour époque. En supposant ensuite ^ = o dans les expressions de h ^ h\ etc., c, d y etc. , n* 64, livre II, après y avoir substitué ces valeurs , on a formé entre les quatorze inconnues Mo , M,, etc., Z», Z, , etc., quatorze équations, qui ont suffi pour les déterminer. On a trouvé ainsi :
0,018007, 0,009^10, M* =s — 0,017048, M = — o,ooo5o7, M == — 0,011343, M* = 0,074337, M^ = 0,000787,
/o = 390 9' 56% /, = 191.47.55, 1% Bs 3o.5o.35, /} s ao5.43.i3, /4 = a83.a3.i5, U = 69.27.22,
it = 127. i.4i<
Si l'on substitue maintenant à la place de MT, MT, etc. , leurs valeurs dans le tableau précédent, on aura celles des quantités Mo, M., etc., M'o> M', , etc. On trouve ainsi :
Mb =: 0,000110,
M. = 0,127782, Ms » — o,o55o94,
Ms = o,ooiooa,
M^ =: o,oi5558, M'^ = — 0,000769, M'^ = — 0,117171,
Me s «-* o,ooo458, M^ = OiOooSaa»^
o,oi5558, M' = o, 001636, M][ = — 0,094596,
m'' = 0,000029, m" c= — 0,000128, o,oo^>539y
Mr =
My = - 0,018988,
M^ = o,oa8838.
M^ = — o,oot333.
M^' =3 — o,ooo5i7.
o,oooo5i.
Mj' = — o,ooooS3,
Mj s= 0,055961,
My = — o,oa6io8.
Mr =
MJ =s o,ooi85S,
M^ ;ss o,o3aoS9.
On connaîtra ainsi les yalenrs de toutes les cons* tantes qui entrent dans les expression^ complètes des variables b, c, b', c\ etc. , et Ton pourra, par conséquent, déterminer les valeurs de ces quantités pour un temps quelconque.
U résulte donc de la suite d'opérations dont nous venons d'indiquer la marche , i*« que les racines dç l'équation {])) sont toutes réelles et inégales , a*, que les coefficiens Mo, M., M^, etc.^ sont tous de très petites quantités du même ordre que les excentricités , des orbites planétaires à Fépoque de 1 800 , conditions nécessaires et également indispensables, pour que les orbites de toutes les planètes ne fassent qu'osciller autour d'un étatïnoyen dellipticité qu'aucune d'elles ne saurait dépasser.
En effet , la première condition étant remplie , les sommes Mo+M,+M.-|- etc., de chacun des systèmes de quantités Mo, M, , M^,, etc., prises avec le même signe, sont des limites que les excentricités des orbites des planètes ne pourront jamais atteindre^ ^^% livre II; on aura donc dans tous les siècles :
39^: TBÉQ&IE ANALYTIQUE
e <o,M7ai6, e'<o, 146366, e"<o,ii5685, «*< 0,131189, c«^<o,t)6o709, €▼< 0,172037, «'■-< 0,107546.
Ces limites sont encore assez petites pour qu'on puisse assurer que les orbites de Mercure , Vénus , la Terre^ Mars, Jupiter, Saturne et Uranus, différeront peu dans les siècles futurs de leur forme actuelle , et demeureront toujours à très peu près circulaires comme elles le sont aujourdliui.
Si l'on compare les résultats précédens à ceux qu'avait obtenus . Lagrange {Mémoires de Berlin ^ 1782), en séparant l'ensemble de toutes les planètes en deux systèmes différens, l'un composé de Jupiter, Saturne et Uranus, l'autre de Mercure, Vénus, la Terre et Mars , ce qui facilite beaucoup les calculs, on verra que ces résultats s'accordent suffisamment bien entre eux , malgré les changemens qu'ont subis les masses planétaires employées par Lagrange; ce qui permet de croire que les corrections futures qu'on pourrait introduire clans les valeurs de ces masses, n'altéreront pas d\ine manière sensible les conclu^ siens auxquelles nous sonimes parvenus , et que les calculs précédens, comme nous l'avons dit n** 56, pouvaient seuls rendre rigoureuses.
Considérons maintenant les variations des inclinaisons et des nœuds. Les équations qui les déterminent étSLUt de même forme que celles qui se rapportent aux excentricités et aux inclinaisons, peuvent être traitées de la même manière. -
En supposant dans les équations (c) n** 69, livre H,
et en $ubstîmal:it à la plaçç 4e3 quaiitif^s re|^ése%Tt tées par [«, a!], [a, â'H, etÇf > î^urs valeurs i on 2^ formé d'abord les sept équations suivantes :
{§•+> 5*,5o39a)N - a^9io34N' —
{g-Ma%9438i)]S" — o*',io35iN -
te+i7"»54i69)N'^-o>i98oN ^
-^i4",59i3aN'^-
(fi'+ 7",489o5)N«^— o",oooa4N —
(^i8",49366)N' — o",oooo3N -
T- o%çoo33M* -
Os-r*- îî',3aa465N^TrTî o^aD<^ofl^< -
— o",oooo3N* —
6",86oiiN" o",i9836N^
o",4«898N' o",62974]Nv —
o",oo4o9N' — 7",367^IÎ^^
o^ooo481N' — i«",ia9x3N'TT-
: o%oopoi4N' -ft o",93i3iN»^-
o",oa798N* l o",ooiSSN'^) '
o^ioîoSN* )
— o"',oo474N^
o",*»98a31N* ï ^ o",oo77aN^» i ""^'
o",oi463N^^i 7 o",oo9i3]\'' 1 I
o",ie5ao]>î
o",ooio3TV o",38^aj5NT
i",3yo99TS
o",ooio3TV" V o'',oooP9]M" \
Ces équations feront connaître les rapports des constantes N, N', N'* etc., entre elles, et si Ton é!îxnine toutes ces quantités , on anra une équation fi-* nale qui ne contiendra que l'inconnue g.
Mais d'abord on doit observer que les facteurs numériques qui multiplient N dans la première des équations précédentes, N' dans la seconde, et ainsi dé suite , étant égaux respectivement à la sommé de tous les autres coeffîcieiîa de la même équation , on satisfera à ces équations en faisant toutes les cons-^ tantes N, N^, W* etc. /égales entre elles, de qui donne ^ = 0. Il suit de }h, par conséquent que Fune des racines de Féquâtion du septième degré qui résuftéra de l'élimination des quaiitltés N, N' etc. , étant égalé j^ zéro, cette équation doit nécessairement s'abaisser
au sixième degré. Ea suivant en effet les j^rocédés ordinaires , on est parvenu à l'équation suivante «
o,oii94é'* **- 2,83i79,ç« 4- a55,3o485^4 H- io955,a58i5jg' 1 ^ , .
-f- 330095,1841 5^* + aaa6i3i,9aai^+ 76796a8,8i3ai j ' ^ ^
En résolvant cette équation par les méthodes d*approximation^ on a trouvé pour g les six valeurs suivantes f
g = — 25^81967, g^ = — 7^o692l, g.= — 18,98127, g5 = — 4^88242 , gs = — i7,6o564, gtf = — ^,49896-
Comme ces valeurs , et par conséquent les racines de réquation (e) sont toutes réelles et inégales, il en résulte u? 69 , livre II , que les expressions des variables/7, p\ etc., q, q^, etc., seront composées d'une suite de sinus et de cosinus d'arcs différens; mais qu'elles ne contiendront ni exponentielles, ni arcs de cercle.
Si Ton substitue successivement à la place de g les six valeurs précédentes dans les formules {d) on formera six systèmes d'équatiohs au moyen desquelles on pourra déterminer les rapports des sept quantités N, N' etc., à l'une quelconque d'entre elles, relativement à chacune des valeurs de g qu'on aura choisie. Et comme cette détermination n'exige que six équations dans chaque système , on pourra choi^ sir celles qui doivent conduire aux résultats les plus exacts; on a trouvé ainsi :
