CHAPITRE XIII

Théorie de Mercure.

95. Les inégalités de Mercure indépendanles des excentricités et celles qui dépendent de leur première puissance 9 ont été calculées par les formules du n^84 du livre II, dans lesquelles on a substitué pour A^*"^, ^co^ A^*^, etc. , et leurs différences, leurs valeurs en fonction de b^? , b^? , bP , etc. Il en a été de même

pour les autres planètes. On a négligé les perturbations du rayon vecteur dont l'effet sur la longir tude géocentrique de la planète serait au-dessous d'une seconde. Quant à la limite qu'une inégalité du rayon vecteur doit atteindre pour produire une seconde sur la longitude géocentrique de Mercure , on la déterminera de la manière suivante :

Soit y cette longitude, r le rayon vecteur de la planète, et ç sa longitude vraie dans son orbite; soient r^' et t/', les mêmes quantités relatives à la Terre; si l'on considère le triangle compris entre Mercure^ la Terre et le Soleil, qu'on nomme f la ^ distance de Mercure à Ja Terre , et qu'on fasse

pz=za, on aura , aux quantités près de l'ordre du

4&<> THfiORIfi ANàLYTIQUB

carré des inclinaisons des orbites ,

f = r" V/i — na cos (/ — ^) + a*.

Si l'on diffërentie cette expression par rapport à la caractéïi$tî<]|ae ^y ^& ua feisant varier qu^ r daofi a^ on aura

Le même triangle donne

d'où , en diffôreiitiânt et en eubstitaant pour jo et df leurs valeurs , on tire

La valeur précédente de sin Y donne

COS V Cïs - ■ ' •

Ou bien, en mettant pour p sa valeur,

VOS V -«^M» mX» "V »ii >t !i4*«lli»JI 8fcJ^iif>TiÉ 1

|/ I — 2« COS (ir — i') + «■

szso^^sL •

Si Ton substitue cette valeur dans Teicpression de cTVcosV, on aura

jvwT . Ir sin Uf* — i')

le maximum de la fonction

i — a« cos {y — i') + «• correspond a .

VB HTfiTÈMË DU MOIiDE. 4<i

ce qui donne sin Çy" — t^) = ^. En substituant ^

ces valeurs dans kifomrCiDn précédente, on trouve que

fi6 maas^imum est «gai à-*' -. Opadotncdanscecas

ISi J'on suppose /Vssrfc i", et que ]M>ur r et /^ 4» |irenne les mo/ennes distances de Mercure et. de la Terre au Soleil^ ce qui donne /';=^ i et a^sso^ 3074:193 1 0:, on aura * r . ,

l)n pourra donc négliger les inégalités du rayon yecteur dont le cœfficientserait au-<lessousde 0,0000041 • .Quant aux inégalités du mouvement en Ipngitude et eu latitude^ nous négligerons. toutes celles dont Je coefficient serait au-^dessous d'un dixièine de se» coiide.

Inégalités de Mercurt infiépendarUes des çxtcntricités^^ .

(^ «^M«8n Whi3(;ir(^ nf -f- / -« t) r

-1- l» -t- /» ;. 5 o^i53aaa «in a(/i'«— /,« + ,•- ^ / j- r,-i.«lv^ i o*,576447 tin («'▼«— /!« + 1'^- •) )^

Inégalités dépendantes de la premîhre puissance des excen^

tricitës,

j— 3"^3ai4 un (Wx .^ /U ^ ^< -^ .^ --.àù

j. / , /v 1-— o*',376iaa sin (a/i7 — r 3«« + ai' — 3f + 41)

^ ^ -f- A*> ^ i'',6o768i «{ii (W< — ^nt -^ ^' ^ 4t -^ W) -f- o",a8o3o7 fin (4»'t — 3ii« + 4^ — 3i — •) -h o*, 168589 «in ( n't — 2/i« + •' — at -*- ») J

t* II -t-A* ; ^^ o^aa584î sin (3»*« — Mt + 3t'- ai — •)./

4ia THÉORIE ANALYTIQUE

Inégalités dépendantes des carrés et des produits des excei^

incités et des inclinaisons.

€es inégalités ont été calculées par les formules du n° 54» D'après les rapports qui existent entre les moyens mouvemens de Mercure^ Vénus et la Terre , les trois quantités S/i'— an, 5n — 71', et an — 4^, sont très peu considérables. Il faut donc avoir égard aux inégalités dépendantes des angles 5n7— -a/i/, Mt — nt et 2rU — 4^"t, On a trouvé ainsi r

^ C i*,6ii738sm(5A'/ — int -f- 5«'— 3t -|- 43oi8'3a*)ï

/i'— (I +|4} \<,«^56pg3^ •iii(3rt't — /it + 3i'— • 4- 4d«36'35'')/ 4-(i +/*'0..o%a437j5«iii(4n*'x — a»(-f-4i"— în4.4|0 ,i'4g").

Inégalités dépendantes des cubes et des produits de trws dimensions des excentricités et des inclinaisons des orbita.

Les seules inégalités sensibles dépendantes des troisièmes puissances des excentricités et des inclinai* sons, résultent de Faction de Vénus et de la Terre sur Mercure. La première est relative à l!angle nnt'-^Sn't, et a été calculée par les formules da n* 35; la seconde est relative à l'angle nt "--^ 4^'^t , et a été calculée par les formules du n* 43* On a trouve ainsi :

/^ =s (i ^ ^') 8V8764« ski (5/»'e — ant 4- 5i'— at 4- 3oM3'36')

Les inégalités de la latitude sont insensibles et au-dessous de un dixième de seconde; on peut donc se dispenser d'y avoir égard.

DU SYSTÈME DU MONDE. 4i3