f e'^A sin (5/1^^ — IçrCH + 5e^ — 46" + a>*' 4- cT

Cette inégalité est celle qui résulte de la variation de Texcentricité et du périhélie dépendante de Tanglé ^vlt — :xnt dans le terme | e*sin {pnt -f- 2€ — ioù) de l'équation du centre ^ xM" 56 ; en la réduisant en nombres^ d'après les valeurs précédentes , on aura celle-ci >

+ 9%70i6iosin {SnH'—^n^H'\-SC—ifi^^—l^fVS^').

Nous nous sommes contentés, dans le n^ 36, de considérer les variations des deux premiers termes de l'équation du centre, et nous avons supposé que les autres termes pouvaient être négligés. Pour por^ster plus loin l'approximation, considérons dans l'expression de la longitude vraie de Jupiter , en fonction de la longitude moyenne , le terme

-f- Il e'^ sin (^n^H -f- 36'^ — 5a>'').

En augmentant l'excentricité e'^ et la longitude â>'^ du périhélie de leurs variations J^e'^ et ^œ^^, il en résultera la fonction suivante,

£3 , f d^e" sin 5 (»' V + «."' - «") ) ,. .

4 1 — «'"«Tû*" sin 5 {n"t -f. «" — <»") . j ^"^

Si Toa ae considère dans «Te'* et (Tw** , que la partie

de leurs valeurs qui dépend de l'angle 5Ti't -r— a/i* V , on aura, u? 56,

e'Vû)'^=— jKsin(57»^^— 2»'^H-5ê^-r-26*'-r-û)'^+A),

en désignant, comme on Ta fait précédemment, par Ksin (5/iV — 5n'H + 5ê' — 5t'' + A) Knégalité du mouvement de Jupiter, qui dépend de l'angle 5/iV — 5/2'V. La fonction (b) devient donc ainsi,

^e*'*K sin {5nH — 5/î'V + 5fe^— Se'^-f- aa'^ + A) ;

ou bien , en substituant pour K et A leurs valeurs, ,3

Cette fonction réduite ei^ nombres donne

•4- o",6o744sin (5n'^^— 5nV+56"— 56^+ 55^56'22")î

en réunissant cette inégalité à la suivante ,

+ (i ^fi^) i",i57972 sin (5n'V — 5n^^H-5€"— 56^),

qi^e nous avons trouvée précédemment , et qui est indépei^dante des excentricités , on a celle-ci :

H- (i + /*▼) i'',687866 sin {Bn'H — 5/i^« 4- 5««^ — 5it H- la» n' 39"}.

Le mouvement en longitude renferme encore, n"* 55, l'inégalité suivante ,

■r ;== — ~ — ^HK8m(ionTf— 5«*v«-fioiV — 5f»^-4-A-f.B).

Ep réduisant en nombres cette fonotion au mpyen

<les Tâlenrs. précédentes de H^ K, A et B^ on trouve

3",78o78isin(iowV— 5/î'V-hioi^— Se"— 54*5o'35").

Le carré de la force perturbatrice peut encore introduire dans Texpression de la longitude de Jupiter et de Saturne, quelques autres inégalités qui peuvent devenir sensibles en vertu de la commensurabilité approchée de leurs moyens mouvemens ; ces inégalités sont en général très petites, mais comme les principales sont affectées des mêmes argumens que d'autres inégalités déjà calculées, elles pourront sajou ter à celles-ci sans compliquer les formules. On l les déterminera très simplement de la manière sui-

vante.

Nous avons vu, n» 85, livre II, que la première puissance des excentricités et des inclinaisons produit dans l'expression de J'v^", les inégalités suivantes,

+ e'^ G sin (/4- n'H + e'^ — co'^) , ; + e^H sin (/-f-n'V + g*^ — û)^),

' où Ton fait, pour abréger, i(ri't — /l'^^-f-é^ — e*^)z=zj^

Supposons maintenant que pour avoir égard aux inégalités dépendantes du carré de la force perturbatrice, on augmente dans ces deux fonctions les excentricités et les périhélies de Jupiter et de Saturne, de leurs variations, il en résultera dans J^c'^ les inégalités suivantes,

•+- ie^R •iii(/+ii'T£+t«^— «•▼) ■— e^im^n co» (/-f-n «▼«+•«▼-<»▼). f ^^'

Si dans les variations des excentricités et des périhé*

lies de Jupiter et de Saturne ^ on nV égard ^!auK termes dépendans de rallument de la grande inégalité f qui en fonneut la principale partie ^ on aura ^

S'e'^ = —A co&{SnH — m'H + 5€^ — 2€'' + ^) ^ ^.TjN^iT jisin (5n'^ — an* V + Sé^ — 2€'^ -f Ç).

Les deux premières inégalités (A) donneut ainst la suivante ,

«;sin(5/i^^— ?7i'V4^5r— 36''-^.lwî''^~6'H^

Nous ayons vu, v!" 58, que l'inégalité dépendante de Tangle BrCt — Zn^'^t avait pour expression • • . 2Â sin (5nV — Zn'H + 5€^— 56'^+ où'^'+C) ; en la représent£^nt donc par Ksin(5nV — 3n"H-5g'— 3€'^-f-A)^ l'inégalité précédente deviendra

— sin(5/i^^— :î/i'^^+ 5«^— 3g»^~/— w' V— g'^+A).

On démfQUtrerait de même que' si Ton désigue par K' sin (4/1^^ — 2/1' V + 4g^— 2g*' + A') , l'in^alité de la longitude de Saturne qui dépend de Tangle ^li't •^— 2rûHy le trcmième et le quatrième terme de la fonction (A) produiront dans l'expression de cT^'^, l'inégalité suivante ,

sin {^nn — a/i*n + 5fV ~ a««v ^f^n^^t ^ •»»-+. A')- (B)

Cela posé, considérons les principales inégalités du mouvement de Jupiter en longitude. Les plus considérables parmi celles qui dépendent cb$: simples, excentricités sont les quatre suivantes ,

--i5a",596oosin(2nV— «"«4-21'— •"—»")

-— 42",6o448sin(5/îV— 2»'V+5«'--2f"— a»") '' ^^' H- 81", i4470siiï(5wV— 2/i'''<-f-3f'— 2»"— û»').

Si Ton donne à la première de ces inégalités, cette forme

r- ^^^'^^'^ e.»sin (2»V — /i'y«+ 2i'' — 8'» — <?"),

çt qu'on la compare ensuite à celle-ci

. + ç'tG sin (/+ n'H + «▼ — a»"»), on aura

G=— i?H^î^, /=2nV-2n'r/+ae'~2f^

L'inégalité de JV"' dépendante de l'angle 5n'^— 5»*'<, est égale à

r-i6i% i4957sin(5»'^— 3/i»^^+5«^~5f ''— 58^1 1'34");

ce qui donne

K = ^ 161^14957, A = ^58*ii'54%-

on aura dqnc dans cTt^'^ l'inégalité ^^

ï3a%596oo ,g,* ,^^^ sj^ (3^^^ - ««n + 3iT — .«r - 58^ 1 1< 34*).

Pe même;^ si l'on met la troisièpoie des inégalité (o), 30US la fpnne ,

- 4£i^ e-- sin (3/iV ~ w'^?+ 3f- :ir- c?");

«a la combinant avec l'inégalité

— 161", i4957sin(5w^^-5/i'V+5i^— 56'»--58*i i'54'%

on aura la suivante

., . i6i", 14987 sîn(37i^« + ai^—58*n'54').

On verra , dans la théorie de Saturne^ que le mou<<* vement de cette planète est assujetti à l'inégalité^

r-652",5866osin(a/2»'^<-4n'^4-26*'-4r+59^54'4').(m)

Nous avons représe^té par — K' sîn (an* V ^ — 4^H + 3g'^— 4^^ — A') cette inégalité, ce qui donne

La seconde des inégalités (o) dépendant de Fexcentricité de Saturne peut prendre cette forme,

S4%ioi9o^^^.^ ^^^^^ ^ ^,^^ ^ ^^^ ^ ^,^ ^^^ ^ ce qui donne

l'inégalité (B) dçvient ainsi,

— ^^"''^J^ .65a',5866o tin (ii«n — 3/in + iit — 3«t 4. 590 34' 4").

I^nfin, la quatrième des inégalités (o) peut s'écrire ainsi.

^^^^21^32 e^ sin (5n'r~ an'V + 5e ^ 2^ — a^) ;

et combinée avec l'inégalité {m) ^ elle ftonnerai celleHri ,

+ Ëlld^TS .652",5866o sin (anH -f- at'— 59'54'4').

Si dans les fonctions précédentes on substitue pour e*^ et é^ leurs valeurs relatives à i8oO| on verra qu'il en résulte dans J^p'^ les quatre inégalités sob vantes ,

i",07547sin (5nV-- n'V + 5f'— i'^— 58*i i'54"), • + o^57658sin {an't -f ae^ — 58«i i'54'O , + i",59957sîn {Zn^t — 7i'V+ Se^ — 6*^— 59*54'4"), + 2'',286o7sin {atiH + 2«^ — 59*34'4'').

Ces inégalités réunies aux suivantes , que nous avons trouvées précédemment et qui dépendent dea cariés des excentricités ,

(1+/*^) ^ 5^,3363*Ô8H« (iwTt •ha*» 4 i5» 56' ii4*), i

donnent celles-ci ,

/ ^ T^ ^ 9^49947 "n (3nn - ««^t 4- 3,t -. ,.t + 69-45' i") ) ^i-h /* ; ^ 5*,44i9ioHn (a/ïV«-#. at^ + 430 55' 9*). f

Considérons maintenant les inégalités du rayon vecteur de Jupiter. On a vu n^ 58, que les termes dépendans du cube des excentricités ajoutaient à son expression la quantité

__ 4m^n"^aw» p gin (5^»^ — are"< + 5e'— 3«") j 5/»'— an" t-f P' cos (5»'<— an"<H-5«' -- 3«") » — eh cos (5ii»< — an"t + 5e" — 2«' — »" •+• «Jl^) + eA cos (5nV — 4n"< 4- 5«' — 4e" + o" 4- «f)-

Cette fonction réduite en nombres donne les deux inégalitës suivantes^

• ^. . I — o,oooîi9i707 coi (Sn^t— aii«n+5f^— it'^— r 9» 3a' 43*) î — v'"^''^ 4-f-o,oooo967593cof(5jin-H(»«v+5i^— 4t'^— 69»i4'47^,|

Inégalités du mouvement de Jupiter en latitude..

I o X • Par les formules du m gS du livre II, on trouve

en désignant par 11'^ la longitude du nœud ascendant de Forbite de Saturne sur celle de Jupiter.

Il résulte du n"" 40 / ^^ l^s termes dépendans des produits de trois dimensions des excentricités et des indinaisons ajoutent à l'expression de la latitude de Jupiter la quantité

aa'T/i'v f ^T^NO) sin {5nn — 3n»n -f. 5t^ — 3i«^ — n — •▼) 1 5/iT — M'y \ + c»T>NW «in (5/»n — 3i»«n 4-5«* — 3»»t —n —•«?). j

En réduisant cette fonction en nombres, on trouve

J^J«^==:II'^598645sîn{3n''^-5?^V+56'^-5^-+-5o•i6^'0•

Les équations {/) du n"* 54 , en substituant pour J^p et J'q , leurs valeurs donnent les deux suivantes ,

J'<p'"sina»^H-(p*^cosa'^cra'^= >»]i^fl" jn^

J)p«"cosa'^— ^•'sina"Jk''=- ^V^^' n .

les quantités cTlI et cT^ étant déterminées par le même numéro. L'angle à^" dans ces équations est

46o THÉORIE ANALYTIQUE

comgté de l'iatersection commune des deux orbites; il faut doQÇ en retrancher l'angle n pour que cet angle soit compté de l'origine ordinaire des longi-< tudeSy n étant la longitude de l'intersection de l'orbite de rn^ sur l'orbite de m^^. Les deuiç é<}uations précédentes donneront ainsi,

/^«t = —-j: — .__ [/^co»(n— ««T)— y fn «in (n— ««▼)],

Si l'on substitue pour J'y et yjll leurs valeurs, n* 54, en n'ayant égard qu'aux variations séculaires, les coef-? ficiens du temps t dans ces expressions seront les parties que le carré de la force perturbatrice ajoute

aux valeurs de -^ , et •^. En réduisant les formules en nombres , on trouve la première égale à

et la seconde égale à

o",ooo8ii39.

En ajoutant ces quantité, la première aux valeurs de

-4- et -^— , la seconde aux valeurs de -A- et -—: 4t di ^ dt dt

du n* 91 f on aura

^ = — o",2îo876,

DtJ SYStÈMÈ DtJ MONDE. 461

CHÂPltRÉ XVIII.

Théorie de Saturne.

102. Les inégalités de Saturne sont plus sensibles encore que celles de Jupiter, ce sont les plus considérables du système planétaire. L'équation du maximum,

J^r»^ = — -^ (i — «•) JV'S

que nous avons trouvée, îi* loo, pour Jupiter, devient relativement à Saturne ,

Si l'on prend pour r'' et r" les moyennes distances de la Terre et de Saturne au Soleil, et qu'on suppose J'V^sifci^on aura

On pourra négliger par conséquent les inégalités du rayon vecteur dont les coefficiens seraient au-dessous de o,ooo44* Nous négligerons les inégalités du mouvement en longitude et en latitude qui seraient au-> dessous d'une seconde.

^JV"*

InégaUUs de Saturne, indépendantes des excentricités.

3",i95964 fin .— 3i» 887i5i tin 1— ^''yGfTgao lin ,— l'^yggoSoS sin 1— o*,7o5754 «m

— o'',a74i7i nn

— o",! 17744 »in

io',o66873 «in )— i5*,73iii8 sin I— i",553485 sin

— o',34a838 sin

3(ii»^f

7(ii«n

l|T| ^. gtr

«▼t -f. ilT «T| ^ ,»▼

«▼t H- •«▼ »▼* 4- •*▼ tift 4. •»▼ »▼« 4- %*"

/r^=.(i4-ft"^)

0,0039566930 oo82$570oo 0014011300

cos (»«▼« — nn 4- s'^ — s^) cos a(/i'n — nn 4- «'^ — s^)

Jnégalités dépendantes de la première puissance des excentricités.

r— 1 1'',637937 sin ( nf U 4- s'^ — a^) 4- i*,5i76o*o «n ( «'▼« 4- f »▼ — »«^)

— a*',o8747o sin \in*n -^ rft 4- at'^ — §▼ — •▼) 4- 2*,7iii4a sin (an«Tt — nU 4- at'v — §▼ — ««▼)] i— o*,l88i83 sîn (3n'^f — a/i^ 4- 3i'^ — «!▼ — »▼) l— é",a3638i sin (3n'^< — aiî^l 4- 3t«^ — at^ — •«') 1— (i 84", i4a338— /o*,© 1 02357)sin(a/i^*-»« ▼i4-3i^-t*^-«^)

4-(4a3",oi788o4-<o*,oi4o3o3)8in(aii^«-n«^«4-2i^-i'v-«")| 4-34",7o4748 sin (3/i^t — an'^f 4- 3«^ — at'^ — »▼) — i7",9o6457 wn (3«n -^ an»n 4- 3f^ — at«^ — •«▼) [4- 4",85aoi5 sin (4n^t — 3/i«'« 4- 4^' — 3f«^ — »▼) a",47oai3 sin (^nyt — 3/i»^« 4- 4»'^ — 3*'^ — »"]| j",4ia4ii sin (5/i^t — 4/i'^« 4- 5t^ — 4f«^ — •▼) |— o'',7i35i9 sm {5nn — 4««^« 4- St^ — 4t'^ — •»^)1 14. o\5i48i4 sin (6«v^ .— 5«»n 4.. 6^ -- 5i»» ^ •▼)

— o*,a6o"76 «ni (6n^< — 5n«'< -f* 6i^ — 5i»^ — •«▼) 4- o'',ai86o7 sîn (71m — 6a'n 4* ^t^ — 6s«^ — »▼)

— o'',io8875 sin (7/1 ▼« — 6»»»»C 4. ^i» •* $|iv ^ «av)

— i^oQQioS «n •^io%givjQi2S tin

L 3',oo53i3 sin I— i8'',4>io93 fia -f-37''f3379oo ftîn

- o*,6o8o43 sin |— 0*98^3774 •in f— o'yaoSgSS sin

— o*,73a493 »in '+' i*,654o77 «in ^4- o*,i 57021 un

3ii"t — 4nTt^ —

!»▼« — 3«^t — 4/iTt •—

•▼« — •▼«) »▼« 4- ar nn + a«v an^t 4- 3iv anH -h 3«^ 3«»« + 4tv 3/i^« + 4fT 4/»^t + 5i^

anv»«+ 3iT 3»^«£+ 4«^

3tT.

afTi.

3iV«.

Inégalités dépendantes des carrés des excentricités et des

inclinaisons des orbites.

En yertu du rapport qui existe entre les moyens mouvemens de Jupiter et de Saturne, a(7i^*^7i'^)-^an^ difiete peu de -~72; il faut donc y. n* 84 ^ considérer l'inégalité dépendante de langle nn^H^^/^H, Par la formule (A) du n^ cité, on a trouvé pour x8oo cette inégalité égale à

et pour aooo la même inégalité devient,

— 644^95344 jiin (w»«n — 4a^« -f- »*«▼ — 4i^ -K56» 1 1'83*) ;

d*oii l'on a conclu pour un temps quelconque,

^v s=3 — (1+ /»«▼) (65a%58669— » o^oSSiGS) tin (a/i'^t — 4/it« 4- a»'^— 4|T

Les autres inégalités du mouvemeQt de Saturne pendantes du carré des excentricités et des inclinai^ àons, ont été calculées par les formules du n"" 54; on a trouvé ainsi

464 THÉORIE AWALYTÏQUÈ

!—(55*,5i470 — t o^ooo36643) «în (ZnU — n'n + 3i^— •«▼ + 84-7'57--r3r,55) 4- a8*,888eo sin (»«▼« — n^'i 4- 1'^ — *^4- 83» 57'46') — a*,9744i »m (5/i^«f— 3/i«u-f- 5«^— 3i«»— Sg» la' 33* . f !i*,o9io48m(3n^'«— 3»^« -|-3i^«— 3t^— 66*55'a9*')) +(i-*-f*^';.|^3^j#gg3g^,in(3/»^'r— n^t +3i^'— •▼— 87»a8'7*). j

$n^ — 7i*^ étant une fort petite quantité , cette circonstance rend très sensible Tinégalité dépendante de Fangle 5îft -^^ /}' V. Cette inégalité a été calculée par les formules (A) du n* 34 ; comme sa période est très longue, elle devra pour plus d'exactitude être ajoutée au moyen mouvement de Saturne.

Si Ton réunit les inégalités dépendantes de ri^t-^n^^t et de Sn^^ — 3»*^^ avec les inégalités relatives aulc mêmes argumens et indépendantes des excentricités et des inclinaisons , on aura pour leur somme,

+ (i -4- A**0 a9*',39700 im ( n*n - «n + •«▼ — •▼ -f- 77° 45' olS") — (i -f- f*^") a^o%4I «tt (in^'t — inH H- 3i'» — 3§^ -f- 690 e' 19*).

on a ensuite , relativement au rayon vecteur ,

! -f-(o^ 01 479844— < 0,6000007337) co*(a»«^f«'4n^<'+at"''-4«^ + 59-^9--*63-.îi4) — o^ooii857tco8(3nvt — ««▼«+3«^ — •«♦— go^ia'Sa") — o,ooo5692i3cot( n«n— n^t -f- •«▼—•▼ -h 83« aô' 3îi'') .

En réunissant la dernière de ces inégalités à celle ()ui est relative au même argument et qui est indépendante des excentricités et des inclinaisons, on aura la suivante ,

(i+)x'^)o,oo762657 cos (n'^Z— 7iV+6*^— 6^— 4» 1 5'8")-

brande inégalité de Saturne, dépendante dit cube et des cinquièmes puissances des excentricités et des inclinaisons, ainsi que du carré de la force perturbatrice.

La partie principale de la grande inégalité de Saturne, est celle qui a pour diviseur la quantité (p^'' — ^«'^)* 7 et qui est dii troisième ordre, par rapport aux excentricités et aux inclinaisons, et du premier relativement à la force perturbatrice. Cette partie de la grande inégalité de Saturne est liée à là partie coiTespondante de la grande inégalité de Jupiter par réquation de condition,

En ne considérant donc que cette partie de la valeur de j^^'^ et en la multipliant par — —\/^^ oh aura relativement à Saturne >

— ( ïao'',79567— r i*',i075773+£« o",oooo489o)co8(5nn— a7i«vr-f.5jv 2,,y),

L'«xpression de la grande inégalité de Saturne > se compose de plusieurs autres parties. Elle renferme d'abord la fonction suivante,

5/i^ — M»v 1 dp

pour réduire cette fonction en nombres, il faut

d'abord calculer les quantités a- ^\ a^^ ^U^<^-^