Tome HI. • 5o
OQ a pour cela Téquatipa générale
d'où l'oa petit eonclure les valeurs des différences a7 -^-7- , a" -jY 9 etc. , celles des diâerences
a" . ^; , «*' -^-^ , etc. , étant connues. La valeur de
N^**^ doit être prise pour celle de N^*^, et rëciproquen).eut dans le n* 100. De l'équation précédente, oa déduit d'ailleurs les deux suivantes ;
au moyen de ces formules, on a trouvé pour 1800,
û'' ^v 5= — 0,001 a^oaSa,
é/P' a^» gjv == '-^ 0,004465564,
et pour ranpéf aooo,
dP
D'après ces valeurs , la fonction précédente était en 1800 é§^le à
-f- 49", 39049 sin (5i»'< — 3«"< + 56' — 2 8") — 1 5",496i 5 cos (5/iV — 3n'V -+■ 5^ — a*"),
«t en 90O& éfple à -
4- 48',' 27821 sin (5nV — 2/ï"< -f- Bt" — as") — i4",49567 cos (5nH — 3»"< H- 5i' — ai") ;
4'oii l'oa a conclu n pour un temps quelconque t,ïai valeur de cette même fonction égale à
(49",39o49-to",oo556i4)sii<5n'<-2Ji"<r|-5<'-2«") -< 1 3^,496 i 5+<o",oo49977)co8(5nV-an«"-h5«'-2«").
L'expression de la grande inégalité de Saturne, contient encore le terme
— i é'K sîn {^jft — ivTt -+- 5e' — 2g^'4. a' -f- S^') ,
en désignant par aA'sin {J^t — !m'^^-f-4^^ — ^^'^ '\^)f rinégalité de ^% dépendante de l'angle t^U^7n>^t ; d'après cela , en réduisant en nombres la cfoaclioa précédente, on trouve qu'en x8oo elle était égale à
7^66975 sin {^nH — 21»' V -f- hi' — j«"0 f 4- 4",68oi I cos {^rft — 1x0^ 1 4. Si' — â«'*);
et en ^ooo elle deviendra
7*, 14086 sin{5w'^ — %n'H -+- 5g' — 2«'') 4- 5", 1 5755 cos (Sb'^ — 2»"^ + 5e' — 2 6") ;
d'oà l'on cxmdut, pour un temps quelconque ^^.l'i* «Rallié,
(7'',66975-fo'^,oo26444)sîn(5n'<-2n'^/+5«'-2«*0# + (4'^e8oii+fo^oo22S7i)cos(5rt'/-2«'^/-f-5è'-!î«'^).
La partie de la grande in^lité de Satome dépen-
dante des cinquièmes puissances et des produits de cinq dimensions des excentricités et des indinaisons, peut se déduire de la partie correspondante de la grande inégalité de Jupîtef , en multipliant cèlIe-ci
'TO'^ l/a"
par * — ^ ^ .-- ; on trouve ainsi cette partie égale à
4- (îi6*,a5388 — t o'\ooiSè^'^6) sin {SnU — a/t«»« -h 5f* — ai»^), — (ao*,gi3o7 4- 1 o*,o6è6toi6) co« (5/in — a/i«v< 4- 5t^ ~ ai'^).
Quant à la partie sensible de la grande inégalité de Saturne , qui dépend du carré de la force perturba-^ trice , on la déteriiiinera par les formules du n"" 5j. En ne considérant que les termes de cet ordre ^ on a
le dernier terme de cette formule donne l'inégalité suivante,
a*, 1 7oao8iii(5/in— a/i«n4-5l^— ail » ▼)-fo*,à3 1 85 cos(5«^f— an» ▼t+S*^— a«»^) .'
Cette inégalité est la seule que fournisse la seconde partie de la formule précédente ; considérons donc
uniquement son premier terme ; on a , ^^^ 47 ^
et pour obtenir la valeur complète de J^v^, il faut combiner entre eux les différens tekmes de chacun des facteurs qui entrent dans la valeur de J'K, de manière que la somme ou la différence des argumens des termes que Ton a considérés, soit égale à 5/|V^ — an'^tf et que la somme des exposansdes excentricité et des inclinaisons dans ces termes ne dépasse
DU SYSTÈME BtJi M(»IDE. 469
lias trois.. Od a liMnpvé de cette maiiièiie les. résultats suivims.
Inégalité résultante de la double combinaison des argumens
.' SnH'^iàn^^t et ot
i3*»o3344MD(5nn->aii*vt4-5tT---af>v>fo^8i669coi(5it^t--vi'vt-f-5i''-at<^).
Inégalité résultante de la double combinaison des argumens
^ifV — un^^i et n^t,
— o",896a4«ii(5»^ie— aii«^£4-5t^— ai")— i*,3773ocoâ(5ii^£-in«n-#-5t'-af'^).
Inégalité résultante de la double combinaison des argumens
Zti't — M^'^t et iinU. ' '
i*,48333«in(5i»'/— a»'^ï+5i^— ii«»}4-3",o434oco«(5»T£— an'^t+Si^—ti»^).
Inégalité résultante de la combinaison des argumens -i o^J i\< , m^t-^mn^tet Zri^t,
o*,a209isin(5«^<— ^/l'^^z-f-Sf»— ^•«▼)4-o* ,a3748 cos(5>iti— aii«^£-f 5«^— a»«^) .
Inégalité résultante de la double combinaison des argumens :.' . inHr-n'U et2n't,'^X^f* '
Inégalité résultante de la double comoinaispn des argumens
3n^t — n^t et T.ri't — n*^t ,
3'',4G6o7iin(5»'«— an«v/-f-5i^— a»» v)— 4o">36a6o co8(5»»£— a>i«n4-5iv-at« v) .
Cette , inégalité a été calculée ep réduisant en nom* l>res les formules des n"" 60 et 61 • On sait que Laplace s'était contenté de déterminer cette partie dç la grande inégalité dépendante du carré de la force perturbatrice; mais outre qu'une erreur de signes rendait fiautif le résultat auquel il était parvenu ^ On voit qu'il avaita tort obligé plusieurs inégalités du m^me ordrç
470 THSORIE AMAIiTTK)l]E
que c^ies dont il aTait tenu compte i^ ef cfui doiyeirt conconrîr à former la partie de la grande isitégalité que nous considérons en ce moment.
Inégalité résultante de la comUmù$09t.par voie de soustrae^ tiofi des arsumens ^n^t — 4'*'^* et iin^t-^ 2n'^l,
•*-i6*/)6895hii(5«^£— a/i«^£+5«^— ai»^)-M%959i4co»(5/i^«-2/i«^f-4-5f^-af»T).
Inégalité résultante de la cçmfpinai^Off semblable des argu-
mens Gri't — 3/i"< et n't — n'^t,
Inégalité résultante de la combinaisiKi semblable des argth-
mens 'jn^'t — Sn'^'t et nn^t — 3n*^l,
*-o*,548o8sin(5/i't— a/i » ▼f+5f^-a*« ▼)-+-i ",«9603 coâ(5»^t— an•▼^4-5f ^-ai»^) ,
En réunissant les dix inégalités précédentes , on trouvera que leur scHuoie ^t égale à
Cette inégalité isenrapporte au tnoyen mouvement de Saturne; en rédvnjsant en ^ nombres les formules du n» 63, on trouve pour l'inégalité correspondante de la longitude de Tépoque „ ^.
— g(',8a477«n(5/i^/— a/1 « ▼r-f.S»^— at» ^)— 1 ^oaf>7oco»(5n^£-an « ▼<-h5t^-a#" *) .
£n réunissant cette inégalité à la précédente , on aura la valeur entière dé la partie que le carré dé la force perturbatrice ajoute à la grande inégalité de Saturne; on trouve ainsi que cette pattie est égale à
En rassemblant maintenant les diverses parties de la grande inégalité de Saturne , en aura pour ea valeur
totale >
if 5i|f f «.^/i > Vf I + (i84^657o4-n>c^a565+£*o^oooo48go)co8|7^"^^ i
Eu réduisant les deux termes de cette inégalité en un seul y par la méthode du n"" 5o , on aura
Cette grande inégalité , ainsi que celle dé Jupiter qui lui correspond; peut avoir encore besoin de correction , soit à cause de Tincertitude qui reste sur les masses de Saturne et de Jupiter , soit en vertu de quelques-^Uûes des inégalités dépendantes du carré de la force perturbatrice que nous avons négligées; mais ces corrections doivent être nécessai-* rement très légères; l'inégalité précédente , comme nous Tavons dit n"* 65, doit s'ajouter au moyen mouvement de Saturne.
Le carré de la force perturbatrice produit encore dans Fexpression de la longitude vraie le terme
auquel, pour en faciliter le calcul , on peut , comme dans la théorie de Jupiter, faire prendre la fat*nie,
-5- ^ -yzzz — sin ( double de rargament de la çrande
» w«T|/«'v inégalité),
H'sin(w'^« -SnH 4- 21»^ — 5«^— B') étant la grande
47» THÉCMUE ANALYTIQUE
inégalités de Saturne. En réduisant cette fonhule en pombres, elle donne Finégalité sniyante,
+39",76 1 56sin a (5nV— 2/i'^^+5«^— a6'^+5?38'5!2")-
Parmi lés inégalités du second ordre , l'expression de la longitude de Saturne , contient encore la suivante,
On a f par ce qui précède ,
en réduisant en nombres |1négaIIté précédente^ elle devient
8^,76570 sin (9»V — /^n'H + 96^ — 4f^~55^55'52^).
L^expression de la longitude de Saturne contient encore l'inégalité ,
^é^h' sin {^nH — an'H + 3r — 21*^ + â>^ + J"'),
2A'sin(47^V— 2/i'^^+46^— 2€''+J')' ^^^^* Tinégalilé du mouvement en longitude de Saturne dépendante
de l'angle j^^t — 2n^^t. Celte inégalité , réduite en
nombres y était en 1800 égale à
45",8o584 sin (3/iT^— 2w'V 4- 3r— 2€'^+a9«34'i6'0, ^t en 2000 elle sera égale à
44", 76493 sin (3/lV— 271''^ + 5f^r-2€«^4T 5 1^52'52'%-
d'où l'on conclura pour un temps quelconque ,
Si dans l'expression de la longitude vraie de Saturne en fonction de la longitude moyenne , on considère le terme
fi e^» sin (5nH 4- 5r — 5a') ,
et qu'on y augmente rexcentricîté et la longitude du périhélie de leurs variations , on s^ura la fonction
il f.f «rc^sin5(nV + r— 0»') ) . . 4 ^ (— e^cTûf cos5(»^<-(-r — û)'). J ^^^
Si l'on ne considère dans Se" et J'cù" que la partie dépendante de Tangle 5nH — • 2n}H , on aura n^ 56 ,
:icre^=— K'cos(5/iV— 2n'V+ 56^— .2é'^— a>^-f-A^) , aeVa>'^ = — K' sin (5^v— aw' V+Spé*'— -<»^+ A'),
an désignant par — ^K'sin(a»''^ — ^4^*^^+^^*^ — 4^ — ^^)f l'inégalité du mouvement de Saturne^ dépendante de l'angle a/i'V — 4nV.
En substituant pour K' et Â^ leurs valeurs , on en conclura que la fonction (o) devient
— l| «v« 65a",5866 «in (in^H — 2«t/ -f ^t'y — ai». -, aa^ + Sq** 34' 4"). o
Cette quantité , réduite en nombres, est égale k — 4",209a sin (aw'f^— an'H-a*"— 2«'— 1 18''42'36") j en la réunissant à Tii^égaUté — . (, -f. (t*'') 3 i",887i5i sin a (n"< — ri't+ «" — «') ,
que nous avons trouvée précédemment^ et qui dépend des simples excentricités , on aura la suivante ,
G>ii8idérons les inégalités do secoifd ordr^ , i^ul^ tantes de la variation des excentricités et des périhélies dans les termes de Texpression de la longitude vraie y qui dépendent ôt la première puissance des forces perturbatrices. Elles sont beaucoup plus sensibles que les inégalités correspondantes de Jupiter. L'expression de J^i^^ contient les deux inégalités sui-
e^G' siû (f^^nH^i'-^ai') + e*^H' sîn (/ + ri't + e^ — a»*^) ,
en supposant y fts;i(/i^^ — n"**f- #' — 9'^)- Si Ton augmente dans ces deux fonctions les excentricités et les périhélies de leurs variations J^e'', J^cj^, J^e'^^cTo»", on démontrera comme dans le m loo, qu'il en ré^ sultera les inégalités suivantes ,
— — sln(5/i^«— a/i'V+5r— 3«''— /— »'^— g^4-A'),
