CHAPITRE XXI
Supplément à la théorie de Jupiter et de Saturne.
lOQf La n^éthpde que paiçs ayons $uiyie jd/^^s Iç^ chapitres prëcédens , pour déterminer les î^^galitë^ des planètes jésultant de leur action mutuelle^ et qui est fondée sur le développement de la fonction perturbatrice ^u fiérji^ ordoniié^ par rapport 9J^k puissances et aux pro4uits des excentricités et des inclinaisons a, relativement au système des sept planètes principales ^ tcmte inexactitude nécessaire lorsque T/Oii a soin de n'omettre aucune des inégalités qui peiky/èn^ devenir sensibles. Cependant nous avons indiqué^ n® ^5 9 comment on pouvait déterminer les coefficîens du développement en série de la fonction perturbatrice par le moyen des quadratures, et cette méthode donne toutes les inégalités d'une planète relatives à un même argument, indépendamment de la grandeur des excentricités et des inclinaison^ , ce qui est un avantage précieux, parce que la méthode des développemens en série laisse toujours la crainte que quelqu'une des inégalités dépendantes des puissances supérieures à celles que l'on a considérées, ne devienne sensible. Nous allons donc ici
DP SYSTÈME DU tfOJïPJE. 491
Jupiter et Saturne sont celles dont les pcrjtqrli^jj^iis sont les plus considérables y nous ferons l'application de cette Hiethode à ia théorîe de ces deux planètes. Nous aurons ainsi un moyen de vérifier les résultats auxquels hqu^ somme» p^venus^lans les Qhapitres ^I et Vil, et cet exemple servira de direction aux calculateiurs qui voudraient déterminer de la mepie man nière les inégalités des autres planètes.
Si l'on Bomm^ , Gonmie dane le n^ ^5 ,^ et ^' les anomalies moyennes des deux planètes m eim\ en sorte qu'on ait
qu'en suppose la ibhctîop perto^bartricp R relative à l'action de ^^ sur ito , >djévelappée pat rapport a^x sinus eit saint cosimis pbcef anom^ilicfl^jBtqiie dausfcp déK<%peqie]it pn ne ixinsidère qaa les tirmif dé^ pendkns ide rargument de la ^nsside inég^ie ^^ oai nun
R = mit sin (5(p' — 2(p)+ 'w'K' ços (5(p' — 2^), étpoor déterminer K 'et Sf, on aura-
2flr J o J o
Les intégrales doubles devant s'étendre depuis f ===0 jusqu'à <pr=:i7r, et depuis -^'^rio jusque
Leis valeurs deices intégrales dépendront des quatre suivantes :
A = -^ r''*J''' R cos 2<p ces 5<p^d^dp\ 3 Π-^ r *' r " R ffltt a^ sln 5<pW(prfp^ X
air Jo J^o y ^j^
C =3 -i-r'^'^r^'Rsîn 2^ cos 5^^d(pd^' , D =5 '-^r^'' C^ R cos 2<p sin 5<p'd<pd<p'.
Four calculei" ces quatre quantités , on divisera Tintervalle compris entre les limites ^==0 et ^=:s27r, ou la circonféreùce entière^ en un nombre de parties assez grand pour que les quantités contenues sous le signe intégral ne varient pas trop rapidement^ et qu'elles ne passent pas trop fréquemment d'une va* leur positive à une valeur négative^ ce qui rendrait les quadratures inexactes; et ce nombre , cependant , sera assez restreint pour que les calculs ne deyien* nent pas trop pénibles. On a reconnu par quelques essais que^ dans le cas qui nous occupe, on satisferait à ces deux conditions et l'on obtiendrait un 4egré d'exactitude suffisant, en supposant par rapport à l'intégration relative à ^ la cirponférence ^viaiée en trente-deux parties , et en seize seulement par rapport. à rintégration relative à ^\
On fera donc successivement
.<p=5=o,^=ii*i5',(p =;^:2a*»5o',(p5=53«45',(p=45% etc.,
(p'=o,<p'=22^3o',(p'=:45* ,(p'=67'3o',<p'=9o^,etc..
et l'on calculera les valeurs de la fonction Rcorresponr dantes à ces diverses valeurs de ^ et de ^- prises.deux à deux. On aura ainsi 35 X 1 7 = 56i , quantités fondamentales à former; nous désignerons^ comme dans le n* ^5, par Ro,o, Ri,o> R..o, etc., Ro,„ R,,., R,,„ etc., ces quantités, en supposant ensuite, pour abréger,
a= 2(1 i'i5')= aa^So', a' = 5(23*3o') = i ia^3o', '
et en faisant
Po=^Ro,oCos o+R,,o co8«+R,,o cos^«...+ ^Rs.,o cos3a«, \
P;=:iRo,,COSO+R,,t COM+R,., COS2#...+ ^Rsa,, COS32«, > (»)
etc., J
on aura, pour déterminer la première des intégrales (i)j
et les intégrales B , C , D se calculeront par des formules semblables.
Il suffira donc de remplacer cos a , cos au, etc. , cosa^ cos 2af , etc. , par leurs valeurs dans les expressions précédentes, pour en déduire très aisément les quantités À, R, C, D, du moment que les valeurs numériques des fonctions Ro,o^ B.,^. , etc. , seront déterminées.
1 10. En ne considérant que l'action de m' sur m , on a
La première partie de cette expression est celle qui a le plus d'influence sur les grandes inégalités de
4§4 ÎHÉORIE ANALYTIQUE
Jupiter €% dd Ssrtttrtie , et dans le^ chapitres XYII et XVIII , où liôas les ayons calculées^ nous li'alrons pas ett égarid aux termes dépëtidans dé Fàtigld 5h'f — 2/if, qui peuvent résulter de la seconde partie de la fonction précédente^ il faudra dotic également les négliger iei î ptliscjue nous ayons Tinteution de ùonlparer lés résultats des chapitres cités à ceux que nous allons obtenir. En nommant donc p , pour abréger^ la dis*' tance mutuelle des deux planètes m et m', Texpression def R deviendra simplement
et par le n* ^5^ pour déterminer f , on aura
ç = r* + r' — 2,rr' cos* ^y cos (v — v) — ar/sin' ^ cos (v' -j- v) .
Les angles v et v^ étant comptés de l'intersection commune des deux orbites^ en sorte qu'en nommant n la longitude du nœud ascendant de Torbite de m' sur Torbité de in, ou a v =ip — FI, et v^z=ç' — II.
Conformément à ce que noUs avons dit n"* aS, on commencera par déterminer , au moyen des tables planétaires , les valeurs du rajoh vecteur r et de la longitude v de Jupiter correspondante aux valeurs successives de l'anomalie moyenne ^ = o^ ^=i i**i5', (p==i22°3o', etc. On déterminera de la même manière les valeurs du rayon vecteur r' et de la longitude v' dé Saturne éorrespondantes aux valeurs de l'anomalie moyenne ^' = o , ^' = 22^5o', (p'= 45% etc. Dé tous les résultats ainsi obtenus cû formera un thUeâU.
DU SYSTÈME DU WONt)É. 4^
'On calculera les valeurs de p cdrf eispondaiitéâ kUk dîvei^es combinaisons différentes' qu'on peut former entre les valeurs de r et dé r\ de v et de i;' comprises dans ce tableau, en les prenant deux
à deux; en multipliant ensuite par mf la quantité i
qu'on en déduira, on aura leâ valeurs correspondantes et successives de R.
Il est clair que ce que nous venons de dire relativement à la fonction R s'appliquerait également à toute autre fonction dérivée dune manière quelconque de celle-ci. Ainsi , par exemple, par la différentiation de la valeur de R , on aura
dR / r* — 2rrco8'îycos(v — y) — r/sin*-^>cos(i;'+t;)
dK ' • rr sin v sin v'
dy ^ C
dR / • • 1 '^^ sïn{v'+v)
-;- = 2771 .Sm*i> -r ' .
On pourra donc calculer les valeurs de ces fonctions correspondantes aux diverses valeurs attribuées aux anomalies (p et ^', et en substituant ces résultats à la place des quantités que nous avons désignées par Ro,o> Ro,i> etc. , dans les formulés (2), où obtiendra, par dés procédés semblables à ceux indiqués plus haut , les valeurs numériques des divers coefBciens dû développement en série aes trois fonctions précédentes.
Enfin , on déterminera comme à Tordinaire les
termes correspondans de la fonction / -^ au moyen
de l'équation générale
On a d'ailleurs^ n* 4 »
1 1 1 . En effectuant^ d'après les tables de M. Bouvard et à Faide des valeurs rapportées n^ 88 , la suite des opérations que nous venons d'indiquer, on a trouvé, relativement à l'action réciproque de Jupiter et Sa-* tume, les résultats suivans :
a" ^ sss o,oo546a86 , à'* ^=— o,oo3o5 1 86.
Pour comparer ces valeurs à celles que l'on obtiendrait par les méthodes ordinaires d'approximation fondées sur la petitesse des excentricités et de l'inclinaison mutuelle des orbites de m'* et de ni', observons que ^ et ^' représentant les anomalies moyennes de ces deux planètes , on a
En supposant donc , comme dans le n"" 58 , on aura
K s=: m^P lin (V— af 4" 5»^ — »•'▼) -f m^Fcot (5f ▼ — a# -f- 5»^-- «#«▼),
OU Men en développant cette expression
R = m^jy co» (5»^ — îI»«t) — F siii (5«^ — a»»»)] sîn {V *- 9f) •+r mT XP sin (5«t — a^tT) 4» p co« (5*^ — a»*^}] cos (5/ — o^).
Si l'on compare cette fonction à l'expression R=:TO^Ksîn(5ç' — a^) + m'K' cos(5^' — 2^), que nous avons supposée au développement de R en séries de sinus et de. çostnus des ^tibïnalies moyennes ^ et ^', onaursl
>j -i îr «
a7K =flîPcos(5û»^— 2a>«')— a^P'sin(5«'-T-2rt?''), 1 a^K'==a^Psîn(5û>^— 2G?'^)4-a^P'cos(5û)^— 3fi>'^);» ^^
et il est évident qu'on aurait entre les quantités a'^j-^ •
des équations semblables.
Nous avons déterminé^ dans le n* lor, les valeurs des coefficiens des termes du développement de R relatifs à l'argument de la grande inégalité , qui dépendent du cube et de la cinquième puissance des excentricités et des inclinaisons , en réunissant ces différentes parties, qui doivent concourir à former les coefficiens que nous désignons ici par a^P et a7T?% on trouve
à'tzsi — o,oooo5g5577, a^F =50,0010199585.
On a d'ailleurs , d'après les valeurs rapportées n^ 88, 5û)^— 2û>'^ = 65®a6'a8". En substituant ces quantités dans les équations (5) , on aura
ToHE m. 3a
498 tHtmiE ANALTTIQim
Si VoB comptore ce» vilenrs des coeffidcns a'K et a*K' à celles qnW a obtenaes par la métliode des ipadratares , on verra qu'elles s'accordent entre elles d'une manière très satisfaisante.
Noos avons troavë , n" loi,
a"4?;=0,0O3333i3/ a"~ =:o,oq65o56i.
En multipliant ces valeurs par -^ := «, et en les
substituant à la fJace de a'f et de a*P' dans les équations (5), on en tire
(z"a'^-7;=— o,ooa5o584( a"a''g-^ = 0,00367500 ;
et au moyen des équations de condition
da" ' dà" '
on «n déduit ^
a" -^î^ 0,00544480, ^*-^ = — o,oo5o7777.
Ces valeurs, comparées à celles qu'on a obtenues par le cnoyeu des quadratures , paraîtront s'aoeorder suffisamment avec elles , surtout si l'on se rappelle que dans les D** loi et 103 nous n'avons, dans lesTo-
leurs de a'*j-r, , a ^t-t; , a' -p; , a' tt> considère que
les termes dépendans des cubes des excentricités et des inclinaisons.
DU SYSTÈME nu Hdlf DE. 49$
Af aînteifant ; si au - mojen dn aqintUMfi (S) on
€kprûbe l6s TalewH de â!£^ a^f ' eafoorotion des qnim*
tîtels ^^K^ ^z^KVét de mêine relativement à ^^ ^y > a^ ^^,0fc., iin trouvera »
ri
a^P = — 0,0000612864^ a^P'=o,ooi02a5845^
^"^Tt =0,00224621, «'• ^, = 0,00629075 ,
La grande inégalité de Jupiter renferme la partie suivante :
• ft «
(5n^— an»*)* ' l a^P cos (5/lV — 27^^^^— 56^— 2ê'') J
D'après les yal.çurs adoptées , n* 88, on trouve
iiva.
En rédiiisant am nombras b foneâonu précédente , elle déviant ainsi . ^
io84''.oi2sio (5«"if — a/i'74-3€"— 26"')
— 64",968 cos (5/2"^ — an'^t + Se" — 2g*^>.
En ne eonsidérant que cette partie de la grande inégalité , et en la calculai^t d'après les val^rsde à'P et de a^'V , n** i o 1 ^ on trouvera qu^elle est égale à
, I q89"?855 sin (Bii't — r 2»'7 + 5é' — 2€'0
— 55^2o4cos(5n"«— 2/2'"< + 5r — 2f'").
ffoo inÉORR ANALYTIQUE
Les dift^Dces sont dan» les limites qu'on pent supposer d'après les quantités négligées dans le cal-« cul , en considérant surtout que les élémens employés dans la construction des tables de M. Bouyard^ qui ont senri à déterminer les quantités a^Jf^ a^P^par les quadratures ^ différent de ceux que nous ayons adopt&.
La grande inégalité de Jupiter contient encore la partie
a^* -j-^ tin (5»^t — «««▼« + 5i^ — at'^) a»* ^j^ cot(5An — a««n 4. 5iv — «•«▼)
En la réduisant en nombres d'après les yaleuis précédentes de à^ ^^ , a"^ jtt > «* ^^ obsenrant
qu'on a
cette fonction deyient
— i6",5ao5 sin (5n^^— an^'^^+Sr — ^6"")
+ 5",8375cos(5/i^<— ^n'^^H-Sé"— aO-
Nous ayons trouyé par le déyeloppemeût en série ; n® ICI ,
— i6",55586sin(5ii"^— a/i*"^4-5s^— 3«"") + 6",o52g9 ^^5 (5'*''^ ~ 371'^^ + 5ê" — rxe") i
ce qui diffère peu de la yaleur précédente.
lia principale partie de la grande inégalité de Saturne est celle-ci x
DU SYSTÈME DU HONiœ. 5oi
(5/1»— an")* t— ûT cos(5/»'<— a/i"<+5i'— a<r). J Par les valeurs rapportées n* 88, on a
En réduisant en nombres la fonction précédente an moyen des valeurs de cCY et cCY données plus haut , on trouvera qu'il en résulte dans le mouve-? ment de Saturne les inégalités suivantes ;
— 2685",4545 sin {Sn:t — nrCH •+- 5e' — a«''), H- i6o",9470cos(5ii'^ — 2/1*"/+ S€ — %e%
En employant les valeurs de cCY et cCV^ calculées u^ loi^ on aurait trouvé
— 2678^5574 sin (5w7— 2/i'7+ 5«'— ai"') H- i56",4o7icos(5w'e— 2/i"V-f-5«'— 3^),
quantités qui diffèrent peu des précédentes.
Enfin, la grande inégalité de Saturne contient encore la partie suivante :
- sin (5nn — aii«n -♦• $•▼ — at»^) i
- coi (5»n — »»«▼« + 5i^ — at«v) I
Ona
En réduisant en nombres la fonction précédente ^
jp jp/
d>pirè$i les-yalôurs 4e-a''* ^ et O^ -^ <;alcujié^ par leb 4|iMdratnre$ , -on aura ■ > '■ \ ■ '
-f- 5a", 1 5a4 «w («n'^e r~ àn-"^* ;fT S»'' >-»: »♦") — x5",62a6 cos( 5/i'<— 2.n"« H- 5f — at").
Nous ayons trouvé pour la yaleui* de cette même iaé- - ' ft^ a 3^4961 5cos (5b'<»^ j»»y< 4t 5i'*f a^r) ;
qui dîflEere peu de la précédente. ^ »
Pour donnqr ija second e^u^p^-d^ l'emploi de la méthode des qupdrfitures au. développement de la fonction perturbatrice R, on a calculé de cette ma- ?4èt?# ,^t wi|^tiyei>i€nt k Y^ùon àe:^a\\^m. ?ar i\^ piter^ le premier terme de ce d^y^lappem^^t^. c*^Mr à-dire celui qui est indépendant du temps ; et en nommant F ce téràiéj on à tt^étrré'
iv .1 •• '• ■ "
En calculant le même ternîie dapî'ès' l'expressioti dbntiëé n* 18, et en employant les éïéiDbns q\i{ bnt servi à déterminer les valeurs pfééèidenteS, c'ést-à-iàire les.élémens des tables de BouvaiKl • on 9 trouvé
Ces valeurs^ comme on voit^ sont presque identique^.
L'accord dé$ rési^its^ obtepus par jd^ méthodes si différentes, dans l'une des parties les plus impor- UAtBs da la théorie idés inégalités -planétàims y imontre
DD SYSTÈME DU UBSOE. $a3
que la méthode des déyeloppemens ea séries Pvd<Uft^ nées par rapport aux puissances ascendantes des ex^ centricités et deâ inclinaisons^ lorsqu'on a soin de porter assez loin lès ^prçximations pour ne négliger aucune inégalité sensible ', suffit aux besoins actuels de l'Astropotaifl.
- 1 u. Xà liiélfaode des qoadr^tare^ ^ pQprtanr^goi utilité.:, c^'est k seulç qin'on puîssq employ^er dm^ Iç calcul dçs pe«;tur>ba(ions de^ comètes et des .petjte^ planètes ; et comme on vient de le voir dans la théorie des planètes principales elle peut encore servir à d'importantes vérifications. Il ne sera donc pas inutile 4e donner ici les formules qui Hip^s semblent les plus simples pour l'application de cette méthode à Itf dét6ra»ofitto detperturbations du rayon vectenr^ de lit tèngitude et dé ïa latitude. Ces-fonnules pour* rotit d^allleurs être employées en d'autres occasioDs. Pour cela, reprenons 1^9 trois équations do mou-* vement troubi^,, n* 87 , livre II :
IF "^.P" ~ dx >
Si 'Fon prend pour plan des xjr ^ celui de IW bije pripait^Vje de m , ce qui permet de négliger les
quantités ^ "5]^ 1 ^ "^ ? ^^^ ^ont du seopnd ordre ^
puisque zet R soni du premier ^ en combinant, entre elles les équations précédentes , on trouve aisemeiii
So4 THÉORIE, ANALTTIQDi;
les deux intégrales suiyaotes : :
xdz — zdx r j^^
Si l'on multiplie par j la première de ee& ëqùa«« tîôns^ qu'on en retranche la seconde multipliée «par or, ien o1)serYaiit que les coordonnées x et j^ se rappor** tant ici au mouvement elliptique ^ on a, n^ 20^
'~y^ — '^ Vi(*<*(* — •"?) , ou trouvera
Cela posé ^ on a pour déterminer les perturbations du rayon yecteur «Tr et de la latitude J's de la planète au-dessus de son orbite primitive, les deux équations suivantes , n^ 89 , livre II ,
Ces deux équations sont de même forme , et s'inté*greront par conséquent de la même manière. En effet , la première des équations précédentes se transforme dans la seconde, en y changeant «Tf ^n ^s,
rf'R+r-^- en -r-; d'où il suit que, pour
et afd'
dr dz
avoir J'r, il suffira de faire ce changement dans Fex^ pression finie de ^s. Or^ la seconde des équations (c) , n'est autre que la troisième des éqnaticHijs (a) , dans
DU SYSTÈME MJ JiOlfDE. fio5
laquelle ou a fait Z' .=^ rJ's ; en siâ>stîkiiattt donc pour z cette valeur dans l'équation (b) , on aura la valeur de rj's, et Ton en conclura immédiatement celle de la fonction rj^r.
• Si poiir abréger on feît ' ■ ,- -
z déviant être supposé égal à zéto , après la différentiatidn dans la valeur de P'.
En substituant pour x et jr leurs valeurs rtosi; et rsint;^ relatives au mouvement elliptique ^ on trouvera , k
* sin vfr cos vPdt — co« v /r sin vPdi /-* % cTr = i > y t-T-r=J ^ > W .
U nous reste à déterminer les perturbations du mouvement en longitude. On pouiyait les déduire de celles du rayon vecteur supposées connues, au moyen de la formule (6), n!^ 8g > livre II ,. ou plus simple-ment au moyen de Téquation du mouvement elliptique r^dvrsidts/ ijui{ I — ^)^ qui donne, n^î 45, livre II,
mais il vaut mieux les calculer par une formule directe. Pour cela , reprenons la formule {cC) du n* 85, livre II,
dans laquelle on suppose kz=^ v7m(i— e*)
9o6 SHÉORIE AVALTTIQUB
>I/éq«alién <âc l'ellipse donne '
• • ' . î • I . » • rrvTî * •> ^ t • ■ '^ i !L l W \t
en prenant le périhélie de ifi ff^Vi jl'priçfppidei'angle v. Au moyen de cpltte valeur à/fret de cell^ de J^r, on trouve aifléinent:;. ., ■ •'
En observant que Ton a , n^ 4 > :r "t" par te n? 45 , tivrc H jOn trouve
On a d'ailleurs
* , ' • . * f ..il f.i
ev'par les<foriinrie& du mbuy^tliâat ^Uiptiqne
K»;ittD g di-^»^ là».
, dt . r^ dr ^^^ erûnv -dr ' cArsinv
Auitiày^xi de Çiç$' Viafeui^ bn trôèVe ^ - ^
Si dansTexpression da /z^o^v ^Vib^U^ cette valeur et
celle de I —dv , on aura
BU SYSTËlfË DU IIOMOE. $07
)/rçp8iiPdï \ (C)
^tf(ï— tf»)
, Cette expression se réduit aisemept à une formé plus sijnple; en subst^Uant en effet a la jpiace de P sa valeur dans le dernier ternie • et en lé combinant ensuite avec les deux premiers , on trouve
+ / r • .1 K Tcosi
ecosv
i/tdt
. , ecosi;
En substituant pour r sa valeur dans, les expriessionâ dé ar et de S'Sy on voit q^u^elles se trouveront imniédiatemeiit ramenées à là même forme que là fonction pi'écédente.
Las t^:o^xfprmulç5 (A)^ (3)^<(C) douneroqt douç sous forme finie les perturbations du rayon vecteur^ de la longitude et de,^, latitude , ce qui pe^t être très utile dans la tbéorie des petites planètes bii ces perturbations ne peuvent être déterminées que p'àt 4eft>^a|dratttrès^^ à CTOde de là grandeur des excentricités*^ leurs <M^t6S. Les méhi€f$'â>tnmleâ^poai^ vaîetiC èttie eittip^ojrées aa|6J par k mehie raiâon dans la ihéc^riié des comètes, mais il esrf:{7jr^érable de «e
5o8 THÉORIE AI^ALTTIQUB servir alors des formules du livre m. Dans tons les cas y pour calculer par des quadratures les expressions précédentes^ on commencera par substituer pour dt'la valeur ■ ^ , et pour R sa
valeur en fonction des rayons vecteurs et des longitudes vraies des planètes troublées et de la planète perturbatrice. En nonimant y Finclinaison mutuelle des orbites de m et de m', et II la longitude de leur commune intersection comptée de la même origine que Tangle v, et en faisant V s= cos* -j y cos (v' — v) + sin* iy cùsfv^ -j^v — ail), on aura^ par le n* a5.
De cette expression on conclura par de simples dif-
férentiations , celles de ^R et de r ^ , et par suite les
valeurs des quantités que nous avons désignées par P et P' dans les formules précédentes. On pourra, par conséquent, calculer par la méthode des quadratures paraboliques , exposée n* 2i5 , les intégrales
fr^sinvVdv, fr^co&vPch ^ fr^&invP'dv , /r^cœvP'dv,
ainsi que les intégrales jr^Pdv , Jr^ -j- dv que ces
formules renferment.
Dans la théorie des planètes principales, la petitesse des excentricités et des inclinaisons mutuelles des orbites permet de développer leurs perturbations en séries convergentes, et c'est sans contredit la mé-
DtJ SYSTÈME DU MONDE. Sog
thode la plus simple que Ton puisse employer pour obtenir ces perturbations exprimées par des suites de sinus et de cosinus d'angles croissant proportionnellement au temps, et en former des tables qui peuvent seryir pour un temps indéfini. L'emploi des formules précédentes serait alors moins simple que celui des équations différentielles qui déterminent les trois yariables J^r, S'v et JV ; et c'est par cette raison que nous n'avons eu besoin que de ces équations dans la théorie des inégalités planétaires. Mais lorsqu'on veut déterminer les coefficiens du développement de la fonction perturbatrice et de ses différences par la méthode des intégrales définies^ ainsi que nous l'avons indiqué n® ^5, les formules précédentes sont, je crois , les plus cpmmodes que l'on puisse employer, dans ce cas, pour en conclure les valeurs de «Tr, S'v et <^^.
En effet , au moyen d'intégrales doubles on pourra toujours 9 comme on l'a vu n® ^5 ^ déterminer les coefficiens du développement en séries de sinus et de cosinus d'angles proportionnels au temps t , des fonc-
r^dt,et Ton développerait par conséquent, de la même manière, lesfonctions/rsinvPdjf, frco&vfdt, frsinvP'dt , frcosvP'dt. En substituant ensuite ces valeurs ainsi exprimées dans les formules (A) , (B) et (C) , et en mettant pour sini; et cos v leurs valectrs développées en série des sinus et cosinus des multiples de l'anomalie moyenne de la planète m, on aura les expressions des perturbations du rayon vecteur, de la longitude et de la latitude applicables
k uo t/^mpa ipdiifiûi » las plu» €xdct^ qmi la tliféotie
U ferait à dé$îrer quequ^lqftie oaiculateur^élé fit l'applicatioa de^ formulai pf^éc^d^ntea à U détermî^ imUoii de» pc^rtur]i>atioâ8 de tontas le^.grande^ ]^ nèteis* U en Tëstilterait la moyen le plus 9Ùr pour vétifier les inégalités déjà > calculées ^ par d'autres méibedes, et découvrir les inégalités sensibles 44i au»*- .rnient pu jusqu'ici échapper aux- investigations des géomètrésr M» Hansen, astronome attaché à ^obs6^ vatoire du Séeberg , a déjà essayé sur la théorie de Jupiter et de Saturne un travail Semblable;, mais le choix oialheurêuxdesvairiables qu'il a cru dévoie $ub&' tituer aux trois coordonnées JV» <^^, J's, ^néralen^ent adoptées par léi astronomes, des innovations analy<tiques dont les avantages ne rachètent pas la bisan^ rie, enfin, l'absence complète de clarté et de méthode, rendent ce travail à pe^ près inutile (^). J'invite donc les jeunes géomètres à reprendre cet objet soKs le point de vue que nous leur indiquions : peut-être nous sera-t il permis d'y revenir dân& la suite de cet ouvrage, mais nous allons, pour le moment , porter notre attention sur d'autres points de la théorie du système du monde, la déterimtâtion des inégalités plânétfiiiies « nous ayi^Mit àêjk entraîné liîeu audielà des limites cfue nouç nous étions pveaoritesi.
, (^ Foir k compte qée ^'eo ai rsnèiK dans la HmnaUsanùs 4e^ 7>m^ pour 1837.
DU STBTtME DD MdnDE. 6tï
hé^ocentriqueî de Jupiter e/t SaémHe*
M S« En rauQÎssant les difF(pr«ate6 in^galitéa takul^^y 4wr5 Ion chapitres Yl et YIl^ i>a a obtenu les ei^pr^^r sions des longitudes yraie&^ etdes' rayons T^ecteura 4^ Jnpiter el; de Saturne, les plusesactea que Fëtat fic- 4teeli de l'analyse permette d'espmr*' Dans W foffv AEUilea stiivaates^ t repr^eote nu «èmbre qu^lcoilr que d'années juliennes ou de 56Sf ^^ ^mftàs^.% partir de minuit le i" janvier 1800..
Soit, pour cette époque, :, ^.
n'-t H- 6*" = 8i*5a' i9",5 + t 3o%349984, ri't -^ é' s=s 125. 5.29,4 + t i2®,a3ii48, H'H 4- 4^" « i^.5o, t6>4-«^: f > 4^:ï^48ciO:,'
ces trois quantités représentant les longitudes moyennes d^ Jupiter, IBatume et llràtras , ceitipliées^ile Vé^ quinoxe fixe it^ i8oOv Ilataà ce$ expressions, nous If^ops substitua k ia^^^ace de%;nK>yens,rqQUïemens w*% n" et ri", rapportées n* 88 , leurs valeurs résultttfiiteii» d^s correcfi^ms iudiqiiées ^t^ les '^qudtiong dé jcbtidifî^ q«i 0àli seyyi à former Un tiQuveUes«tdil^ tleM^-Bouvatid. ■ ^ •.'.••• .. • >
û>'"= u* /36"+ t 6",685i22 — 1^0,0062^^, Cfsl* =: 89. 8.20 -f- i^ 1 9'',o55a44 4- ^'0,600162, ct^^= ^8.2545 + «3ffV58^^5or '• ' a'"is2 111.56. 7 + <5i'',52Ï3i.' ■
héè termes oonstans <iîns ces expreissiônisr sôht les
5iik THÉORIE ANALYTIQUE
longitudes des périhélies, et des nœuos de Jupiter et Saturne, comptées du même équinoxe que les longitudes moyennes n^^t -}- «'^ 9 ^^^ + ^^f et relatives à la même époque ; les termes proportionnels au temps t sont les variations sÀmlaires de ces longitudes déterminées n"* 91 et 101 • * Supposons maintenant que , pour abréger, on représente respectivement par p et p' les argumens des deux grandes inégalité de Jupiter et Saturne; en sorte qu'on ait
p = 5nJt — «««▼! -f- 5tv — ai'v -f- 3» 4o' Sg*— t 76^,3770 — 1« o*,ooi3630, ^rrSii^l — aii*^«-h5i^ — ai«v-f S'SS'aa*— « 7e*,598 — !• 0^001164,
et soit ensuite
A 3= (1 187",247— ^ o",o4845+<' o,ooooo:226)sin/i
— la", 2 1 854 sin 2p ,
A*s=— (29o6",66i — < o", 1 141 !+<• o,oooooo5a)sin/i'
+ 39'', 76 1 56 sin a// + 5o",894 sin(5/i^'«— /i^^4- Sé^'— €"— 87«28yOf
la quantité A représentant la grande inégalité de Jupiter ,. et la quantité A' celle de Saturne augmentée de l'inégalité à longue période dépend^^nte de f argument Sri'^t — n^t , et relative à Taetion d'Uranns sur Saturne.
Ces diverses inégalités doivent, d'après les n"" loi et loa, être ajoutées aux moyens mouvemens de Jupiter et Saturne, en faisant donc, pour abréger.
DU SYSTÈME DU' MONDE. 5iâ
On a vu, n** 65, que dans tous les argumens de Jupiter et de Saturne dans lesquels le coefficient du temps n'est pas 5ri^ — :i/z'% ou qui n'en diflerent-pas de n^"" pour Jupiter et de tï" pour Saturne , il faut augmenter les longitudes moyennes 7i*V-4-ê"', toV+ê' de. leurs grandes inégalités dépendantes de Tangle Sjï't — 271^" t. Il faudra donc substituer dans toutes les inégalités de Jupiter q eiq^k la place de zi'V+g" et de n^^ + ê% excepté dans la grande inégalité 'et dans la suivante :
loi'', 149 sin {3n'^t — SazV + 3g'^— 5g^+58^i 1' 34").
Si l'on veut , pour plus de régularité , employer également ç et ^' à la place de n^^'t + è*^ et de wV + É^ dans cette dernière inégalité, on lui donnera cette forme :
161", 149 sin ( 5q — 5q' — 3A + 5A' + 58M i' 34") ,
A et A' étant, par ce: qui précède, les deux grandes inégalités de Jupiter et de Saturne. En développant la quantité précédente, on aura
161", 149 sin (5q ~ 5q' — 58^ 1 1' 34")
En n'ayant égard dans les valeurs de A et A' qu'aux deux grandes inégalités de Jupiter et de Saturne , on a à très peu près
3A— 5A'=i8o95%o46sin (5/i^/-^2«^'<+5i^-^2e^^+3"39'45'^) ;
d'où l'on conclura
