CHAPITRE XXII

Formation des Tables astronomiques par la compa* raison des observations et de la théorie. Détermina^ tion du plan invariable. Conclusion de la théorie des inégalités planétaires,

II 4* Nous allons nous occuper ici de la construction des tables planétaires, et montrer comment, par le concours des observations et des formules de la théorie, on peut s élever, de siècle en siècle, à la connaissance plus exacte de tous les mouvemens célestes. Nous entrerons , à cet égard , dans quelques détails qui paraîtront peut-être superflus aux astronomes qui s'occupent spécialement de cet objet , mais qui nous semblent nécessaires pour montrer aux jeunes géomètres qui étudient la théorie du système du monde , et auxquels cet ouvrage est surtout destiné , combien la détermination théorique des inégalités séculaires eX périodiques des mouvemens planétaires, a d'influence sur les valeurs des élémens d'où dépendent les tables astronomiques , et combien il importe par conséquent de la perfectionner de plus en plus , pour donner à ces tables toute la précision que les observations comportent.

Dans rétat actuel de l'Astronomie, on doit re-

garder les masses des planètes et les ëlémens de leurs orbites comme à peu près connus , et ils n'ont besoin que de légères corrections qu'on déterminera à mesure que les bonnes observations se multiplieront. Les inégalités séculaires sont propres surtout à faire connaître les valeurs exactes des masses , et les coefficiens indéterminés que nous avons laissés subsister dans nos formules , et qui représentent les corrections dont les masses que nous avons adoptées sont encore susceptibles , seraient aisément déterminées ^ si l'on avait les valeurs précises de ces inégalités pour des époques fixées. Malheureusement les observations anciennes sont trop incorrectes , et les modernes trop rapprochées , pour qu'on puisse déterminer de celte manière les masses planétaires; et en attendant que les variations séculaires se soient par la suite des temps suffisamment développées , on est obligé d'employer , à leur défaut, les inégalités périodiques résultant d'un grand nombre d'observations, et de déterminer les corrections des masses comme celles des autres élémens du mouvement elliptique.

Pour cela, on réunira un grand nombre d'observations faites avec de bons înstrumens , par des observateurs habiles, et embrassant le plus grand intervalle qu'il se pourra. Chaque observation donnera la longitude et la latitude géocentriques de la planète pour une époque connue. On convertira d'abord cette longitude et cette latitude, corrigées de Taberration et de la nutation, en longitude et en latitude héliocentrique , c'est-à-dire vues du centre

DU SYSTÈME DU MOWDE. 5ft3

dû Soleil, par les formules connues, et Tôu effectuera les nuêmes opérations' sur toutes les observations dont on veut faire usage. Ensuite, au moyen dès t^lés |»:oyisoîres qui résultent des formules précédepitea, disposées comme on l'a yn n"" 107, on calcu-^ lera les longitudes et les latitudes correspondantes aux nsiêmes époques. Si ces tables étaient exactes et les observations d'une rigoureuse précision , les va^ leurs résultantes de l'observation et du calcul devraient, être identjk{uement les mêmes; les différences seront doue Terreur des tables, puisque l'on suppose que Ton peut compter sur les observations. En faisant, par conséquent, varier d'une très petite quantité cbacun des élémens de l'orbite elliptique , ainsi que les valeurs des masses perturbatrices , dans l'expression, de la longitude et de la latitude de la planète^ et en égalant les variations qui en résulteront aux différences entre les longitudes et les latitudes observées et calculées par les formules de la théorie , on aura autant d^équations de condition entre les corrections qu'on a fait subir aux élémenS elliptiques de la planète et aux masses perturbatrices. Comme ces équations seront toujours en beaucoup plus grand nombre que les inconnues qu'elles renferment , on les combinera entre elles par la méthode des moindres carrés, de manière à réduire leur nombre à celui des inconnties , et en les résolvant par les méjbodes ordinaires d'éUmitiation , on en déduira les valeurs^de ces quan^ tités. On[-aura ainsi le moyen le plus exact que l'on puisse employer, dans l'état de perfectionnement qu'a atteint l'Astronomie théorique et pratique, pour.

5î4 THÉORIE ANALYTIQUE

arriver, par des corrections successives, à la détermination exacte des masses et des élemens des orbes des planètes.

Soit donc Y^ la longitude hëliocentrique de m déduite de l'observation , et Y cette même longitude calculée par le moyen des formules précédentes , ou des tables provisoires qu'on en aura déduites , et soit cTY la variation de Y résultant des corrections de chacun des élémens qui entrent dans son expression , la comparaison des longitudes observées et calculées * donnera Y = Y' + erY, et par conséquent

Si Ton désigne par F, F'', etc. , les perturbations qu éprouve la planète m par l'action des planètes m'y rrHj etc. , en vertu des formules du' mouvement trou* blé, on aura

V==n^-f€+2esîn(n^4.6--û>)+m'F+m'T''+etc.,

en n'ayant égard , pour plus, de ' simplicité , qu'au premier terme de l'équation du centre, parce que les corrections qui résulteraient de la considération des autres termes, seraient absolument insensibles. De même,;on ne conservera dans P', P'', etc., que les inégalités affectées des coef&ciens les plus considérables.

Si l'on différentie par rapport à la caractéristique J^ cette expression , en faisant varier les constantes du niouve ment elliptique et les masses perturbatrices m', w'V etc., que pour abréger on fasse ps=s/ït+ g — û>, on aura

DU SYSTÈME DU MONDE. SaS

€i par conséquent , entre les variations tj'ny cTi, etc., on aura l'équation de condition suivante :

Chaque observation donnera une équation semblable, et la résolution de^ toutes ces équations combinées par la méthode des moindres carrés , fera connaître les valeurs des corrections indéterminées iit^ cTe, J'Cf ^cù , et celles des masses perturbatrices m\ m", etc.

Les observations de la latitude fourniront des équations semblables , qui serviront à corriger les deux autres élémens de l'orbe elliptique , cW-à-« dire ceux d'où dépend sa position dans l'espace. En effet , si Ton nomme ç l'inclinaison dé l'orbite de m à l'écliptique fixe, a la longitude de son nœud ascendant, et S le sinus de la latitude, on aura S=:sin^sin(y — e^); en différentiant par conséquent par rapport k(petka, on aura

cTS = J^^ cos <p sîn (V — a) — <Pa sin ^ cos(V— et).

Si donc on nomme S' le sinus de la latitude observée , et S le sinus de la latitude calculée par les formules du mouvement elliptique, on aura

J"^ costp sin (V — a) — J'a sin ^ cos (V — a)= S' — S,

et chaque observation de la latitude fournira une équation semblable. En appliquant; à ces équatiohà la méthode des moindres carrés, il sera facile d'en tirer les valeurs des corrections cT^ et «Ta, de ma-

5a6 THÉORIE ANALYTIQUE

nière à satisfaire le plus exactement possible à Ten^^ semble des observations.

Avec les élémens elliptiques et les masses perturbatrices ainsi corrigées , on construira de nouvelles tables du mouvement de la planète qui auront toute la précision que comportent les observations que l'on a employas. Chacune de celles qu'on fera dans la suite y comparée aux résultats de ces tables , fournira de nouvelles équations de condition que l'on ajoutera aux premières; et lorsque le temps aura permis d'en rassembler un assez grand nombre ^ en combinant entre elles les équations de condition , tant anciennes que modernes , on déterminera une seconde fois les corrections des masses et des élémens elliptiques avec lesquels on construira de nouvelles tables plus exactes que les premières. En con^ tinuant de la même manière , et en répétant cette opération à des intervalles de dix ou vingt ans , on parviendra^ par des approximations successives^ à donner aux tables astronomiques et aux élémens qui servent à les établir le plus haut degré de précision.

Cest dé cette manière qu'ont déjà été construites deux fois depuis trente ans , les tables de Jupiter, Saturne et Uranus , que l'on peut regarder, pour l'ordre et la clarté, cooome un modèle en ce genre. Ces tables, celles des deux premières planètes du moins, représentent avec un grand degré d'exactitude toutes les observations modernes. Cependant il est probable que l'on pourrait ajouter encore à leur précision , en rectifiant quelques parties de la grande

ou SYSTÈME DU MONDE. 527

inégalité de Jupiter et deSaturne, omises par Laplace^ ou qui ont été prises avec un signe contraire. Il se^ rait surtout à désirer^ comme je lai dit ^ qu'on reprit sous ce point de vue la discussion des équations de condition qu'a fournies la comparaison de la théorie et des observations ^ pour s'assurer si les corrections nouvelles qui en résulteront^ ne donneraient pas à la masse de Jupiter une valeur plus concordante avec celle qu'on a conclue des élongations de ses satel'* lites, d'après les observations les plus récentes^ et celle qui résulte des perturbations que cause cette planète dans les mouvemens de Cérès^ Junon et Vesta.

Les tables d'Uranus qui avaient ^ lors de leur formation y toute la précision de celles de Jupiter et de Saturne, ne représentent déjà plus^ dit*on ^ que très imparfaitement les observations actuelles^ si rapprochées cependant de cette époque. Il fautrattribuer sans doute ace que les observations faites avant que cet astre ne f&t rangé parmi les planètes, n'ont pu être employées dans la construction des tables, à cause de leur peu de précision , et que celles qui ont été faîtes depuis 1781 n'étaient pas encore alors assez nombreuses. On a cru aussi qu'il serait possible que cette planète , qui s'éloigne à de si grandes distances du Soleil , dans les espaces où nos meilleures lunettes ne peuvent la suivre, rencontrât quelque planète inconnue qui, causerait dans sa marche des perturbations sensibles. Mais ce sont là des suppositions qu'il ne sera permis de discuter qu^après un intervalle de temps assea considérable pour qu'on ait pu réunii!' un grand

nombre d'observations . et former de nouyelles tables de la planète. On s assurera alors si ces tables ^ phis exactes que les premières^ sont encore insuiEsantes pour représenter ses mouvemens*

II 5. Nous avons donné, dans le n' 7g, livre 11^ les formules qui déterminent la position du plan invariable du système du monde , c'est-à-dire du plan qui reste toujours parallèle à lui-même pendant toute la durée du mouvement , et nous avons indiqué Fusage qu'en pourraient faire les astronomes , pour reconnaître dans tous les siècles les déplacemens:de$ orbes planétaires , indépendamment des mouvemens propres des étoiles qui nous sont généralement inconnus. Si l'on nomme y l'inclinaison du plan invariable à l'écliptique fixe de 1800, et D la longitude de son nœud ascendant sur ce plan , on a , par/ le numéro cité,

. 2ml/a(i — e')8m^8in#i ")

tang>sinn == —' ^ ,/

„ 2ml/û(i — c*)8m^cos« l

tang > cos n = y -/ --^=^ >

^^ 2fn\/a(i — e')co«^ '

le signe 2 représentant la somme de tous les termes semblables relatifs aux planètes m', m% etc. En substituant pour chacune d'elles , dans ces formules , à la place de m, a, e,(peta, leurs valeurs données n*88^ ouf a trouvé

n = io5<^ 8' 45'',

En remplaçant ensuite e , ç et a par leurs valeurs

telatives à Fécliptique fixe^ calculées pour l'époque

de 2000 d'après les formules du n"* 91 , on a

trouvé

n == io5^ 8' 50'',

Ces valeurs s'écartent peu des précédentes ; les petites différences viennent sans doute des corrections dont peuvent encore avoir besoin les variations séculaires des excentricités et des nœuds des orbes planétaires. Il faut observer cependant que la différence entre les deux résultats est cinq fois plus grande sur la longitude du nœud que sur l'inclinaison , ce qui tient à ce que l'inclinaison y du. plan invariable sur l'écliptique étant peu considérable , les numérateurs des équations (i) sont tous deux de très petites quantités; en sorte que la valeur de tangll étant donnée par la formule

lang n = "^ ^ !z — ,

il en résulte nécessairement que de très petites différences dans les quantités Sm \/a{i — e*) sin ^sin^ e

Xm \/a{j — e* ) sin (pcosa^ peuvent en produire de considérables dans la valeur de tanglT , .et par suite dans celle de l'angle II. La même remarque s'applique dans la théorie des perturbations des planètes ^ et des comètes ^ aux formules qui donnent la position de l'orbite troublée par rapport à l'orbite primitive.

On doit donc regarder comme parfaitement éta- Tome III. 34

blie Id fixité du plan invariable. Cependant^ dsiùi un chapitre consacré; spécialement à montrer les se^ cours que la théorie peut fournir à l'Astronomie pratique y nous devons restreindre les idées peut-être exagérées que Ton pourrait se former de l'utilité de ce plan de direction constante , pour la détermina-* tion des mouvemens célestes. En effet ^ pour que la considération du plan invariable eût des avantages réels, il faudrait qu'on pût déduire, pour une épo^ que quelconque, des données fournies par Tobserva-^ tion, la position de Torbite de chaque planète rela-* tîvement à ce plan. Or, c'est ce qui n'a pas lieu; ainsi, par exemple, au moyen des équations (i), on détermine bien la position du plan invariable sur i'écliptique , à un instant donné ; mais pour en con-* dure réciproquement la position de I'écliptique rap-^ portée au même plan , et pouvoir la comparer k celle qu'avait cette même écliptique à une autre époque quelconque, il faudrait qu'il existât sur le plan in-* variable une droite fixe d'où les longitudes fussent comptées. En considérant alors le triangle sphérique compris entré la droite fixé , ta ligne des équinbxes et l'intersection de I'écliptique et du plan invariable, triangle dans lequel on connaîtrait l'angle y formé par lesf deux plans, le côté H oompris entre la ligne dds équidoite^ et leur -intersection commune, et le ààfté tomprig éntre^cette même ligne et la drpiiç fixe, on déterminerait à chaque époque l'indniaisoa de I'écliptique sur le plan invariable et la longitude dé ses nœuds par rapport à une origine fixe^ sa po* ^ition serait, par conséquent, entièrement détermi-

DU SYSTÈME DU MONM:. 53 i

néCf Nous avons vu ^ n* 32 , livre I , qu'en faisant abstractoin de toute attraction étrangère , et en n'ayant égard qu'à l'action mutuelle des corps qui le composent y le centre de gravité du système solaire était emporté dans l'espace d'un mouvement rectiligne et uniforme. M. Poisson a proposé d'adopter la projection sur le plan invariable de la droite que décrit ce centre , pour la ligne fire d'où les longitudes sont comptées. Et en effet , cette ligne et ce plan sont peut*étre les deux seules choses invariables que nous connaissions dans la nature. Mais pour réaliser cette idée, il faudrait que la direction du centre de gravité du système solaire fût dès à présent bien déterminée par l'observation ou par les données qui en résultent , et facile à retrouver à chacune des époques futures où l'on voudra faire usage du plan invariable; c'est ce qui n'a pas lieu et ce qu'on pourrait tout au plus espérer des progrès de la science ^ dans un avenir très éloigné.

Le plan invariable aujourd'hui peut donc faire connaitre simplement les variations d'inclinaisons des orbes planétaires sur ce plan ; mais quand bien même on arriverait à trouver une droite fixe qui pût servir à déterminer exactement les variations de leurs nœuds, toutes les difficultés ne seraient pas levées. En effet, ce qui surtout importe aux astronomes , c'est d'avoir les variations de l'écliptique vraie par rapport à un plan immuable, puisque c'est à l'écliptique qu'ils rapportent tous les mouvemens célestes ; or, comme l'inclinaison du plan invariable sur l'écliptique fixe est tcès petite, il en résulte, comme on l'a vu^ que la lon«

53a THÉORIE ANALYTIQUE

gitude de leui^ intersection commune, et par suite , la longitude du nœud de Técliptique fixe ou mobile sur le plan invariable qui s en déduit^ ne peuvent jamais être déterminées avec une précision rigoureuse. Ainsi , de légères erreurs dans les observations , ou même celles qui résultent des quantités négligées dans les approximations d'où se déduisent les élémens du mouvement elliptique , en produiront de considérables dans le rapport de deux quantité I2.wv/a(i — 6*)sîn^sina et 2m\/a(i — e'Jsin^cosa, et par suite, le nœud de Fécliptique sur le plan fixe paraîtra avoir beaucoup varié, sans que ce nœud ait subi des déplacemens considérables.

Heureusement, dans Tétat actuel de l'Astronomie, la considération du plan invariable est peu nécessaire ; son utilité pourrait se faire sentir^ si , après Tune de ces gi^andes catastrophes qui bouleversent quelquefois les sociétés humaines, la culture des sciences venant à être interrompue pendant plusieurs siècles, à l'époque où la civilisation se ranimerait , on voulait connaître les véritables déplacemens qu'ont subis dans l'intervalle les orbes planétaires, indépendamment des mouve-** mens propres qu'ont pu avoir les étoiles. Mais lorsque des observations faites avec la précision qu'elles ont aujourd'hui, formeront une longue série de phéno^ mènes dont la suite n'est jamais interrompue, les mou-» vemens de l'écliptique et des équinoxes pourront se déduire directement de la théorie et de l'observation, avec toute la précision nécessaire pour que le secours du plan ini^ariable devienne tout-à^-fait superflu. On ne voit pas, en effet, que jusqu'ici les astronomes

en aient fait aucun usage. Cependant^ la (découverte du plan invariable , par Laplace , n'en doit pas moins être regardée comme un beau théorème d'analyse , déduit des. lois primordiales du mouvement, et les formules qui le déterminent forment entre les variatiojis séculaires des élémens elliptiques des orbes planétaires , de nouvelles équations de condition qui servent à vérifier leurs valeurs.

II 6. Les variations séculaires des élémens elliptiques, en se dévelc^pant par la suite des temps, fourniront le moyen le plus exact pour déterminer les corrections que doivent subir les masses des planètes. Les valeurs que nous leur ayons supposées , déduites de la comparaison d'un grand nombre d'observations aux formules de la théorie, peuvent être déjà regardées comme très approchées , et sont ce que l'on peut attendre de plus exact dans l'état actuel de la science. La masse de Mercure , déterminée d'une manière empirique, laisse seule beaucoup d'incertitude ; mais cette masse est si peu considérable , et les effets qu'elle produit sur les mouvemens des autres planètes sont si peu sensibles, qu'il ne peut résulter de son incorrection que de très légères différences dans la théorie des inégalités du système planétaire:

Les observations de la plus grande élongation du quatrième satellite de Jupiter faites p^r M. Airy dans ces derniers temps , ont considérablement augmenté la masse de cette planète, déduite des élongations du même satellite observées par Pound , contemporain de Newton , et les seules qu'on eût employées jusqu'ici pour déterminer la valeur de cette masse. U

534 THÉORIE A^AI-YTIQUE

était à désirer que ces obseryatiotis fassent yérifiëes Avec le plus grand soin ; nous ayons appris que M* Ârago s'en occnpe en ce moment , et les résnl-^ tajs satisfaisans qu'on a droit d'attendre d'un obser- .yâteur si habile ^ seront d'un heureux augure pour la JiOuyeUe direction qu'il yient d'imprimer k l'Obserya -^ toire ix>yal de Paris.

Espérons que M. Arago étendra ses recherches aux ^longations des satellites de Saturne et d'Uranus; nous sayons que leur observation est beaucoup plus difficile que celle des élongations des satellites de Jupiter ; mais c'est là un point délicat sur lequel les géomètres ont appelé depuis long-temps l'attentioa de$ astronomes , et qui .ne peut rester plus long-tempa indécis.

L'obseryation des petites planètes mérite aussi de fixer l'attention de nos astronomes. Nous ayons été devancés y sur cet objet, par les sayans de l'autre côté du Rhin , et ils ont déjà recueilli un assez grand nombre d'observations exactes , pour pouvoir les comparer aux inégalités déduites de la théorie. Le premier avantage qu'ils en ont retiré, est une correc^ tion importante dans la masse de Jupiter, qu6 l'on avait adoptée depuis Nevvton.

Mais en même temps que l'Astronomie pratique va remonter parmi nous au rang qu'elle a jadis occupé, et que des obstacles dépendans des localités avaient pu seuls lui faire perdre un moment , nous né devons pas oublier de rappeler qu'il est un héri-^. tage que les fondateurs du Bureau des Longitudes ont légué à leurs successeurs, et qui ne doit paSv

péricliter eii leurs maiiis } c^e^t le dépôt de nos tables âstrbnomiquesv Nous ayous de très bomies tables des mouYemens de Jupiter et Sâturhe^ les tables dlTra* BUS, de Vénus 9 de Mars, de Mencure laisseut à dé^ sîrer. Maié avant tout , et eomme base des autres tra«-^ vaux , les tables du Soleil /calculées par Delambre^^ doiyéut être reprises ; tifoUsdevons ànotre honueur de ne pas nous laisser gagner de vitesse ^ur ce point. Pour efiectuêr cielle entreprise > le Bureau des Longitudes de France ne manque ni dé calculateurs habiles; ni de sa-» Tans 'géomètres pour les diriger ; les tables anciennes serviront a en construire de nouvellesptus exactes que les premières, ce Ainsi les travaux des astronomes^ en s'ajoutant sans cesse à eeux des astronomes précédens , donneront enfiii le plus haut degré de préeision aux tables astronomiiques et aux valeurs dont elles dé^ pendent (*). »' . - •

Quant k nous , nou$ terminerons ici ce que lious avions à diire sur la' partie de la théorie du système du monde qui traite des inégalités planétaires. Ce sujet nous a déjà fait dépasser les limites que noua noue étions prescrites, mais sa haute importance ^exigeait ce sacrifice. Nous avons exposé^ dans la théorie des perturbations des planlètes / les méthodes les plus iogé-» nieuses que les géomètres aient inTeittées pour lés déterminer; nous avons donné ensuite les expressions numériques de toutes les inégalités sensibles . <jui jpeuvent en résulter dans les mouvemens célestes'^, en employant les élémens elliptiques ,- et les valeurs

(^y 'Mécanique cékste, livre X.

des masses les plus concordantes ayec les obseryatîonsL, L'exactitude. avec laquelle ces formules représentent les plus anciennes observations qui nous soient parvenues y montre que les mouvemens planétaires ne sont soumis à l'influence d'aucun corps étranger au système solaire, et que la stabilité de ce système est sous ce rapport parfaitement assurée. La grande loi de l'attraction universelle suiQt à tout ; il n'y a pas» une inégalité des mouvemens célestes qui n'en dé-, rive avec une admirable précisioa; et lorsque, dans ces mouvemens, quelques anomalies étranges , qui semblaient échapper à toute expliçatipn, ont fait douter quelquefois de son exactitude ou de sa gêné--, ralité , on. a bientôt reconnu que le défaut des mé-, thodes ou l'insuffisance des approximations avaient, seuls empêché d'en reconnaître d'abord les causes, simples et naturelles. Il n'y a pas long-temps encore,^ quelques, géomètres, pour expliquer la différence des valeurs de la . masse de Jupiter , déduites du calcul, deis inégalités des petites planètes et des équations fondamentales des tables de M. Bouvard, avaient supposé que l'attraction mutuelle des planètes ne dépend pas, seulement de leurs masses et de leurs distances , mais encore de la substance du corps sur lequel elle s'exerce., et qu'ainsi il était nécessaire' d'employer pour Jupiter une masse difiërente dans le calcul des. inégalités de Saturne et dans celui des inégalités de Pallas, Junon, Çérès et Yesta. Mais les observa-, tions de M. Âiry, en moiatrant que l'attraction de Jupiter sur ses satellites est la même que celle qu'il exerce sur les petites plauètes, a^déjà en partie ré-

futé cette assertion y et le nouveau travail dont s'occupe M. Bouvard, ne laissera bientôt certainement ^ucun doute à cet égard. Nous ne serons donc pas obligés de renoncer à cettç adn)Lirable simplicité qui est l'un des caractères distinctife de la grande loi découverte par Newton. L'action de la gravité, en rai-^ son directe des masses et inverse du carré des dis-*, tances , est la même sur tous les corps ^ quelle qu^ soit leur nature; elle rend compte de tontes lésiné-^ galitës du mouvement des. pi anè(e& et des satellites;^ elle s'applique avec la mêmç précision à la déter-^ mination des perturbations des comètes , quoiqu'elles, semblent composées de substances particulières; en^ fin y si l'on en croit les idées ingénieuses de Laplaçe sur rprigine. du système planétaire, cette liDi est l'unique agent ..qu'ait employé 1». suprême ii^telltgence dans la création du monde physique. Ainsi, seule elle a présidé à sa formation , comme seule elle suffit aujourd'hui à ses moi|t,vemens et à sa, conservation.