mx 1 . mr 1 . mz

Ces coordonnées x, y, z ne déterminant qu'un seul point, on voit qu'il n'y a aussi qu'un seul point qui jouisse de la propriété d^être le centre de gravité du système.

Les valeurs précédentes donnent

X +Y -HZ - ^j^^ ,

équation que l'on peut écrire ainsi :

l'intégrale finie

l.mm' [{oc' - ocY + {f -j-y + (z' — zf]

désignant la somme de tous les produits semblables à celui renfermé sous la caractéristique 2, que l'on peut

DU SYSTÈME DU MpNDE. 37

former en considérant deux à deux tous les points du système.

On aura dc^c ainsi la distance du centre de gravité à un point donné au moyen des distances des différents pointa du système à ce point, et de leurs distances mutuelles. En calculant de cette manière la distance du centre de gravité à trois points fixes quelconques, on aura sa position dans l'espace, ce qui fournit un nouveau moyen de la déterminer.

9. Il est aisé d'étendre à un corps solide de figure quelconque les résultats précédents, et del déterminer ainsi les conditions de son équilibre. Il suffit, pour cela, de le considérer comme un assemblage de points pesants liés entre eux d'une manière invariable. Soient donc dm un des éléments de la masse M du corps, X, j, z les coordonnées de cet élément, X, Y, Z les trois forces qui agissent sur Tuiiité de masse parallèlement aux axes des a% des j et des z ; les trois forces qui sollicitent l'élément dm dans la direction des mêmes axes, devant être proportionnelles à sa masse, seront Xrf/w, Ydm^ Z<i/n, et les équations (7 ) du n® 7 deviendront

S.Xr/w = o, S.Yr//7i = o, S,Z dm = o\

S. (Xj — Yx) dm = o, S. {Zx — Xz) dm = o,

S. {YZ'-Zr)dm = o'^

le signe intégral S se rapportant à la molécule dm^ et devant s'étendre à la masse entière du corps. Si le corps était assujetti à tourner autour de l'ori-»

gine des coordonnées, les trois dernières équations suffiraient pour assurer l'équilibre.

S'il n'était soumis qu'à l'action de la pesanteur, on aurait, pour déterminer son centre de gravité, en nommant M la masse entière du corps, et en remarquant que S.dm = M, les équations

S.xdm S.fdm S.zdm

Enfin, si le système que Ton considère est composé d'un nombre quelconque de corps solides m, m', etc., sollicités par des forces quelconques, on cherchera, d'après ce que nous venons de dire, les résultantes partielles des forces qui agissent sur chacwi de ces corps, et l'on n'aura plus à considérer que des forces de grandeur donnée agissant sur des points liés entre eux d'une manière invariable, dont on déterminera l'équilibre paroles considérations précédentes.

10. Nous n'avons considéré jusqu'ici que des systèmes de forme invariable; mais, quel que soit le système qui se présente, il est évident que l'on ne changera rien à son état d'équilibre, en joignant par des droites inflexibles les différents points dont il se compose, de manière à rendre invariables leurs distances mutuelles. Les forces qui lui sont appliquées doivent donc, s'il est libre, satisfaire toujours aux six équations générales (7) n*^ 7, quel que soit d'ailleurs le mode de liaison de ses différentes parties.

Mais ces équations, sans lesquelles l'équilibre ne saurait avoir lieu, ne suffiront plus dans ce cas pouV assurer son existence. Les forces qui animent le sys-

DU SYSTÈME DU MONDE. 3g

tème de forme variable devront, en outre, satisfaire à certaines équations de condition qui dépendront de sa nature. Voici comment on pourra, dans tous les cas, parvenir à les former de la manière la plus facile.

On observera que l'équilibre du système n'est pas troublé lorsqu'on suppose invariable un nombre quelconque de ses parties ; l'équilibre subsistera donc encore en rendant fixes tous les points qui le composent, moins un. On exprimera ainsi les équations d'équilibre de chacun des points du système, eu ayant égard à leur liaison mutuelle, et les équations de condition qui résulteront de leur combinaison ou de l'élimination des arbitraires qui dépendent du mode de liaison des parties du système, seront celles que les forces qui le sollicitent doivent remplir pour assui^r son équilibre.

Ces considérations générales serviront à faciliter la mise en équation de tous les problèmes que peut présenter l'équilibre d'un nombre quelconque de forces appliquées à un système de forme variable, quelle que soit sa nature. On en déduit d'une manière très, simple la solution de deux questions de ce genre, fort remarquables, celles de l'équilibre du polygone funiculaire et de la lame élastique. Nous regrettons que les bornes de cet ouvrage ne nous aient pas permis de les développer ici.

4o THÉORIE ANALYTIQUE