CHAPITRE m

DCr MOUVEMENT D*UN POINT MATÉRIEL.

11. Un point matériel ne peut se donner à luimênie aucun mouvement ; il est également incapable d'altérer de quelque manière que ce soît le mouvement qu'il a reçu. Cette tendance de la matière à persévérer dans son état de repos ou de mouvement, se nomme inertie. C'est la première loi du mouvement des corps.

L'inertie doit être regardée comme une loi de la nature, et l'expérience vient sans cesse la confirmer soUs nos yeux. En effet, nous voyons sur la terre les mouvements des corps se prolonger de plus en plus, à mesure qu'on diminue les obstacles qui s'y opposent, ce qui nous porte à croire que sans eux ces mouvements dureraient toujours. La marche des corps célestes, qui depuis un si grand nombre de siècles se conserve sans aucune altération sensible, nous offre de cette loi une preuve plus manifeste encore.

Il suit de là que toutes les fois qu'on observe une altération quelconque dans l'état de repos ou de mouvement d'un corps, c'est à l'intervention d'une puissance étrangère qu'il faut en attribuer la cause.

Si un point matériel, après avoir obéi à l'aclion de la force qui le sollicite, est ensuite abandonné à luimême, il continuera à se mouvoir d'un mouvement

DU SYSTÈME DU MONDE. 4i

uniforme dans la direction de cette force, s'il n'éprouve aucune résistance. Il doit se mouvoir en ligne droite, puisqu'on effet il n')^ a aucune raison pour qu'il s'écarte plutôt dans un sens que dans un autre de sa direction primitive. Son mouvement doit être uniforme, puisque, par la loi de l'inertie, il est incapable, sans le secours d'une nouvelle force, d'accélérer ou de ralentir le mouvement qu'il a reçu.

Nous entendons par mouvement uniforme, celui où le mobile décrit des espaces égaux dans les mêmes intervalles de temps. Dans ce mouvement, les espaces parcourus sont donc proportionnels aux temps employés à les parcourir, en sorte que si s représente r^pace, t le temps, on a généralement ^ = v^. La quantité v est ce qu'on nomme la vitesse dans le mouvement uniforme ; c'est le rapport de l'espace au temps employé à le décrire, ou, ce qui revient au même, l'espace parcouru dans Tunité de temps.

Cette simple définition du mouvement uniforme nous montre comment sont introduites dans les recherches relatives au mouvement des corps, trois nou* velles quantités dont nous n'avions pas eu à nous occuper lorsque nous les avons considérés à l'état de repos : l'espace, la vitesse et le temps. Ces quantités sont hétérogènes, et nous devons répéter à leur égard l'observation que nous avons faite dans le n° 1 . Pour les comparer entre elles, il faut les supposer respectivement divisées par la quantité de même espèce qu'on a choisie pour unité ou pour terme de comparaison ; en sorte qu'elles ne sont plus alors que des nombres abstraits. Ainsi, par exemple, si l'on prend pour unité

de temps la seconde, et le mètre pour unité de mesure, l'espace et le temps seront deux nombres abstraits qui désigneront combien chacun d'eux contient d'unités de son espèce. La vitesse, qui dans le mouvement uniforme est, comme nous l'avons vu, égale à l'espace divisé par le temps employé à le parcourir, devient alors un nombre abstrait qui marque le rapport de deux nombres de même nature, et son unité est la vitesse du corps qui parcourt un mètre dans une seconde. Cette observation est générale, et il ne faut jamais la perdre de vue, lorsque, par la nature d'une question quelconque de Mécanique, on est conduit à considérer des quantités de nature différente, telles que l'espace, le temps, la vitesse, les forces, les masses ou les volumes des corps. En réduisant, comme nous l'avons dit, toutes ces quantités à des nombres abstraits, leur comparaison ne donnera plus aucun embarras, et leur présence dans la même équation n'offrira plus aucune idée choquante.

IjC temps que met un corps à décrire un espace déterminé est plus ou moins long, suivant la grandeur de la force qui le met en mouvement : la vitesse constante pour un même mouvement imiforme varie donc aussi avec la force motrice; mais, dans l'ignorance où nous sommes sur la nature de ces forces, il ne nous est pas possible d'assigner à priori la loi de ces variations. En effet, dans le mouvement d'un corps, nous ne voyons clairement que deux choses, l'espace parcouru, et le temps employé à le décrire; la cause du mouvement, ou ce que nous avons généralement appelé jorcCy nous est presque toujours inconnue, et

nous n'avons d'autre moyen de l'apprécier que par leseffetsqui en résultent. L'hypothèse la plus simple que Ton puisse faire sur le mode d'action des forces motrices, est de supposer les effets proportionnels aux causes qui les produisent, ou, ce qui revient au même, d'admettre que plusieurs forces agissant dans le même sens et dans la même direction, feront parcourir au corps qu'elles sollicitent, un espace égal à la somme desespaces que chacune d'elles lui aurait fait parcourir séparément ; en comparant ensuite aux observations les résultats qui dérivent de cette hypothèse, on peut s'assurer par leur accord avec elles, que c'est en effet la loi de la nature. Au reste, cette hypothèse, et celle de l'inertie, que nous avons regardée comme une propriété de la matière, sont les deux seules données que la Mécanique emprunte à l'expérience, et leur constant accola avec les observations leur a donné la certitude de vérités rigoureuses.

Dans le mouvement uniforme, les vitesses sont proportionnelles aux espaces parcourus dans les mêmes intervalles de temps; les espaces, d'après ce que nous venons de dire, sont proportionnels aux forces motrices; les vitesses sont donc aussi proportionnelles à ces forces. Dans ce mouvement, la vitesse et la force peuvent donc servir de mesure l'une à l'autre, et par conséquent toutes les règles que nous avons données sur la composition des forces peuvent s'appliquer à la composition des vitesses. Ainsi, lorsque Ton connaîtra les vitesses que deux forces communiquent séparément à un mobile, on déduira par la règle du parallélog^rarnme des forces, la vitesse qui serait due à la

résultante de ces forces. Réciproquement, lorsque la vitesse imprimée à un mobile par la résultante de deux forces sera connue, on pourra, en la décomposant, déterminer Tintensité de chacune d'elles. Cette manière de mesurer les forces ne donne pas, il est vrai, leurs valeurs absolues, elle indique seulement leurs rapports entre elles; mais c'est la seule chose qu'il soit important de connaître en Mécanique.

Considérons maintenant le mouvement d'un point sollicité par une force qui agit sur lui d'une manière continue, comme la pesanteur, par exemple. Il nous est impossible de savoir si cette force et les forces semblables que neus observons dans la nature, agissent en effet sans interruption sur les corps qui leur sont soumis, ou si leurs actions sont séparées par des intervalles de temps dont la durée est insensible ; mais quoi qu'il en soit de ces deux suppositions, il est facile de voir que les résultats doivent être les mêmes dans les deux cas; car si l'on représente les vitesses d'un corps sollicité par une force sans cesse agissante, par les ordonnées d'une courbe dont les abscisses représentent les temps, cette courbe, dans le second cas, se changera en un polygone d'une infinité de côtés, et qui pourra par conséquent être censé se confondre avec elle. Nous adopterons la seconde hypothèse, comme la plus conforme aux principes du calcul différentiel; et surtout parce qu'elle fournit le moyeg de ramener d'une manière très-simple aux lois du mouvement uniforme celles du mouvement varié que nous considérons. En effet, si l'on désigne par dt l'intervalle de temps infiniment petit qui sépare les actions successives d'une

force motrice quelconque, le mouvement pendant cet intervalle pourra être regardé comme uniforme, et en nommant ds Fespace parcouru pendant cet instant,

la vitesse de ce mouvement sera représentée par — •

Si Ton suppose donc le temps <, pendant lequel la force motrice, dans le mouvement varié, agit sur le point qu'elle anime, divisé en une infinité d'intervalles infiniment 'petits, le mouvement qui en résultera se trouvera partagé en une infinité de mouvements uniformes dont les vitesses constantes pendant chacun de ces intervalles, varieront seulement d'un intervalle à l'autre.

Quant à la force qui produit ce mouvement, et que nous nommerons désormais Jorce accélératrice ^ son effet étant de faire varier continuellement la vitesse, ces variations instantanées doivent naturellement lui servir de mesure. Or, pendant l'instant infiniment petit dt^ on peut regarder l'action de la force accélératrice comme constante. Si l'on désigne donc par d\> l'accroissement de la vitesse au bout de l'instant dt, et par P la force accélératrice, on aura dv = Vdt puisque l'accroissement de vitesse engendré pendant l'instant dt doit être le même que celui qui aurait eu lieu si l'action de la force accélératrice n'avait pas été interrompue pendant la durée de cet

instant. On aura donc ainsi P = -- ; et comme on a

at

déjà v=— , on aura P = — • C'est-à-dire que la

force accélératrice, dans le mouvement varié, sera mesurée par la différentielle seconde de l'espace.

divisée par le carré de l'élément du temps supposé constant. On pourra d'ailleurs étendre à cette quantité ce que nous avons dit sur la composition des vitesses dans le mouvement uniforme.

Ces considérations sur les lois du mouvement suffisent pour résoudre toutes les questions relatives au mouvement d'un point matériel sollicité par des forces quelconques. En général, tout problème relatif au mouvement doit avoir d'abprd pour objet de déterminer à chaque instant la position du mobile, sa vitesse et sa direction. Ce qu'il y a de plus simple, pour y parvenir, c'est d'établir une relation entre les accroissements de ses coordonnées et les forces dont ils dérivent, en sorte qu'on puisse ensuite remonter, par l'intégration de ces valeurs infiniment petites, à leurs valeurs finies, ce qui n'est plus qu'une question d'analyse. Aussi la Mécanique a-t-elle ftiit de rapides progrès à mesure que cette branche de nos connaissances s'est développée.

12. *Soit donc M un point matériel que nous regarderons comme entièrement libre; supposons les forces qui le sollicitent réduites à trois forces X, Y, Z, respectivement parallèles aux trois coordonnées rectangles x^ y^ z, qui déterminent sa position ; supposons, de plus, que ces forces agissent en sens contraire de l'origine des coordonnées, et tendent à les accroître. Les directions des trois composantesX, Y, Z, étant perpendiculaires entre elles, chacune d'elles est indépendante de l'action des deux autres, et peut être regardée comme si elle agissait seule. Elles auront

donc pour mesure la différeutielle seconde de l'espace qu'elles feraient parcourir séparément au point M, divisée par le carré de l'élément du temps, et l'on aura, par conséquent,