S = ^MA

ce sont les équations générales du mouvement du point M ; elles expriment la relation qui doit exister entre les accroissements différentiels des coordonnées qui fixent sa position, et les forces accélératrices qui les produisent; elles suffisent pour déterminer à chaque instant toutes les circonstances de son mouvement dans l'espace.

Si ce point est libre, les trois intégrales premières des équations (A) feront connaître à chaque instant la vitesse dont il est animé, et leurs intégrales finies donneront la valeur des coordonnées x^ j^ 2, en fonction du temps ^. Si l'on élimine t entre les équations d'où ces valeurs dépendent, il en restera deux entre les variables x^ y^ z, qui seront les équations de la courbe décrite par le point M dans l'espace; cette courbe sera généralement à double courbure : c'est ce qu'on nomme la trajectoire du mobile.

Si le point M n'est pas libre, s'il est assujetti, par exemple, à se ti'ouver sur une surface ou une courbe donnée, au moyen des équations de cette surface ou de cette courbe, on éliminera, de l'équation entre :r^^ et 2, résultant de l'intégration des équations (A), autant de ces variables qu'il y aura d'équations données, et iJ en résultera, entre les forces X, Y, Z, des équa-

tions de condition nécessaires pour que le mobile puisse remplir les conditions demandées.

13. Si Ton ajoute les équations (A) après avoir multiplié la première par ndx^ la seconde par 11 dy^ la troisième par ndz^ et qu'on intègre leur somme, on aura

'^"'^^^^'^''^ = c^<iS{iLdx^xdj^zdzy, (î)

C étant une constante arbitraire.

Le premier membre de cette équation est le carré

de la vitesse dont le point M est animé, puisque —9

^j j sont les composantes de cette vitesse, relatives

à trois axes rectangulaires, et que nous avons vu qu'on pouvait appliquer aux vitesses les mêmes principes que nous avons démontrés pour la composition des forces. En désignant donc par v cette vitesse, on aura

v^ = C -^ if [ILdœ -^Ydjr -^Zdz).

Supposons que la fonction ^dx+Ydjr-\-Zdz soit la différence exacte d'une fonction des trois variables ^•i Jt ^9 qu^ nous désignerons par/ (jc^ ^, z); on aura, en intégrant,

Cette équation est remarquable en ce qu'elle donne 1^ vitesse du mobile en un point quelconque de la trajectoire, au moyen seulement des coordonnées de ce point, et sans qu'il soit besoin de connaître la

nature de cette courbe. Si Ton désigne par A la vitesse qui répond au point dont les coordonnées sont d, bj Cj on aura, pour déterminer la constante C,

e\, par conséquent,

d'où l'on voit que la vitesse que le mobile acquiert en passant d'un point dont les coordonnées sont a, h, Cj à un autre point quelconque, est la même, quelle que soit la courbe qu'il ait parcourue dans l'intervalle.

La courbe que décrit dans ce cas le mobile jouit d'une propriété particulière qu'on déduit aisément des équations précédentes par les premiers principes du calcul des variations. Cette propriété consiste en ce que l'intégrale J^ds^ prise entre deux points donnés, est moindre sur cette courbe que sur toute autre courbe menée entre les deux mêmes points, si le mobile est libre; et que s'il est assujetti à se mouvoir sur une surface donnée, cette intégrale est moindre par rapport à la courbe qu'il trace sur cette surface en passant d'un point à un autre, que par rapport à toute autre courbe menée entre ces deux points sur la même surface.

Il suffit, pour le faire voir, de démontrer que la variation i.fsfds est nulle entre ces limites. Or on a

â.fi^ds = fâ.ifds et â.s^ds = ds .&i^ -}- i^.^ ,ds,

ds désignant l'élément de la courbe décrite, et dt l'é-

5o THÉORIE ANALYTIQUE

lément du temps, on a d'ailleurs

ds = s/dx^ -^dj^-h dz^, ds = vdt ; d'où Ton tire

d , ds = ^ù . da: + -j^- â , dy -h 4 ^ 'dz^

ds ds -^ ds '

dsâv = i>&i>dt.

Si dans la première de ces équations on substitue pour ds sa valeur vdt, elle donnera

vè.ds = — d,dx^ -f&.dr-h 4^dz.

dt dt «^ dt

Si Ton différentie par rapport à la caractéristique $ l'équation (i), elle donne

ou bien, en mettant pour X^ Y, Z leurs valeurs,

dt dt ^ dt

Réunissant les deux parties de la valeur è . vds, on trouve

D'où, en intégrant par rapport à la caractéristique rf, on tire

d .jvds = ^^ h constante.

Si Ton suppose fixes les deux points extrêmes de

DU SYSTÈME DU MONDE. 5f

la courbe, les variations $x, dj^ âz seront milles par rapport à ces points, on aura donc entre ces limites d .Jvds^= Oj et, par conséquent, l'intégrale fvds sera un minimum.

Si le mobile n'est soumis à Taction d'aucune force accélératrice, sa vitesse v est constante, et l'on a f^^ds = w, en sorte que Tare de courbe décrit par le mobile est alors le plus court que l'on puisse mener du point de départ au point d'arrivée; et comme les espaces sont dans ce cas proportionnels au temps^ ii en résulte encore que le mobile parvient du premier point au second dans un temps moindre que s'il était obligé de suivre toute autre courbe.

Ces résultats, très-remarquables, supposent que la fonction ^dx -{-Ycly -{- Zdz est une différentielle exacte- Il existe dans la nature un cas fort étendu, où cette condition est remplie, c'est celui où toutes les forces accélératrices qui agissent sur le mobile sont dirigées vers des centres fixes, et où l'intensité de chacune d'elles est une fonction de la distance du mobile à son centre d'action.

En effet^ si l'on représente par P l'intensité d'une de ces forces, par a, &, c les coordonnées du point fixe vers lequel elle est dirigée, par /i la distance de ce point au mobile dont les variables jr, j", z déterminent à chaque instant la position, en sorte qu'on ait

p^ = [X - af -+- ( J^ - hf + (^ - c)\

les cosinus des angles que forme la droite p avec les

axes coordonnés seront respectivement > 1

y OU, en différentiant Téqualion précédente, -—»

y^9 -^- Les composantes de la force P, parallèles aux mêmes axes, seront donc

ax dy dz

On aura, par conséquent, en vertu des actions réunies des forces P, P', P", etc., qu'on supposera toutes de la même nature que la force P,

dx dy dz

Si Ton multiplie respectivement par dx^ dj^ dz ces valeurs, et qu'on les ajoute, on a

Xair 4- Xdj 4- Zdz = 2. Prf^.

Les forces P, P', etc., étant fonctions des distances />, //, etc., chacun des termes du second membre de cette équation est une différentielle ^exacte ; son premier membre l'est donc pareillement.

Il n'en serait pas de même si quelqu'une des forces P, P', etc., était dirigée vers des tîentres mobiles; dans ce cas, les coordonnées a, 6, c deviendraient variables, et la différentielle de dp qui entre dans la valeur de Xcte -+- Yr/y 4- Zr/z n'étant plus complète, cette formule ne serait pas une différentielle exacte.

14. Lorsque les forces qui agissent sur le mobile se réduisent à une force unique dirigée vers un centre fixe, le mouvement qui en résulte jouit d'une pro-

priété très-importante dans la théorie du système du monde, et qui se déduit d'une manière très-simple des équations différentielles (A). Elle consiste en ce que les aires décrites autour du centre fixe par la droite menée de ce point au mobile, sont proportionnelles au temps employé à les parcourir.

Pour le faire voir, multiplions la première des équations (A) par y^ la seconde par :t, et retranchons-les ensuite Tune de l'autre; nous aurons

On trouverait d'uue manière semblable les deux autres équations

^ = (ZX — xZ)l1t, J

Si Ton prend pour origine des coordonnées le point fixe vers lequel la force accélératrice P est constamment dirifirée, on a X = P -, Y = P -> Z = P -; en

faisant, pour abréger, r= v/ar^-H^* -H z*, on tire delà

xY =jrX, zH — xZ, yZ = zX.{c)

Les seconds membres des équations (a) et (J) sont donc nuls, en vertu des équations précédentes, et ces équations donnent, en les intégrant,

xdy—ydx=zcdt^ zdx — xdz'zzzc' dt^ ydz — zdy=.c" dty (2)

c, c', c" étant trois constantes arbitraires.

54 THÉORIE ANAILYTIQUE

Si l'on ajoute ces intégrales après avoir multiplié

la première par z^ la seconde par j-, la troisième

par Xj on a

cz -h c'j- 4- c'\x = o,

équation qui nous montre que la trajectoire décrite par le mobile est contenue dans un plan passant par l'origine des coordonnées.

Il est aisé de s'assurer que les premiers membres des équations (a) représentent le double de Faire élé* mentaire tracée pendant l'instant dt par la projection du rayon vecteur du mobile sur chacun des plans coordonnés; cette aire est donc une quantité constante ; par conséquent l'aire décrite par les projections du inême rayon pendant un temps fini t sera proportionnelle à ce temps. La direction des plans coordonnés étant arbitraire, on peut prendre pour l'un d'eux le plan même de la trajectoire du mobile, d'où il suity par conséquent, que les aires décrites par le rayon vecteur autour du centre des forces sont proportionnelles au temps.

Réciproquement, si les aires, tracées par le rayon vecteur autour du point fixe, croissent comme les temps, on en peut conclure que la force qui les fait décrire est constamment dirigée vers ce point. En effet, les équations (2) étant satisfaites d'après cette hypothèse, leurs différentielles, et par suite les premiers membres des équations [a) et (6), seront nulsf on retrouvera donc ainsi, entre les forces X, Y, Z et les coordonnées a:, ^, z du mobile, les équations (c);; d'où Ton tire

La résultante des forces X, Y, Z est, par conséquent, dirigée suivant la ligne droite menée du mobile à Yo* rigine des coordonnées.

Les propriétés du mouvement d^un point matériel, que nous venons de développer, sont générales, et s'appliquent à une classe très-étendue de forces accélératrices. Nous allons faire maintenant, sur la nature de ces forces, quelques suppositions particulières, et résoudre plusieurs problèmes qui sont d'un grand intérêt dans la théorie du système du monde.

15. Proposons-nous d'abord de déterminer le môuyement d'un point matériel sollicité par l'action de la pesanteur, et qui se meut dans un milieu résistant.

La pesanteur nous offreTexemple d'une force qui exerce une action continue sur les corps qu'elle anime. Elle agit d'une manière semblable sur toutes les molécules de la matière, soit dans l'état de repos, soit dans l'état de mouvement, et paraît tendre à les attirer vers le centre de la terre. L'action de la pesanteur varie suivant les différents points que nous occupons sur le globe, et suivant les distances où nous sommes de son centre. Sa direction change avec l'horizon du lieu auquel elle est toujours perpendiculaire; mais comme les courbes que l'on considère dans le mouvement des projectiles, ont infiniment peu d'étendue comparativement aux dimensions de la terre, nous regarderons, dans ce qui va suivre, l'action de la pesanteur comme constante, et nous la supposerons dirigée suivant des droites parallèles. La résistance que le mobile éprouve de la part du milieu qu'il traverse

dépend à la fois et de la densité de ce milieu et de la vitesse dont il est animé.

Cela posé, désignons par g* l'intensité de la pesanteur, et par 6 la résistance du milieu, que nous regarderons comme une force dirigée suivant la tangente à la courbe que le mobile décrit, et agissant en sens contraire de son mouvement, son intensité dépendant de* la vitesse du mobile. Supposons le plan des x et des^ horizontal^ et plaçons Torigine des coordonnées au point le plus élevé de la trajectoire. Si Ton désigne

par ds un élémeinf quelconque de cette courbe, -j-»

^? -^y seront les cosinus des angles que forme sa tangente avec les axes coordonnés, et la force 6 donnera parallèlement à ces axes les trois composantes suivantes : ê -^? 6^9 %4-' Ces forces tendent à diminuer

as ds ds

les variables ar, y^ z. L'action de la pesanteur au contraire, qui s'exerce tout entière suivant l'axe des s, tend à augmenter cette coordonnée; en désignant donc par X, Y, Z les forces accélératrices dont le mobile est animé parallèlement aux trois axes coordon-

ds ds ds °

Les trois équations du mouvement (n° 12) deviendront donc

d^x ^dx d^y ^dy d^ z ^dz

IF'^ " Ih^ lîF ~^ "^ ds' HÔ ~'~' 7s

Si l'on multiplie la première par dj^ la seconde par djCj et qu'on les retranche l'une de Tautre, on aura

dx d^x dy d^x

dt Ift Tîï dt '

d'où l'on tire, en intégrant,

a eXb étant deux constantes arbitraires.

Cette équation y qui appartient à une ligne droite, est celle de la projection sur le plan des xj^ de la courbe décrite par le mobile ; cette courbe est donc entièrement contenue dans un plan vertical. En prenant, par conséquent, ce plan pour celui des coordonnées X et z, on aura généralement j* = 0. Si de plus on suppose, comme on le fait ordinairement, la résistance du milieu proportionnelle au carré de la vitesse

dont le mobile est animé, ce qui donne 6 = m —9

m étant une quantité qui dépend de la densité du milieu, et qui varie avec elle, les équations du mouvement se réduiront aux suivantes :

d*x ds dx d'^ z ds dz , >.

La première s'intègre immédiatement, et il en résulte

tlx

= Cc~7% [b)

C étant une constante arbitraire, et c la base des logarithmes dont le module est l'unité. Pour intégrer la seconde, faisons dz =jdxj y étant une fonction

quelconque de ce, en différentiani par rapport à t, il en résultera

d^ z djr dx d^x

"dF ^ Itdî'^^^dF'

Substituant cette valeur dans la seconde des équations (a), elle se réduit, en vertu de la première, à

dr dx

.jL — cr •

dt dt O '

ou bien, éliminant dt au moyen de l'équation (è), et

faisant, pour abréger, a ==: -^» on aura

Cette équation différentielle du premier ordre donnera, en Tintégrant, la valeur de^ en fonction de jc; cette valeur, substituée dans l'équation dz z=jrdx^ fournira une nouvelle équation du premier ordre entre z et x sans ^, qui sera, par conséquent, l'équation différentielle de la trajectoire.

Si l'on suppose nulle la résistance du milieu, on a /w = o, et l'équation précédente donne, en intégrant,

j=i lax -4- h.

Mettant pour/ sa valeur ^^ et intégrant de nouveau, on aura

js== ax^ + bx+ A,

h et h étant deux constantes arbitraires.

Cette équation est celle d'une parabole dont le

DU STSTÈME DU MONDE. 5g

grand axe est vertical ; c'est la courbe que décrirait

UD corps pesant projeté dans l'espace avec une vitesse

quelconque, si Tair ne lui opposait aucune résistance.

L'équation {b) donne, en supposant m = o, et en

l'intégrant, t=:x y — -f- A:, A: étant une constante

arbitraire. Si l'on suppose a: = o, ^ = o quand / = o, on aura A = o, A: :^ o, et, par conséquent,

t=ixy~^ z=^ ax^ -h bx; (i) d'où l'on lire

La première de ces équations montre que le mouvement est uniforme dans le sens horizontal, et il résulte de la dernière, que, dans le sens vertical, il est le même que si le corps tombait suivant la verticale.

On déduit de ces trois équations toutes les lois du mouvement des projectiles dans le vide. Elles comprennent aussi, comme cas particulier, le mouvement accéléré ou relardé d'un corps pesant suivant la verticale. En effet, si l'on suppose l'impulsion primitive dirigée verticalement, la parabole, qui résultait dans le cas général d'une vitesse initiale quelconque combinée avec la pesanteur, se change en une ligne droite et se confond avec la verticale. Si le corps part de l'état du repos, 6 = 0, et l'on a simplement

6o THÉORIE ANALYTIQUE

La vitesse croît donc comme le temps, et l'espace comme le carré du temps. Si Ton imagine mi triangle rectangle dont un côté représente le temps, l'autre côté pourra représenter les vitesses; et la surface de ce triangle, égale à la moitié de la base multipliée par la hauteur, représentera l'espace que la pesanteur fait décrire au mobile. Si, après le temps t, la pesanteur cessant son action, le corps était abandonné à lui-même, il continuerait à se mouvoir uniformément, et décrirait, en vertu de sa vitesse acquise, dans un temps égal à celui de sa chute, un espace gt^ double de celui qu'il a parcouru. Telles sont les lois de la chute des graves dans le vide, découvertes par Galilée.

16. Considérons maintenant le mouvement d'un point matériel assujetti à demeurer sur une surface ou une courbe donnée. Désignons par N la résistance qu'il éprouve dans le sens de la normale de la part de cette surface ou de cette courbe; en ajoutant cette résistance aux forces accélératrices dont il est animé, nous pourrons le regarder ensuite comme entièrement libre, et faire abstraction de la surface ou de la courbe qu'il doit parcourir. En nommant donc a, ê, y, les angles que fait la normale avec les axes coordonnés, les équations du mouvement deviendront

-^ = X -H N cosa, --^ = Y -4- N cosS, J

— =:Z4-NC0S7, )

Si l'on ajoute ces équations après avoir multiplié

DU SYSTÈME DU MONDE. 6i

la première par *idXy la seconde par 'xdj^ la dernière par 2(lzj et qu'on intègre leur somme, on aura

:^^J±^' = C-i-a/(Xd:r-+-Yrfj4-Z^^)

+ ïi / N (cosa dx + cosS djr 4- cosy dz).

Mais, en représentant par L = o Téquation de la surface sur laquelle le mobile est assujetti, et en substituant pour cosa, cosê, cosy, leurs valeurs données

n^'l, on a

cosactr -h cosS djr -h cosy dz = K.dL = o.

L'inconnue N disparaît donc de l'équation précédente, et l'on a simplement

''É±^+^ =C+^f{Xdx + Ydr + Zilz).

Supposons que Xdx H- Ydj 4- Zrfz soit la différentielleexacte d'une fonction de trois variables/^(a:, j, z)/ on aura

Soient a^ b^ c^ les coordonnées d'un point connu de la courbe décrite, A la vitesse du mobile en ce point, en nommant v la vitesse qui répond aux coordonnées x^ jr^ z, on aura

Cette équation est analogue à celle que nous avons trouvée n" 13, poiu' le cas d'un point matériel libre;

concluons de même, i^ que si aucune force accélératrice n'agit sur le mobile, sa vitesse est constante : c'est ce qu'il est facile de concevoir, d'ailleurs, en observant que la diminution de vitesse qu'un point qui se meut sur une surface ou une courbe donnée, éprouve à la rencontre de chacun des plans de cette surface ou des éléments infiniment petits de cette courbe, est une quantité infiniment petite du second ordre; t>P que si les forces accélératrices n'étant pas nulles, la formule Xrfor -h Yrf/ ■+- Zr/z est intégrable, la vitesse du mobile n'est plus constante, mais qu'elle est indépendante de la surface ou de la courbe sur laquelle il est forcé de rester; il suffit, pour déterminer cette vitesse en un point quelconque de la trajectoire, de connaître les coordonnées de ce point et la vitesse du mobile au point de départ.

Enfin ces propriétés remarquables subsistent par rapport aux courbes qu'un point matériel peut tracer sur la surface à laquelle il est assujetti, comme par rapport à celles qu'il peut décrire dans l'espace lors* qu'il est libre, ainsi que nous l'avons annoncé dans le numéro cité.

Déterminons actuellement la pression que le point exerce contre la surface ou la courbe sur laquelle il se meut. Supposons d'abord qu'aucune force accélératrice n'agit sur le mobile, sa vitesse inséra constante; et si Ton désigne par ds l'élément de la courbe décrite, ou l'espace parcouru pendant l'instant dtj on aura

ds = vdti d'où l'on tire dt = — . L'élément ds est

donc aussi constant, et les équations du mouvement

^n substituant pour dt sa valeur, deviendront

p'.g=Ncos«,p''.^ = Ncos6,i.«.g*Ncosy; d'où l'on tirera

Mais ds étant constant, si l'on nomme p le rayoi)/^? osculateur de la courbe décrite par le mobile, on a / p

s/id'xY + ^d'j-y + id'zy^ L'eipression de N devient donc ainsi

c'est-à-dire que la pression exercée par le point contre la surface ou la courbe, est égale au carré de sa vitesse divisé par le rayon de courbure de la trajectoire qu'il décrit. Cette pression, qui est uniquement due à l'état de mouvement du point, et qui est indépendante des forces qui agissent sur lui, se nomme ^rcc centrifuge.

Si le point se meut sur une courbe et qu'il soit sollicité par des forces accélératrices quelconques, leurs composantes tangentielles à la courbe détermineront les variations de la vitesse qui cessera d'être constante, leurs composantes, dans le sens de la normale, détermineront la pression que la courbe éprouve indépendamment des circonstances du mouvement. En ajoutant à l'expression de la force centrifuge celle de \a pression due à l'action des forces accélératrices, on

aura la pression totale que le point exerce contre la courbe.

Si le point se meut sur une surface, la pression due à Isi force centrifuge sera égale à celle qu'il exercera contre la courbe qu'il décrit, décomposée suivant la normale à la surface en ce point, c'est-à-dire au carré de la vitesse divisé par le rayon du cercle osculateur, et multiplié par le sinus de l'angle que fait le plan du cercle osculateur avec le plan tangent à la surface. On aura la pression totale que le point exerce contre la surface, en ajoutant à cette expression celle de la pressidh due à l'action des forces qui le sollicitent.

Lorsque le point n'est sollicité par aucune force accélératrice, la. force centrifuge est, comme nous l'avons vu, égale au carré de la vitesse, divisé par le rayon du cercle osculateur de la trajectoire; le plan qui contient ce cercle est donc alors toujours perpendiculaire à la surface donnée. Cette propriété appartient à la courbe la plus courte qu'on peut mener d'un point à un autre sur cette surface; c'est donc aussi celle que décrit le mobile comme nous l'avons d'ailleurs démontré directement au n® 13, et cette loi remarquable du mouvement d'un point matériel dépend d'un principe général de Mécanique qu'on a nommé principe de la moindre action.

Si un point matériel qui n'est animé d'aucune force accélératrice, se meut dans l'intérieur d'un cercle, la pression qu'il exerce contre la circonférence sera égale, d'après ce qui précède, au carré de sa vitesse divisé par le rayon de cette circonférence.

Au lieu de supposer le point renfermé dans un cercle, on peut imaginer qu'il soit attaché à l'extrémité d'un fil inextensible, et qu'il se meuve circulairemenl autour d'un point fixe ; la tension qu'éprouvera le fil remplacera la résistance que le point exercerait contre la circonférence du cercle, et équivaudra par conséquent à la force que nous avons désignée par N. L'effort que fait le point pour tendre le fil et pour s'éloigner du centre de la circonférence, est ce que Huyghens, qui le premier en adonné la mesure exacte, avait originairement nommé la force centrifuge; on a depuis étendu cette dénomination au mouvement d'un point matériel sur une courbe quelconque. La force centrifuge dans le cercle est égale au carré de h vitesse du mobile divisé par le rayon de la circonférence qu'il décrit. En désignant donc par f cette force, et par r le rayon du cercle, on a

Comparons la force centrifuge à la pesanteur. Pour cela, supposons que la vitesse s^ soit celle qu'acquerrait le corps en tombant de la hauteur A; on aura, 11° 15, p' = 2gA, et l'équation précédente donnera

Sih= ^ r, la force centrifuge devient égale à la pesanteur, en sorte que la tension que le fil éprouve par l'action du corps qui se meut circulairement dans un plan horizontal, est la même que si ce corps était suspendu verticalement à son extrémité. Il suffit, pour

cela, que la vitesse dont il est animé soit celle qu'il acquerrait en tombant d'une hauteur égale à la moitié de la longueur du fil.

Supposons que le mobile emploie le temps T à décrire la circonférence dont le rayon est r, et soit n le rapport de la circonférence au diamètre, on aura

i;z=-^, dou /=^;

c'est-à-dire que lai force centrifuge est proportionnelle au rayon, et en raison inverse du carré du temps employé à décrire la circonférence.

La. force centrifuge qui résulte du mouvement de rotation de la terre, doit donc aller en augmentant des pôles à l'équateur, et elle tend à diminuer de plus en plus l'action de la pesanteur. En réduisant en nombre la seconde des équations précédentes, on a trouvé que le rapport de la force centrifuge à la pesanteur qui aurait lieu si la terre était immobile, était à l'équateur à

fort peu près égal à -g- ou j — - • Il suit d'ailleurs de

l'expression de f que les forces centrifuges dans le même cercle sont entre elles en raison inverse des carrés des durées des révolutions ; d'où Ton peut conclure que si le mouvement de la terre était 1 7 fois plus rapide, la force centrifuge serait égale à la pesanteur, et les corps resteraient en équilibre sous l'action de ces deux forces à l'équateur. La diminution de la force centrfuge de l'équateur aux pôles est proportionnelle au carré du cosinus de la latitude.