PoiH- mieux montrer l'usage des formules pré

DU SYSTÈME DtJ MONDE. 67

cédentes, nous allons en faire l'application à quelques problèmes très-simples de Mécanique théorique.

Considérons d'abord comme une application intéressante des formules générales (A), n*^ 16, le mouvement d'un point matériel pesant dans l'intérieur d'une surface sphérique.

Nommons /• le rayon de la sphère, et fixons à son centre l'origine des coordonnées ;• l'équation de la surface sur laquelle le mobile est forcé de rester, et que nous avons représentée généralement par L= o, deviendra dans ce cas ,

et Toti aura, par conséquent,

dL x dL y dL 2

ce qui donne

R = i, cosa = -j côsê=: — 5 cos7 =

La pesanteur étant la seule force accélératrice qu'on suppose agir sur le mobile, on aura X = o, Y = o, Z = g, et les équations générales du mouvement (A) donneront, par la substitution de ces valeurs, les trois suivantes :

d^X T^T^ ^y TWtJ ^'* -KT^ /T,\

7F=^r iF = ^r iF=^r-^ë- (B)

Si l'on multiplie respectivement ces équations par a dx, "^djr^ idz^ qu'on les ajoute, et qu'on intègre ]evir somme en observant que l'équation de la sphère

donne, en la différentiant,

xdx + ydj -h zHz^=zo^ (i)

on aura, pour déterminer la vitesse dont le mobile est animé,

^i = agz + c, (a)

c étant une constante arbitraire.

La vitesse du corps est donc la même que s'il était tombé verticalement de la hauteur z, ce qui est conforme à ce que nous avons dit n® 16.

Déterminons la pression que le mobile exerce contre la surface. Pour cela, multiplions les équations (B), la première par x, la seconde par j", la troisième par z ; ajoutons-les ensuite, en observant que l'équation de la sphère donne jc* 4- j"* -H z* = r*; nous aurons

Ij'équation de la sphère différentiée deux fois donne

xd*x -h yd^y -f- zd^z rf^ + dy^ -h dz^

dt^ ~ ^**

L'équation précédente donne donc, en vertu de l'équation (2),

Il nous reste à connaître à chaque instant la situation du mobile sur la surface qu'il parcourt. Pour y parvenir, observons qu'on obtient aisément une nouvelle intégrale première des équations (B) ; en effet, si l'on multiplie la première par jr^ la seconde par â?,

DU SYSTÈME DU MONDE. 6g

qu'on les retranche l'une de l'autre, et qu'on intègre l'équation résultante, on trouve

jdx --xdjr = c'dt, (3)

c' étant une constante arbitraire.

On a donc entre les variables x^ jTj z et /, les trois équations différentielles du premier ordre (i), (a), (3); il ne s'agit plus, par conséquent, que d'intégrer ces équations pour déterminer les coordonnées du mobile en fonction du temps. La première a pour intégrale l'équation de la sphère; les deux autres, il est vrai, ne sont pas intégrales sous forme finie, mais on parvient aisément à séparer les variables, et l'intégration est ramenée aux quadratures.

En effet si, après avoir mis l'équation (i) sous cette forme xdx -^ jdjr =:^ — zdz^ on l'élève au carré, ainsi que l'équation (3), et qu'on les ajoute ensuite, on trouve

[x^ H- j^) {dx^ 4- rfj") = Z»c?z» 4- c'^dt^.

Substituons pour x^ 4- j^* sa valeur r^ -- z^^ et pour

— ) sa valeur agz -+■ c — — » nous aurons une

équation entre 2, cfe, dt^ d'où il est aisé de conclure

— rdz

dt

sj(^r^ 2î)(2^3 4-c) — c'^

Nous donnons au second membre le signe — , parce que le corps étant supposé s'éloigner de la verticale, z diminue quand t augmente.

Cette formule donnera, en l'intégrant par approxi-

matioD, le temps t en fonction de a, et réciproquement z en fonction de t.

On connaîtra ainsi à chaque instant le plan horizontal dans lequel se trouve le mobile; il suffira donc, pour assigner sa position sur la sphère, d'avoir un second plan sur lequel il doive se rencontrer dans le même instant.

Pour cela, soit w Tangle que forme le plan vertical qui passe par le mobile et le centre de la sphère, avec le plan vertical des x et des z ; on aura

X = \/r' — z^ cos w, ^ = sjr^ ■— z^ sin o) ,

d'où Ton tire

xdjr — jrdj = (r' — z*) rfw.

L'équation xdy — jrdx = c'dt donnera donc ainsi

c'dt

dtù =

Si l'on substitue pour dt sa valeur précédente en z, et qu'on intègre ensuite par approximation l'équation résultante, on aura l'angle w en fonction de z. On connaîtra ainsi pour un instant quelconque les deux variables z et Cl), et la position du mobile sera par conséquent entièrement déterminée.

Au lieu de supposer que le point se meut dans l'intérieur d'une surface sphérique, on peut imaginer qu'il soit suspendu à l'extrémité d'un fil inextensible dont l'autre extrémité est fixe, et dont la longueur est égale au rayon de la sphère : les mouvements dans les deux cas seront parfaitement les rpémes. I^e fil et le point

qu il supporte forment alors un pendule simple, et l'on nomme demi-oscillation le temps que met le mobile à revenir de la plus petite à la plus grande valeur de z. On en déterminera la durée en développant en série Texprêssion de dt^ et en Tintégrant ensuite entre ces limites.

Pour y parvenir, reprenons la valeur derf/, et supposons

En comparant dans les deux membres les coefficients des mêmes puissances de 2, on aura pour déterminer a, bj kj ces trois équations :

On peut aux arbitraires c et c ' substituer les deux nouvelles arbitraires a et by dont la première répond à la plus grande, et la seconde à la plus petite valeur de z, puisqu'en effet la supposition de 2 = u et z = i donne dz = o.

Cela posé, faisons

L'expression de dt deviendra

en faisant, pour abréger, oc" = ^^^l^7^^, f,,-

Cette expression, intégrée depuis £=a jusqu'à z =A, ou depuis 1^ = 0 jusqu'à x = 1, donnera le temps que le pendule emploie à faire une demi-oscillation. Nommons | T ce temps, développons en série la fonc-

tion (i — a^x^) * ^, ce qui donne

Multiplions chacun des termes de ce développement

dx ,

par ^> et mtegrons ensuite ; nous aurons

x[-ar--(^)'-*-(^p--}

71 étant la demi-circonférence dont le rayon est Tunité.

Si, lorsque 2 = è, on suppose nulle la vitesse du mobile, ce qui revient à prendre le commencement d'une oscillation pour origine du mouvement, on aura c = — 2g&, c' = o, ce qui donne « = constante ; c'est-à-dire que le mobile oscille alors dans un plan vertical : les équations (o) donnent ensuite

a = r; d'où à? = "" > L'ordonnée z divisée par r

exprime le cosinus de l'angle que forme le pendule avec l'axe des s; le cosinus de son plus grand écart

de la verticale sera donc ~» et la fraction -^^ expri-

mera le carré du sinus de la moitié de cet angle ; la

durée totale de roscilJation sera alors

Si le pendule s'écarte peu de la verticale, est

une très-petite quantité que Ton peut négliger; on aura donc^ dans ce cas.

La durée des petites oscillations est par conséquent indépendante de leur amplitude ; ces oscillations sont donc isochrones ou de même durée, quelle que soit leur étendue, et cette durée ne dépend que de la longueur du pendule et de Fintensité de la pesanteur.

L*expression précédente de T donne le moyen de déterminer, à Taide du pendule, les variations de la pesanteur dans les divers lieux de la terre, d'une manière beaucoup plus exacte qu'on ne pourrait le faire par des expériences directes sur la chute verticale des corps. En effet, en l'élevant au carré, on en tire

g= ^'î g représentant (n*^ 15) la vitesse que la pesanteur imprime aux graves, ou le double de l'espace qu'ils parcourent dans la première seconde de leur chute. En faisant donc osciller un pendule de longueur donnée r pendant un intervalle de temps connu, on aura la valeur de T en divisant ce temps par le nombre d'oscillations du pendule, et l'équation précédente^

dont le second membre sera entièrement déterminé, donnera la valeur de g ou de l'intensité de la pesanteur. A robservatoire de Paris, dont la latitude est de 48^ 5o' 1 4", la longueur du pendule à secondes, mesurée avec beaucoup d'exactitude par Borda, et réduite au niveau des mers, est de o°*,993855, on a de plus TT* = 9,8696 : ce qui donne g = 9^,80896 ; d'où il suit que la pesanteur y fait tomber les corps de 4^790448 dans la première seconde sexagésimale. Des expériences précises ont montré que cette valeur est la même, quelle que soit la substance dont est formé le pendule que l'on fait osciller; il en faut conclure que la pesanteur agit également sur tous les corps de la nature dans un même lieu de la terre, et que, par conséquent, sans la résistance dé l'air, elle leur imprimerait à tous, dans le même temps, une vitesse égale. Quant aux variations de la pesanteur sur les différents parallèles, on observe que son intensité diminue en allant du pôle à l'équateur : cette diminution est proportionnelle au carré du cosinus de la latitude, et la variation totale que la pesanteur subit

entre ces deux points extrêmes s'élève à environ — ^ de sa valeur moyenne.

Nous venons de voir que l'isochronisme des oscillations du pendule circulaire n'a lieu qu'en supposant leur amplitude très-petite; il est curieux de déterminer quelle est la courbe sur laquelle un corps pesant doit se mouvoir pour arriver dans le même temps au point le plus bas, quel que soit l'arc qu'il ait décrit depuis son point de départ. Pour résoudre

celte question^ plaçons l'origine d^s coordonnées au poiqt le plus bas de la trajectoire; nommons ds un quelconque, des éléments de cette courbe, et désignons toujours par g l'action de la pesanteur. La force accélératrice, le long de Tare de la courbe, sera la nteur décomposée suivant sa tangente; elle sera

égale, par conséquent, àg j- Cette force tend à diminuer l'arc s que nous supposons compté, ainsi que 2, du point le plus bas ; on aura donc

d^ ^ dz

dt^ ~ ^Is

Si Ton multiplie les deux membres de cette équation par arfy, et qu'on intègre, on trouve

ds^

c étant une constante arbitraire.

Soit h l'ordonnée du point où le mouvement commence, et supposons nulle en ce point la vitesse du mobile; on aurac= a g A, et l'équation précédente, résolue par rapport à dt^ donnera, en observant que l'arc s diminue quand t augmente,

ou bien, en développant le radical du second membre,

dt= —

, / iz 1.3 z» 1.3.5 z^ \

Quelle que soit la nature de la courbe cherchée, s est

une fonction de z, et l'on peut supposer que cette fonction développée et difiérentiée ensuite, donne

dz

En substituant pour ds sa valeur dans rexpression de dt^ on aura

S^g hi\ ^^ 2.4 A' 2.4.6 A^ /

iA'"*"2â-*-ï4>?"*"m:6/7"»---J^*

\/âi

Si l'on intègre cette expression depuis z = A jusqu'à z = o, on aura le temps que le mobile emploie à parvenir au point le plus bas. Ce temps, d'après les conditions du problème, doit être indépendant de la hauteur h dont le corps est descendu, ce qui exige que l'on ait £ + i = |^, et que tous les termes de la valeur de dt soient nuls, a l'exception du premier. Or il est évident que cette condition ne peut être satisfaite à moins de supposer ft = o, etc. ; l'équation différientielle de la courbe tautochrone devient donc ainsi

-± ^= az"^ dz;

d'où Ton tire, en intégrant, s= aaz^^ équation d'une cycloïde à base horizontale. La cycloïde est donc la seule courbe tautochrone dans le vide.

Soit rie double du diamètre du cercle générateur

de la cycloïde, ce qui donne, d'après les propriétés connues de cette courbe, r = 20^ et substituons la /jMûBk valeur de ds dans l'expression (n) dedt; nous aurons

dt = - 1 i/l -jL=i

d'où l'on tire, en intégrant^

Nous n'ajoutons pas de constante, parce que nous supposons que l'on compte le temps t de l'origine du mouvement, ce qui donne / = o quand z=:h.

Si Ton nomme ^ T le temps que le mobile emploie à descendre au point le plus bas de la courbe, z étant nul en ce point, on aura

T= y^arcCcos = ^ i) =7r y/^.

Le temps de la chute par l'arc de cycloïde est donc égal à la demi • oscillation du pendule dont la longueur serait r, et dont l'écart de la verticale serait très-petit. C'est ce qui doit résulter en effet de ce qu'au point le plus bas l'arc dt de la cycloïde se confond avec l'arc infiniment petit du cercle osculateur dont le diamètre est vertical et égal à 2 r.

Il est un autre problème du même genre que celui que nous venons de résoudre, et qui a longtemps exercé la curiosité des géomètres du dernier siècle, c'est de déterminer la courbe que doit suivre un corps pesant pour parvenir d'un point donné àun autre dans

le temps le plus court. Ils ont trouvé que cette courbe, qu'on a nommée hrachjrstochrone^ ou ligne de plus vite descente j était encore une cycloïdedontrorigine était au point le plus élevé.

18. Considérons maintenant le mouvement d'un point parfaitement libre qui est soumis à Faction de forces accélératrices données, et proposons-nous de déterminer l'expression de la force centrifuge dans les différents points de la trajectoire.

Supposons, pour plus de simplicité, que l'orbite décrite est une courbe plane, et que les forces qui agissent sur le mobile se réduisent à deux y et tt dirigées, l'une suivant le rayon vecteur r, l'autre perpendiculairement à ce rayon. Soit V la vitesse du mobile en un point donné de l'orbite, p le, rayon de courbure qui lui correspond, et è l'angle que forme le rayon vecteur ravec la direction de la normale; les deux forces (f et TT, multipliées respectivement par le sinus et le cosinus de l'angle e^, exprimeront les composantes de ces forces suivant le rayon de courbure, et comme le point est entièrement libre, ces deux composantes devront faire équilibre à la force centrifuge, puisque son action ne peut être détruite par la résistance de la trajectoire. Il faudra donc (n** 16) égaler la somme de ces deux forces, dont la plus grande doit toujours être supposée dirigée vers le centre de courbure, à \dL force centrijugey c'est-à-dire au carré de la vitesse divisé par le rayon de courbure, on aura ainsi :

9 cos(? -I- TTsinc? = — [a)

Si Ton nomme ^^ l'élément de la courbe décrite par le mobile dans Tinstant df^ ^ sera le carré de sa vitesse, et si Ton désigne par v Tangle que forme le rayon r avec une droite fixe, il est aisé de voir qu'on aura

H dr ^ rdu

smc? = 3-9 COSC? = -ras as

L'expression du rayon de courbure, en coordonnées polaires, donne d'ailleurs, en supposant ds constant,

I dv^ / j 2c//'» rd^r\ J~d?y "^~S^ dt^j'

En substituant ces valeurs dans l'équation (a), on aura

Si les forces ç) et tt sont données, cette formule, en y substituant pour dt sa valeur déduite des équations du mtmvement, fera connaître la relation qui doit exister entre le rayon vecteur r et la variable p, et par conséquent l'équation polaire de l'orbite décrite par Je mobile. Si au contraire la nature de l'orbite est déterminée d'avance, on pourra en conclure]laloi de la force accélératrice en vertu de laquelle cette[|courbe est décrite.

Supposons, par exemple, que la trajectoire soitfune

courh^ elliptique, et que la force qui la fait décrire

soit dirigée vers le foyer de la courbé et varie avec la

distance du point mobile au centre d'attraction. H

s'agit de déterminer la loi de ces variations.

On aura d'abord, dans Thypothèse précédente, 7r = o. La quantité^ r^dif exprimant le petit secteur décrit par le mobile dans l'instant dt, on aura ensuite, par la théorie des forces centrales, rdv=zc dtj en désignant par c une constante arbitraire qui dépend des circonstances initiales du mouvement. La formule {b) deviendra ainsi

L'équation de l'ellipse, en désignant par a le demigrand axe, et par e l'excentricité, donne

I I -h e COSt'

r fl(i — c»)

Si l'on difïérentie cette équation, en regardant ds^ comme constant, on trouve aisément

I idr"^ d^r i

La valeur précédente de y, en faisant, pour abréger, h = -7 ;rî devient ainsi

c'est-à-dire que la force centrale qui fait décrire au mobile une courbe elliptique, croit en raison inverse du carré de sa distance au foyer d'attraction. Cette loi est, comme on sait, celle qui préside aux mouvements des corps célestes, et c'est par un calcul semblable au précédent que Newton la démontra le premier d'une manière rigoureuse. Nous montrerons,

DU SYSTÈME DU MONDE. Si

dans le livre suivant, comment on peut parvenir, par une analyse plus directe et plus simple, à déterminer la loi des forces qui maintiennent les planètes, les comètes et les satellites, dans leurs orbites autour du Soleil ou des planètes principales, mais nous avons voulu faire voir en passant combien les théorèmes d'Huyghens sur la force centrifuge avaient aplani les voies de cette grande découverte.