Après avoir considéré le mouvement d'un point

matériel dans les trois cas qui peuvent se présenter,

c'est-à-dire lorsqu'il est libre, et lorsqu'il est astreint

à demeurer sur une courbe ou une surface donnée,

nous allons, pour terminer ce chapitre, résoudre une

question très-importante dans la théorie du système

du naonde: Nous nous proposerons de déterminer

rattraction qu'une couche de figure sphérique exerce

sur un point situé dans l'intérieur ou à l'extérieur de

sa surface, en supposant cette action en raison inverse

du carré des distances.

Soit a la distance du centre de la couche au point attiré; si Ton joint par une droite ces deux points, il est évident que tout étant symétrique autour d'elle, Taction totale du sphéroïde sur le point attiré sera nécessairement dirigée suivant cette ligne. Nommons " r/m l'un quelconque des éléments du sphéroïde, et

soit f sa distance au point attiré ; -7^ exprimera l'action que l'élément dm exerce sur ce point suivant la droite f, et en nommant y Fangle que forment entre

elles les deux droites f et a, -^ cosy sera la com- 1. 6

posante de cette action parallèle à cette dernière droite. Soit donc A l'attraction totale que le sphéroïde exerce sur le point attiré, on aura

/dm

cosy;

le signe intégral se rapportant à Télément dm et aux quantités qui varient avec lui, et devant être étendu à la masse entière du sphéroïde.

Cela posé, soit r le rayon mené du centre du sphéroïde à l'élément rf/n, ô l'angle que forme ce rayon avec la droite a, et « l'angle que forme le plan passant par ces deux droites, avec un plan fixe quelconque passant par la droite a. L'élément dm peut être considéré comme un petit parallélipipède rectangulaire dont les trois dimensions sont rfr, vdQ et rsinôrfw; en supposant donc, pour plus de simplicité, la densité du sphéroïde constante, et égale à Tunité, on aura dm =/•* dvd^ dtù sin0; on aura ensuite, en considérant le triangle formé par les trois droites a, /i r,

j^ z=i ar -^ aarcosô -h r*, cosy = j

L'expression précédente de A deviendra donc ainsi A =/r» dr dus de sin ô- "LzJ:^.

Pour étendre la valeur de A à la masse entière de la couche, il faut intégrer, i** par rapporta r, depuis la valeur de ce rayon à la surface intérieure, jusqu'à sa valeur à la surface extérieure; t? par rapport à w,

depuis 0) = o jusqu'à « égal à la circonférence ; 3® enfin relativement à 6, depuis 0 = o jusqu'à Q égal à deux angles droits.

On peut donner une autre forme à l'expression précédente. En eflfet, si l'on différentie par rapport à a la valeur de/, on a

on aura donc

A = —Sr*drdtùdQ%inQ-r-.,

OU bien, comme les variables r, <*) et 6 sont indépendantes de a^

j r r^drdtùdBsïnB

di '

d'où il suit qu'on aura l'action entière du sphéroïde sur le point attiré, en différentiant, par rapport à a^

r^drdvidB smB T

tielle par da.

Faisons, pour abréger,

l'intégrale i — ^-^^ — ' — ? et en divisant sa différen

dB sin 0

Si l'on intègre celte formule par rapport à q, depuis «= 0 jusqu'à fù = niZj n étant la demi-circonférence

dont le rayon est l'unité, on aura

r r^ dr ilB sinB V = 2;rj y

Pour intégrer maintenant par rapport à 0, remarquons que la valeur de ^difFérentiée relativement à cette variable, donne

/ ar ^ ^

d'où il résulte, par conséquent,

L'intégrale relative à 6 doit être prise depuis 0 = 0 jusqu'à 9 = 7r; à ces deuf limites on a^^ = {a — r)^ ety^* = (a + r)^ , ce qui donne, en remarquant que/ doit toujours être positif, y = r — a et y= a -h r, dans le cas où l'on a r> a, c'est-à-dire dans le cas où le point attiré est placé dans l'intérieur de la couche sphérique; y=a — rety=^-hr, dans le cas où l'on à r < rt, c'est-à-dire dans le cas où le point attiré est extérieur au sphéroïde. Ainsi dans le premier cas on aura

V = l\n Jrdr^

et dans le second

La différentielle de V, prise par rapport à a, et divisée par da^ donnera, comme nous l'avons vu, en

changeant son signe^ Tattraction du sphéroïde sur le point attiré; or la première des formules précédentes, étant indépendante de a, donne

d'où il faut conclure qu'un point placé dans V intérieur dune sphère creuse n'en éprouve aucune action^ ou, ceqmremnt au même, qu'il est également attiré de toutes parts.

La seconde des mêmes formules, difïérentiée par rapport à a^ donne

da If* ''

Soient / et V les rayons des surfaces intérieures et extérieures du corps attirant; en intégrant Texpression précédente depuis r=/ jusqu'à r=/', on aura

rfV __ 47r , .,3 ,3. ^

c'est la mesure de la force attractive qui agit sur un point extérieur au sphéroïde, suivantla droites. Mais» si Ton désigne par M la masse de la couche sphérique dont l'épaisseur est /'— /, M sera évidemment égal à la différence des deux sphères dont les rayons sont / et /'; on aura donc

et, par conséquent,