m [xdz -^zdx)T=z cUt

La différentielle xdj — jdx représente le double de Taire décrite autour de Torigine des coordonnées pendant l'instant dt par la projection du rayon vecteur de m sur le plan des x et des y ; les différentielles Tdx — xdz et ydz — zdj sont le double des aires décrites pendant le même instant par les projections de ce rayon vecteur sur les plans des xz et à&&yz. Les premiers membres des équations précédentes représentent donc la somme des aires tracées par les projections, des rayons vecteurs des différents corps du système sur chacun des plans coordonnés, multipliées respectivement par les masses de ces corps; cette I. 7

gS THÉORIE ANALYTIQUE

somme est par conséquent proportionnelle à rélément du temps, et dans un temps fini, elle est proportionnelle au temps. Ce théorème constitue la loi générale du mouvement qu'on a nommée principe de la conserwztion des aires.

Lorsque la seule force qui agit sur le système, est f attraction mutuelle des corps qui le composent, et que par conséquent la force F est nulle, on peut choisir arbitrairement l'origine des coordonnées, et le théorème que nous venons d'énoncer a lieu pour tous les points de l'espace. Dans les deux cas, le principe des aires subsiste pour tous les plans que l'on peut mener par le point que l'on a pris pour Torigine des coordonnées.

Les aires décrites par les projections des rayons vecteurs de w, m\ m", etc., sur chacun des plans coordonnés, sont évidemment les projections sur ces plans des aires décrites dans l'espace par ces mêmes rayons. Ces projections changent de valeur selon la direction des plans coordonnés; et comme nous venons de voir qu'on pouvait choisir ces plans à volonté, il y en a nécessairement un pour lequel la somme de ces projections, multipliées respectivement par les masses m, m', m", etc., est un maximum. Proposonsnous de déterminer ce plan.

Soient /, /', Z", les angles qu'il forme respectivement avec les trois plans coordonnés ; désignons par L la somme des aires tracées sur ce plan pendant l'unité de temps, par les projections des rayons vecteurs des différents corps du système, et multipliées respectivement par leurs massés, somme que nous supposons

être la plus grande possible. On aura, par les pro* t priétés connues des projections,

2, m [xdjr — jdx) = Ldt cos/^ I.m{zda: — jcdz) = Ldt cosl\ l.m{jdz — zd)r) = Lrf/ cos/".

£0 substituan t aux premiers membres de ces équations leurs valeurs cdt^ c'dt^ c" dt^ on aura trois nouvelles équations^ d'où l'on tirera d*abord

et ensuite

cos/ = » co^V =

fe)

Les angles /, V ^ l\ sont donc constants par rapport au temps /, et le plan principal de projection reste toujours parallèle à lui-même pendant toute la durée du mouvement, quels que soient les changements survenus dans les positions respectives des corps du système. C'est à cause de cette propriété remarquable que ce plan a été nommé plan ins^ariable. Il existe un plan semblable dans tout système de corps qui ne sont soumis qu'à leurs actions mutuelles et à une force dirigée vers le centre des coordonnées. La considération de ce plan peut donc être de la plus grande utilité dans la théorie du système du monde, parce qu'il sera kc\\e de retrouver dans tous les siècles sa position^ et

qu'on aura ainsi un plan stable auquel on pourra rapporter celle des corps célestes.

Il est aisé de fixer à chaque instant la position du plan principal deprojection, lorsqueTon connaît, pour cet instant, les coordonnées de tous les corps du système, et les vitesses dont ils sont animés, suivant les axes de ces coordonnées. En efFet, soient x, y^ z, les

coordonnées de m dans un instant donné ; -^> -^, -4,

^ dt dt ^ dt^

les composantes de la vitesse dont ce corps est animé, dans le même instant; x'. r', ^y -r-' -r-? -r-» les

' ^ •/ ' ^ dt dt dt

coordonnées et les vitesses correspondantes de m', et ainsi de suite ; on aura, pour les valeurs des trois constantes c, c', c".

Si Ton prend le plan invariable déterminé par les équations (g), pour Tun des plans coordonnés, pour celui des x et des jr par exemple, les angles /' et V seront chacun de 90** ; on aura donc alors cos/' = o, cosZ" =0, ce qui exige que & et c" soient nuls. Les deux quantités \ c', \ d\ multipliées par le temps t^ représentent les sommes des aires tracées par les projections des rayons vecteurs des différents corps du système sur les plans des xz et des/2, et multipliées respectivement par leurs masses. Le plan invariable jouit donc encore de cette propriété singulière, sa-

DU SYSTÈME DU MONDE. loi

voir : que cette somme est nulle par rapport à tout plan qui lui est perpendiculaire, puisque la direction des aïes des x et des jr est arbitraire. Il est donc naturel de choisir ce plan pour Tun des plans des coordonnées, de même qu'on rapporte ordinairement leur origine au centre de gravité du système, l'égalité à zéro ' des deux constantes & et c" devant rendre en effet les équations dans lesquelles entrent ces constantes beaucoup plus faciles à traiter. Nous en verrons bientôt des exemples.

24. Les principes de la conservation des aires et du mouvement du centre de gravité dérivent naturellement des équations (B), dont ils ne sont, pour ainsi dire, qu'une simple traduction ; , mais i] existe une autre loi générale de mouvement, nommée principe de la conservation des forces vives ^ qui, n'étant plus comprise dans ces équations, exige que, pour la démontrer, on considère sous un nouveau point de vue le mouvement d'un système de corps.

A cet efifet, nous remarquerons que si, aux forces qui sollicitent l'un quelconque des corps qui le composent, on ajoute les réactions qu'il éprouve de la part des autres parties du système, considérées comme des forces qui agissent sur lui, on pourra faire ensuite abstraction du reste du système, et les mouvements de ce corps seront déterminés par les équations que nous avons trouvées pour les mouvements d'un point matériel libre.

Soient donc mX, /wY, mZ, les composantes des

forces qui agissent sur m, ces forces étant estimées comme nous venons de le dire; soient de même/n'X', m'Y', m'Z', les forces qui agissent sur m', et ainsi de suite. O» aura, pour déterminer les mouvements des corps iw, m', m'*^ etc., le système d'éçiatîons différentielles suivant :

d^x dy d'^z

Maintenant^ si Ton multiplie Téquation en a: par adx^ l'équation en j" par ^djTj l'équation en z par 2dzy puis l'équation en x* par a^ir', et ainsi de suite, qu'on ajcHite ensuite les équations résultantes, et qu'on intègre leur somme, on aura

l,m .\. = c-h22.//»(Xd:r4-Trf/ + Zrf2), (p)

c étant une* constante arbitraire.

Si la quantité 2. rw (Xrfx -h Yrf/ -h Zcfe) est la différentielle exacte d'une fonction des coordonnées jCj jr^ z, a/j jr\ z', etc., que nous désignerons par f (jc, jr^ Zj xf^j'j z'j etc.), le second membre de l'équation précédente s'intégrera immédiatement ; et en nommant v la vitesse du corps f/i, on aura