mv^=:c -h a(p(.r, j, z, ar',y, z% etc.). [q

Cette équation est semblable à celte que nous avons

DU SYSTÈME DU MODIDE. lo3

trouvée n^ 13 en considérant le mouvement d'un point matériel isolé, elle conduit à des résultats analogues.

On appelle yôrce vive d'un corps le produit de sa masse par le carré de sa vitesse. Il résulte de l'équation précédente que si le système que l'on considère n'estsollicité par l'action d'aucune force accélératrice, la somme des forces vives des corps qui le composent, ou la force vive totale du système, est constante, et que, s'il est sollicité par des forces quelconques, l'accroissement de la force vive du système, en passant d'un point à un autre, est indépendant des courbes décrites par ces différents corps ; cet accroissement est nul, et la force vive totale redevient la même toutes les fois que le système reprend la même position. Ce théorème constitue la loi de mouvement qu'on a nommée principe de la conservation des forces vives.

L'équation (^), d'où l'on déduit le principe que nous venons d'établir, suppose que la fonction 2.nî(X//ar-f- Yrff--+- Zcfe)estunedifFérentielleexacte. . Cette condition est remplie, ainsi que nous l'avons fait voir n** 15, lorsque les composantes X, Y, Z, etc. , proviennent de forces attractives dirigées vers des centres fixes, et représentées en intensité par des fonctions de leurs distances à ces centres. Elle le serait encore si ces composantes résultaient de l'attraction mutuelle des diflik'ents corps du système, cette attraction étant supposée s'exercer proportionnellement aux masses, et suivant une fonction quelconque de la distance.

Pour le faire voir, soit p la distance des deux corps

io4 THÉORIE ANALYTIQUE

m et m* du système, en sorte qu'on ait

/^' = ( ^ - ^r H- (y - jr -f. (z' - z)\

Soit P une fonction donnée de /?, représentant Faction réciproque de deux éléments des masses meinf, cette force étant dirigée suivant la droite qui joint ces points; m'P sera la force accélératrice de m provenant de l'action m'; r/iP, la force accélératrice de m' provenant de l'action m, La première donnera, suivant les axes des Xj des jr et des z, les trois composantes

dx dy dz

la seconde, les trois composantes

-mV%. -inP% -mV^r .

dx! dy dz'

En ne considérant donc que l'action mutuelle de m et m\ on aura ^

'L.m[XdX'^Ydf'\'Zdz) = ^mm! Pdp,

quantité qui est une différentielle complète, puisque P est fonction de p.

Ainsi l'équation (ç), et le principe des forces vives que nous en avons déduit, ont lieu dans le mouvement de tout système de corps soumis à leurs actions mutuelles et à des attractions dirigées vers des centres fixes^ ce qui comprend à peu près toutes les forces de la nature, et notamment celles qui animent les corps célestes. Le principe des forces vicies ne subsis-

DU SYSTÈME DU MONDE. io5

terait plus si quelques-uns de ces corps se mouvaient dans des milieux résistants^ ou s'ils étaient attirés vers des centres mobiles.

25. Il nous reste à démontrer une dernière loi gé* nérale qui s'observe dans le mouvement d'un système de corps, et qu'on a nommée principe de la moindre action. Pour cela, reprenons l'équation (/?); en la différentiant par rapport à la caractéristique (?, on aura