Wi;(Ji; = 2.771 (X(?x-f-Y(?j -hZtJz

Mais si, après avoir multiplié les équations (771), la première par ixj la seconde par d^, la troisième par iz^ et ainsi de suite, on les ajoute, on trouve

Partant,

Soient ds l'élément de la courbe décrite par m^ ds' 1 élément de la courbe décrite par 771', etc., on aura

ifdt=idsy ds= sjdx^ -h dj^ -f- éfe*.

v'dt = ds', ds'= sjdx'^ + df^ -+- dz'^y Par conséquent

io6 THÉORIE AJSALYTIQUË

M^is en diiïerentiant Texpressioo de dsy ou a

dt dt dt ^ dt

Et comme les caractéristiques â et d sont indépendantes,

Ajoutons les deux équations (r?) et (è), en remarquant que

on aura

2, m â,vas = l.mdJ -.-^ j ;

et en intégrant, ce qui revient à supprimer la caractéristique rf devant la parenthèse.

Les points extrêmes des courbes décrites par les corps du système étant supposés fixes, les valeurs de ùx^ iy^ &Zj qui s y rapportent, 'sont égales à zéro; on a donc alors

2 ^.ffnvds = o;

c'est-à-dire que la fonction 2./ mi^rf^ ou 2./ mi'^rf^ est un minimum; ce qui constitue le principe de la

moindre action dans le mouvement d'un système de corps. Ce principe, qu'on avait longtemps cherché à déduire de considérations métaphysiques, résulte directement, comme on voit, des équations différentielles du mouvement, et Ton peut l'énoncer ainsi : La sommedes forces vives d'un système decorps, pendant le temps qu'il emploie à passer d'une position à une autre, est un minimum. C'est-à-diré que dans la nature un système de corps est transporté d'un point à un autre en dépensant la moindre quantité possible de forces vives. Si les corps ne sont sollicités par aucune force accélératrice, la force vive du système, pendant un temps déterminé, est proportionnelle à ce temps; ce système parvient donc alors d'une position donnée à une autre, dans le temps le plus court.

26. Nous avons, jusqu'ici, regardé comme fixe l'o-^ rigine des coordonnées auxquelles nous rapportions la position des corps du système, dont nous considérions les mouvements; mais il est aisé de démontrer que le principe de la conservation des aires, celui de la conservation des forces vives, et celui de la moindre action, auraient encore lieu en supposant à cette origine un mouvement rectiligne et uniforme dans l'espace. En effet, soient x, Y, z, les coordonnées de cette origine mobile, par rapport à un point invariable quelconque, pris pour l'origiae des coordonnées x^ 7, 2, x\ f, 2', etc.; si l'on désigne par J:„jr,, z,, oc'^^ y,, z'p etc., les coordonnées des corps m, m'y m", etc.,^

io8 THÉORIE ANALYTIQUE

relatives à la première origine , on aura

Différentions deux fois ces valeurs, et substituons les valeurs résultantes dans les six équations (B). Les trois premières deviendront

(dH + dW

Mais en vertu du mouvement rectiligne et uniforme supposé à Torigine des coordonnées, on a

d^\ ûPy d^z

Les trois équations précédentes se réduisent donc à celles-ci :

d^JC, „ dW, ^ d% „

dt* ' dt^ ' di^

Effectuons les mêmes substitutions dans la quatrième des équations (B). On aura d'abord

— ■ ■ ■ -f- Ji , Tii r—

de* dt*

— l.m{Yx^ — Xjrj + x2./7iY — Y2.mX;

équation qui , en vertu des trois précédentes, se réduit à

On trouvera de même

Les six équations qui déterminent le mouvement dun système de corps, conservent donc absolument la même forme, soit qu'on suppose fixe ou mobile Vorigine des coordonnées; il en serait de même des équations (m) du n^ 24; on pourra donc, dans les deux cas, en déduire par les mêmes raisonnements, les principes de la conservation des aires et des forces vives, ainsi que le principe de la moindre action.

Voyons maintenant ce que devient, par cette transposition de l'origine des coordonnées, le plan que nous avons nommé plan ins^ariable. Pour cela, reprenons les trois équations (E) n** 25^ dont la considération nous a conduits à la découverte de ce plan ; si, dans ces équations, on substitue pour jc, j^ 2, leurs valeurs (o), en remarquant que par Thypothèse du mouvement rectiligne de l'origine, on a

xrfY — Yrfx = 0, XC?Z — Zrfx = 0, zrfY — Ye/z = o; on trouvera

l.m {z^ dx^ — x^ dz^) = & dt, l.m[r,dz,-^z,djr,) =c'dt.

Les trois constantes c, c', c", déterminent la posi-

iio THÉORIE ANALYTIQUE

tion du plan invariable; d'où Ton peut conclure que ce plan conservera toujours des directions parallèles pendant le mouvement de l'origine des coordonnées.

Nous avons vu que lorisque le système n'est soumis à l'action d'aucune force étrangère, le centre de gravité était transporté dans l'espace d'un mouvement rectiligne et uniforme; il suit donc de ce qui précède, que si l'on fixe à ce centre l'origine des coordonnées, les principes de la conservation des aires et des forces vives auront encore Heu par rapport à cette origine, et le plan invariable, passant constamment par ce point, sera emporté avec lui dans le mouvement général du système, en restant toujours parallèle à luimême.

Le principe de la conservation des aires et celui des forces vives peuvent se réduire à de simples relations entre les coordonnées des distances mutuelles des différents corps du système. En effet, prenons pour origine des coordonnées le centre de gravité du système; les trois équations (E), n^ 23, peuvent s'écrire ainsi :

:^.mm^[{y ^X)(dz^ ^ dz) ^(z^ ^ z)idy ^dy)]

équations qui ne dépendent que des coordonnées des distances mutuelles des corps.

DU SYSTÈME DU MONDE. m

Les premiers membres de ces équations représentent la somme des aires tracées sur chacun des plans coordonnés par les projections de la droite qui joint deux corps du système, dont Tun est supposé se mou* voir autour de l'autre regardé comme immobile; chaque aire étant multipliée par le produit des deux masses que l'on considère, et divisée par la somme des masses du système.

Il suit encore de ces équations, que le plan qui passe par l'un quelconque des corps du système, et par rapport auquel la fonction précédente est un maximum, est parallèle au plan passant par le centre de gravité, et que nous avons uornixié plan maximum des aires. Ce nouveau plan reste également toujours parallèle à lui-même pendant toute la durée du mou^ vement, et les seconds membres des équations précédentes sont nuls par rapport à tout plan passant par le même corps, et qui lui est perpendiculaire.

On peut donner à l'équation (p)-du n^ 24 cette forme,

= const. — 2l.m,l.jmm'Fdj, )

Le premier membre de cette équation exprime le carré des vitesses relatives des corps du système les uns autour des autres, en les considérant deux à deux, et en regardant l'un des deux comme immobile, chaque carré étant multiplié par le produit des deux masses que l'on a considérées.

Nous terminerons ce chapitre par une remarque

lia THÉORIE ANALYTIQUE

importante sur rextension à donner aux quatre principes que nous venons de développer. Celui de l'uniformité du mouvement du centre de gravité et celui de la conservation des aires subsistent quelle que soit Faction que les corps du système exercent les uns sur les autres, même en se choquant, ce qui les rend très-utiles dans beaucoup de circonstances. Mais il n'en est pas de même du principe de la conserva* tion des forces vives, et de celui de la moindre action ; pour qu'ils puissent subsister, il faut que les variations des vitesses des différents corps du système s'opèrent par des nuances insensibles ; ils n'auraient plus lieu si le système éprouvait quelque brusque changement dans ses mouvements, soit par l'action mutuelle des corps qui le composent, soit par la cencontre d'obstacles extérieurs.

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