CHAPITRE V

DU MOUVEMENT d'DN CORPS SOLIDE.

27. Les six équations que nous avons trouvées dans le chapitre précédent, pour déterminer les mouvements d'un système de points matériels liés entre eux d'une manière quelconque, peuvent aisément s'étendre au cas où ce système forme un corps solide. En effet, il suffit alors de supposer que les distances mutuelles des parties du système sont inaltérables, et de substituer aux masses /n, m\ m!\ etc., les éléments infiniment petits du corps que Ton considère.

Soit donc fi?/w un de ces éléments; désignons par X, Y, Z, les forces accélératrices qui agissent sur lui, parallèlement aux trois axes de ses coordonnées rectangulaires Xj y^ Zj et remplaçons dans les équations (B) du n° 21 , le signe 2, qui désigne des intégrales finies, par le signe S, relatif aux intégrales ordinaires ; ces équations deviendront

S.'^dm = S.Xdm,

S.^cim^S.Ydm, S,^dm=S.Zdm,

S.Ç^^f^jJ^^ dm = S.\{zX ~ xZ) dm, ^(^Z£l=j£l.\^dm^%,{yZ-zX)dm',

Ii8 THÉORIE ANALYTIQUE

a^ by c^ a'j If y d^ d\ b'\ c\ les équations de condition suivantes :

h^ 4. è'* -4- b""" = 1, ac H- dd + aV = o, c« + c'» H- c'» = I, *c -H A'c' H- 6V = o.

Réciproquement, pour déterminer x\ y\ z\ en fonction de jc, j, z, on aura

x' = ax-^ay -^ a"Zj \

y^zbx-^by-hb'x ! (2)

2' = ca: -h c^ -4- c"z. ]

U'où il est aisé de conclure que les coefficients a, a\ a!\ etc., sont encore liés entre eux par les six équations

a* -+- A' -+• c* = I , aa! -^ bV + cd = o, j a'^^b'^^d^ = 1, aa'+bb'' ^cd' = o, Un)

a'^^^b^^-hd^^^^i, i^a"^b'b''hdd' = o. ]

Ainsi donc, des neuf quantités a^ by c, a% b\ c\ a% b"y d'j trois seulement sont arbitraires, et les six autres peuvent être regardées comme déterminées par les équations de condition (m), ou les équations (/i) qui leur sont équivalentes.

Enfînç ^, par le procédé ordinaire de l'élimination, on tire des équations (i) les valeurs de x'^ y' et z', en fonctityn de jc, y et z, et qu'on les compare à celles de ces coordonnées qui résultent des équations (a).

on aura, entre ces mêmes quantités, ces nouYelles relations,

a = b'c' ^ h"c', cC = b"c - bc% a" = bc' - b'c, \ b = d"c'-'a'c", h=ac"^a"c, b" = a'c--ndA (/) c = a'b"-a"b\ c' = a"b'^ab\ c"=zab'^a'b. ]

Comme il n'y a que trois des coefficients a, 6, c, a\ b\ c\ a*"^ b'\ c'\ d'indéterminés, il est souvent plus commode d'expfimer ces neuf quantités en fonction de trois autres indépendantes entre elles. En effet, la position des trois plans que forment les axes des nouvelles coordonnées, est déterminée lorsqu'on connaît l'inclinaison d'un de ces plans, de celui desi af y par exemple, sur celui des xjr^ et les angles que forme avec les axes des x et des x' l'intersection de ces deux plans. En désignant donc par 0 le premier de ces angles, le second par (}^, et le troisième par ç, on trouvera aisément, par les formules de la Trigonométrie sphérique,

cosO sin t|^ sin ç -H cos(|» cosç,

cosÔ sintJ*cos(p — cosij; sin y,

sin d siui{),

cos 6 costj; sin ç — sintj; cos y,

cosô costj» cosç ■+■ sin ^ sinç ,

sin 9 co&iL, -smôsinç, -sin 0 cosç,

cosô.

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