c"(Cr-Fqr-Gp)j ^ £n faisant, pour simplifier
Ap~Gr-.H7 = P, B7-Fr~H/j = Q,
Cr—F9-Gp=R,
ces équations deviennent
aV-^ /;Q+cR=/M dt, \
, Pour faire disparaître les quantités a, A, c, etc., je
-^^^^i*» ^diflférentie ces équations, et je les ajoute après avoir ^-C V^^^oj^ multiplié la première par rt, la seconde par a', la *\ *' ^^^\ troisième par a" ; je trouve ainsi,
$f^ <C\ dv
!^-,QH-<yR = aM + a'M'-Hrz"M^ (i)
Je multiplie les mêmes équations différentielles, Ja première par i, la seconde par b\ la troisième par A" ; je les ajoute ensuite, et j'oKtiens
^H-rP~/?R=6M-}-^'M'-H*"M". (2)
Enfin , j'ajoute les mêmes équations , après avoir multiplié la première par c, la seconde par c\ la
troisième par d\ et je trouve
^yP + pQ = cM + c'M'-+-c"M". (3)
Ces trois équations, qui ne sont qu'une simple transformation des équations. (A), serviront à déterminer complètement le mouvement de rotation du corps. Leur intégration donnera les valeurs des quantités ^, q^ r, et en les substituant dans les équations (/9), ces équations, réunies aux six équations de condition (m), donneront, par une nouvelle intégration, les valeurs des neuf variables ^, i, c, a', h\ c', a", h'\ c" . On connaîtra donc, à chaque instant, la direction des axes mobiles des ,r', des j*' et des £'; et comme leur situation dans l'intérieur du corps est supposée donnée, la position du mobile sera entièrement déterminée.
50. Nous avons, jusqu'ici, regardé la position décès trois axes dans Tintérieur du corps, comme entièrement arbitraire, et nos formules ont, à cet égard, toute la généralité possible; mais les équations (i), (a), (3) prennent une forme beaucoup plus simple, et qui facilite leur intégration dans un grand nombre de cas, lorsqu'on dispose des quantités a, h^ c, a\ b\ c\ «", è", c" ^ dont trois sont restées indéterminées, n^ 28, de manière à satisfaire aux équations suivantes :
ce qui est toujours possible, comme nous le verrons tout à l'heure. La position des axes des ^', des y et
f24 THÉORIE ANALTTIQUE
des 2' est alors entièrement fixée, et ces axes s'appellent axes principaux du corps. Dans ce cas, les trois quantités F, G, H, étant nulles, on a,P = A/?, Q = Bqj R = Cr, et les équations (i), (a), (3) se réduisent aux suivantes :
A ^ -H (G - B) ^r = rz IVH- a' M'H- a''M''
B^ + (A--C)rp = *M-h6'M'-f-^"M", [ (B)
C J ^- (B - A)/^=:cM H- c'W-hc^W
Nous avons désigné par M, M', M'', la somme des moments respectivement relatifs aux axes des x^ des jr et des z, des forces accélératrices qui agissent sur chacun des éléments du corps. Par une propriété connue, on aura la somme de ces mêmes moments rapportés aux axes des x\ des y et des z', en ajoutant les trois quantités M, M', M*", après les avoir multipliées par les cosinus des angles que forment respectivement les nouveaux axes avec les premiers. En nommant donc N, N', N", ces trois sommes, on aura
Les trois équations (B) deviendront ainsi, Adp'h{C — B)qrdt = TH rît, \ Bdq-h{k^C)rpdt = '!i'dt, j (G)
G'est sous cette forme que nous emploierons ces
DU SYSTÈME DU MONDE. i25
équations, dans la recherche des mouvements de rotation des corps célestes.
Ces trois équations donneront, en les intégrant, les valeurs des trois inconnues /?, ç, r, et celles-ci feront connaître ensuite, comme nous l'avons dit n^ 29, la direction dans l'espace des trois axes principaux qui passent par l'origine des coordonnées, et, par conséquent, la position du corps. Mais, au lieu de recourir, pour cela, aux équations (p), et aux équations de condition (m), il est plus simple de substituer dans les premières pour a, by c, etc., da^ dby etc., leurs valeurs eu fonction des trois quantités indépendantes 9, ^^ 0, données n® 28, de manière à n'avoir plus qu'un seul système d'équations à considérer. On trouvera ainsi, après quelques réductions,
sinç sin0 rftj^ — cos<p rfô =/7r/^, j COS9 sinô dif -H sinç dô = qdt^ > (c) d(f — cosô d^ = /y//, J
et Ton déterminera par ces équations les valeurs des trois angles y, i|^, 0, lorsque celles de p, ç, r seront connues.
En substituant les mêmes valeurs dans les expressions des trois quantités N, N', N", elles deviendront des fonctions des angles ç, 4'? 6- I^^ recherche du mouvement d'un corps solide, de figure quelconque, autour d'un point fixe conduit donc finalement à six équations différentielles du premier ordre entre les six indéterminées p, 9, r, ç, ^|^, B et la variable t. En
éliminant les trois premières quantités, au moyen des équations (c) et de leurs diflérentielles, on n'aurait plus à considérer que trois équations différentielles du second ordre entre les trois angles ç, i'» ^ et le temps t. C'est souis cette forme que d'Alembert a donné les équations du mouvement de rotation ; mais il est plus simple de s'en tenir aux six équations du premier ordre (C)et(c).
