Les trois équations (C) supposent que l'on a
S.ûc'y dm = o^ S.j'z' dm=zo^ S.a:'z' dm = o. (o)
Nous allons démontrer qu'il est toujours possible de déterminer les trois angles 9, ^^ d qui fixent la position des axes des x% des y et des z' par rapport aux axes fixes des .r , des jr et des 2, de manière à satisfaire à ces trois conditions. En effet, si dans les équations (2) qui donnent les valeurs des coordonnées x\ f et 7! en fonction des coordonnées x, jj z^ on substitue pour a, Z>, c, etc., leurs valeurs en qp, tj^, 0, on aura
x' =1 X (cos6 sinij; siny -4- cos^j^ cosç) -i- j* (cosô cos^psinip — sini|; cosç) — zsinôsin y,
y •=.x (cosô sincj^ cosf — cosij^ sinç) -h y (cos0 cos({; cosç -f- sini|; sin ç) — z sinô cosq?, 7I z=z X sin 6 sin 4» 4-/ sin ô cos^ -f- z cosô.
Si Ton substitue ces valeurs dans les trois équations (o), et qu'on fasse, pour abréger,
A=:S.(r'H-»')e//n, B=S.(x' + zV«^ C = S.{a:=' -l-rV'w,
les six quantités A, B, C, F, G, H étant des constantes qui dépendent de la nature du corps et de la direction des axes des x, des y et des z, que Ton a choisis arbitrairement, il est facile de se convaincre que ces équations prendront la forme suivante :
sin2f.L-f-cos2ç.M = o, \ cos ç.N — sin 9 . P = o, ( (9) sin 9.N+ cosç.P = o; j
L, M, N, P représentant des fonctions des angles i|;, 5, et des constantes A, B, G, F, G, H, indépendantes de l'angle ç>.
La première de ces équations détermine l'angle y, et il est évident que les deux autres ne peuvent avoir lieu en même temps, indépendamment de toute valeur donnée à ç, à moins qu'on n'ait séparément
Si l'on met à la place de N et de P les valeurs que ces lettres représentent, on aura les deux équations suivantes :
2 sin 2 0 (A sin' ^ — 2H sin\p cos^l/ -h B cos' ^ — C) \
— cos2 0(FcosiI;-f- G sin \p) = o, ( / v
sin0[(A— B)sin^^cos^(;--H(cos'^^ — sin^Ap)] \ ^ ^
-+- COS0 (F sin\|* — Gcosi(;)=r o. J
Ces équations serviront à déterminer les angles ô et ^|^. Si l'on tire de la première la valeur de tangaô, de la seconde celle de tangd, et qu'on les substitue dans la
formule
^ 2 tang Ô
que, pour abréger, on fasse tang<|; = «, ce qui donne
sin <b = , ) cos<l;= , »
après les réductions convenables, on trouvera Féqua- .tion suivante du troisième degré :
[(A-B)w-H(i - w»)][(AF-CF-+.GH)m - BG -+- CG - FH] - (Gtt -H F) {Fu - G)^ = o.
Cette équation donnera au moins une valeur réelle pour 2/; on en tirera une valeur semblable pour l'angle i|;, et en la substituant dans Tune des deux équations (r), on aura la valeur correspondante de 0. Concluons de là qu'il est toujours possible de trouver pour les angles y, tj;, 9 un système de valeurs réelles qui satisfassent aux équations (ç), et que par conséquent il existe dans tout corps solide un système d'axes par rapport auxquels on a
S.x'y dm = o, S.arV dm = o, Syz' dm = o.
L'équation qui détermine u étant du troisième degré, on pourrait croire qu'il existe dans chaque corps trois systèmes d'axes semblables; mais il faut observer que u représente généralement la tangente de l'angle compris entre l'axe des a: et les intersections du plan des xjr^ avec les plans relatifs aux coordonnées x\ y et z% puisque rien n'indique en effet lequel de ces angles on a considéré, et que les équations précédentes sont également satisfaites lorsqu'on change les uns dans les autres les trois axes des a:', des jr' et
des 2'. La valeur de u doit donc être donnée par une équation du troisième degré dont toutes les racines sont réelles, et il n'en résulte généralement qu'un seul système d*axes.
Ces axes, dont on doit la connaissance à Euler, ont été nommés, comme nous l'avons dit, axes principaux; on les appelle aussi axes naturels de rotation^ à cause d'une belle propriété du mouvement qui leur est particulière, et que nous ferons bientôt connaître.
52. On nomme moment d inertie d'un corps par rapporta un axe, la somme des éléments dont ce corps se compose, multipliés respectivement par le carré de leur distance à cet axe. Ainsi les trois quantités que nous avons désignées n® 29 par A, B, C, représentent les moments d'inertie du corps qui se rapportent respectivement aux axes des a:', des y et des z', La valeur du moment d'inertie varie avec la position de Taxe auquel on le rapporte ; mais lorsqu'on connaît les moments d'inertie relatifs aux axes principaux, il est facile d'en conclure le moment d'inertie relatif à un axe quelconque.
En effet, soient comme précédemment a:', y et z'
les coordonnées de l'élément dm relatives aux trois
axes principaux, et soient x^jetz les coordonnées
du même élément rapportées à des axes quelconques
ayant la même origine. Proposons-nous de déterminer
le moment d'inertie relatif à l'un de ces nouveaux
axes, à celui des z par exemple. Si l'on désigne par C
ce moment, on aura
C — S.[x^ -{-y) dm.
i3o THÉORIE ANALYTIQUE
Si Ion substitue dans cette formule pour x eïy leurs valeurs (i), on aura, en vertu des équations (m),
C = (f - a""") S . x'^ dm'i-{j'' b"^) S .y^ dm
-h {i - c"^) S . z'^ dm.
Maisrt"^ 4- b''^ -4- c''^ = i; en substituant pour I — a"^, I — i"^, I — c''^j leurs valeurs, l'équation précédente donnera
Les trois quantités n'\ b'\ c" représentent les cosinus des angles que forme Taxe des z avec les axes des a*', desj*' et des z' : le moment d'inertie d'un corps par rapport à un axe quelconque passant par un point donné, est donc généralement égal à la somme des moments d'inertie relatifs aux axes principaux qui se croisent en ce point, multipliés respectivement par le carré du cosinus que forme avec eux l'axe donné.
Le plus grand et le plus petit des trois moments d'inertie A, B, G seront un maximum et un minimum relativement à tous ceux qui se rapportent à des axes passant par l'origine des coordonnées ^', /', z'. Eu effet, soit A la plus grande et C la plus petite des trois quantités A, B, C ; en mettant i — b"^ — c"^ i\ la place de a"^ dans la valeur de C, on aura
Les différences A — B, A — C sont positives par hypothèse ; donc C! est plus petit que A, quelle que
0C STSniΠDC MONDE i3^i
soit la valeur de 6' et c^. Si I oo doQiK' i b >^)eiir de C cette forme,
on voit au contraire que G est toujours plus grand que C.
Si les deux mometits d'inertie A et B étaient ég;iux« on aurait
Cette valeur ne dépendant que de c\ le moment d'inertie est le même par rapport à tous les axes foi^ mant un même angle avec Taxe des z\ Ia^s momonts d'inertie relatifs à tous les axes compris dans lo plan des ocf y ^ qui font un angle droit avec Taxe des r', sont donc alors égaux entre eux; mais, dans ce cas, tout système d'axes composé de l'axe des 2! et do doux axes perjîendiculaires entre eux et à cet axe, forme un système d'axes principaux, c'est-à-dire quo Ton a, j)ar rapport à ce système,
S.xjr dm = o^ S ,oczd/n = o^ S.^2rf/n=o.
En efifet, si Ton substitue pour JOy y^ z^ leurs valeurs n^ 28 dans ces équations, on a
aa' S.x'^dm -^bb^ Sy^dm-hcc' S.«"^m = o, \ aa" S.x''dm-\-bb"^.yuim-+-cc"S.z''dm:=io, \ {$) a'a" S a:" dm -f- b'b" S j" dm -f- i/c" S.z''dmz=o. )
La supposition de A = B donne
S.x'^dm = S.f^dm.
Les trois équations précédentes, en vertu de» n;la-
i3îÈ THÉORIE ANALYTIQUE
lions (n), peuvent donc s'écrire ainsi :
c& {S.x'^'dm'-S.z'^dm) = o, ce"" {S.x'^dm^ S.z'^dm) = o, c'c"" (S . x'^ dm^S.z'^dm) = o.
On satisfait à ces équations en supposant c = o, c' = o, ce qui donne c" = i . Tous les axes situés dans le plan des x'y sont donc des axes principaux, et le corps a une infinité de systèmes d'axes semblables qui ont tous pour axe commun l'axe des z'.
Enfin, si l'on a en même temps A = B = C, l'équation (A) donnera généralement C = A : tous les moments d'inertie sont donc égaux, et tous les axes du corps sont des axes principaux. En effet, les équations [s) sont alors satisfaites, indépendamment de toute valeur donnée aux quantités a, b^ c, etc. On a donc, par rapport à tout système d'axe rectangulaire passantpar l'origine des coordonnées x\f ^ z\
S.xjdfn= Oy S.xzdm = Oj S.jzdm = o.
Cette propriété appartient à la sphère, l'origine des coordonnées étant au centre; mais elle convient encore à une infinité d'autres solides.
Désignons par x, Y, z les coordonnées du centre de gravité du corps, par x^y ^,, z^ les coordonnées de l'élément dm par rapport à ce point, en sorte qu'on ait x = x,-hXj jr =jr^ -f- Y, z = z, -f- z ; on aura
C = S .[(^, -t- x)^ -H Cr, + ^Y\dm = ^.{x^ ^.J^») dm -^ 2xS.jr,rf//i-|-2YS./,r//?i-f- (x*-f-Y*}S.e/m.
DU SYSTÈME DU MONDE. i33
Mais, parla propriété du centre de gravité, S,x^dm=:Oj S ^jr^ dm = o; en désignant donc par m la masse du corps, par a la distance de Taxe des z, à Taxe des z, on aura simplement
C = S.(jr,^ -f-j,^) dm -+- a^m.
Cette équation donnera immédiatement le moment d'inertie d*un corps par rapport à un axe quelconque, lorsque le moment d'inertie relatif à un axe mené parallèlement au premier par le centre de gravité sera connu. Elle fait voir aussi que le plus petit de tous les moments d'inertie d'un corps se rapporte à l'un des trois axes principaux qui se croisent à son centre de gravité.
33. Les quantités /?, ç, r, introduites pour la première fois par Euler dans les équations du mouvement de rotation, jouissent de plusieurs propriétés qu'il faut faire connaître, parce qu'elles montrent clairement de quelle manière ce mouvement s'effectue.
Les différentielles 3"' ^' 5: expriment, comme on
sait, les composantes parallèles aux axes des a:, des^ et des z de la vitesse dont l'élément dm est animé. Cette vitesse est nulle par rapport aux points du corps qui restent immobiles pendant l'instant dt; en difFérentiant donc les équations (i) n® 28, on aura, pour déterminer les coordonnées a:\ j*', z' de ces.
points,
a/ da -{-j'db -f- z' de — o,
œ' da! -t- j' db' 4- t! de' = o, a:' da" -hf db" -h z' de" = o.
i34 THÉORIE ANALYTIQUE
Si l'on multiplie la première de ces équations par c, la seconde par c\ la troisième par c", et qu'on les ajoute, on aura
Si Ton multiplie ces mêmes équations, la première par i, la seconde par h\ la troisième par V\ qu'on les ajoute ensuite, on aura
TX' — /7Z'=: O.
Enfin, si l'on ajoute ces mêmes équations, après avoir multiplié la première par «, la seconde par a' et la troisième par a!\ on aura
Ces trois équations, dont la dernière résulte des deux autres, sont celles d'une ligne droite passant par l'origine ; tous les points situés sur cette droite restent donc immobiles pendant l'instant rft, et le corps, pendant cet intervalle de temps, tourne autour d'elle comme autour d'un axe fixe.
Cette propriété a fait nommer cette droite axe instantané de rotation. Sa position par rapport aux axes principaux des or', des y et des z\ est déterminée par les trois quantités p^ q^r^ et les cosinus des angles qu'elle forme avec chacun de ces axes sont respectivement exprimés par
V'^Nh^M^ V^^M^^M^' V^/?'4-^'-t-r»'
La vitesse angulaire de rotation autour de Taxe instantané est la même pour tous les points du corps : proposons-nous de déterminer cette vitesse. Pour cela,
DU SYSTÈME DU MONDE. i35
considérous le point situé sur Taxe des z' à une distance de l*origine égale à Tunilé. Nous aurons pour les coordonnées de ce point ar'= o, ^^'=o, z'= i : sa vitesse absolue sera donc
En divisant celte vitesse par la distance du point à l'axe instantané de rotation, on aura la vitesse angulaire de rotation du corps; cette distance est égale au sinus de l'angle que fait l'axe de rotation avec Taxe
des z\ angle dont "7====== exprime le cosinus; la
vitesse angulaire cherchée sera donc
S/{dc^-^dc'^^dv"') /r-Y~ â"^; r- ,j-^ = jr
de.^ip^^ç-^) ^^P 4- ^^ + /-) = V(/>^ + 7^ + n. en observant que par les équations dé condition (p),
et que l'équation c^ -f- c'^ 4- c"^ = i donne en différentiant cdc -f- c'dc' H- c"dc"=z o.
Si Ton nomme donc a, ê, 7 les angles que l'axe instantané de rotation fait avec les axes des x\ des jr\ et des z' j et p la vitesse de rotation , on 'aura
p = pco&ay 7 = jO cosê, r=pcosy.
Les trois quantités^, ç, r expriment ainsi Igs composantes respectives de la vitesse de rotation p, suivant chacun des trois axes principaux.
On peut encore, au moyen des quantités p, 9, r, donner une forme très-simple à l'expression de la force
i36 THÉORIE ANALYTIQUE
vive du corps. En efFet, si Ton désigne par aT cette quantité, on aura
T=is.(^:±f±^')<fc..
Si l'on substitue dans cette équation, pour ^ï -^
et — > leurs valeurs tirées des équations (i), n® 28, en
observant qu'on a, comme nous venons de le dire,
(ç» 4- r^ ) dt^ = do" 4- da'^ + rfn''«,
{p^ H- r» ) dt^ = db^ -f- dy^ 4- db"\
{p^ -H 7^) r/^* = dc^ 4- ^C'> 4- dc'\
on trouvera
j A/?'+B^^4-Cr»
Cette expression nous sera utile dans la suite.
Il suit de ce qui précède, que, quel que soit le mouvement d'un corps solide autour d'un point fixe, ou supposé tel, ce mouvement peut être regardé comme un mouvement de rotation autour d'un axe fixe pendant l'instant dt^ mais dont la position varie d'un instant à l'autre Les trois variables p, q^ r déterminent cet axe par rapport aux axes principaux ; elles font connaître aussi la vitesse de rotation du corps. Quant à la position des ^xes principaux dans l'espace , on la déterminera, comme nous l'avons dit, au moyen des équations (c), quand les valeurs dep, q^ r seront connues, et la situation du corps sera ainsi complètement fixée.
