Donnons quelques applications des formules
précédentes. Proposons-nous d'abord de déterminer le mouvement de rotation d'un corps qui n'est soumis à l'action d'aucune force accélératrice, et qui tourne à très-peu près autour d'un de ses axes principaux, comme cela a lieu pour la Terre et les planètes. L'analyse de cette question nous fera découvrir de nouvelles propriétés très-importantes des axes principaux. Dans ce cas, les seconds membres des équations (C) sont nuls, et Ton a d'abord à intégrer les trois équations suivantes :
Adp H- (C — B)qrdt = Oy \ «
Bdq -i- {A -^ G)rpdt = o, ( {h) Cdr + (B — A)pqdt = o. ]
Supposons que le troisième axe principal soit celui autour duquel le mouvement s'efFectue à très-peu près, le sinus de Tangle que forme avec lui l'axe instantané
de rotation sera . ^ ^— -, et comme cet angrle doit
toujours demeurer très-petit par la supposition, p et q seront aussi de très-petites quantités. Si Ton néglige donc leur produit dans la dernière des équations précédentes, elle se réduit à C£ir= o; d'où l'on tire r=/ï, en désignant par n une constante arbitraire. La vitesse angulaire de rotation est Vp* + 7^ H- /^ ; en négligeant le carré de p et de 9, elle est donc égale à /ï, et par conséquent elle est à très-peu près constante. Les deux premières équations {h) deviennent ainsi
Adp -I- (C — B) nqdt = o, Bdq 4- ( A — C) npdt = o.
i38 THÉORIE ANALYTIQUE
Pour satisfaire à ces équations, faisons
p = hsm{n't'h V\ q = A'cos(w'^H- /');
la substitution de ces valeurs donnera
An'h +(C-B)/iA'=o, Bn'^'-H(C-- A)nA = o; d'où Ton tire
les deux constantes «' et /i' seront donc déterminées par ces équations, et les constantes het l' demeureront arbitraires.
Les valeurs de/?, ç, r étant connues, il ne reste plus à trouver que celles des angles y, t|;, 9 qui déterminent la position des axes principaux dans l'espace.
Pour cela reprenons les trois équations (C) du n**50, on en tire aisément les suivantes :
d(p = rdt -f- cos5^(|i, \
dS =^ sixKpqck — cos^ppr/t^ ) {k) sindd^ = cos fqdt -f- sin opdt. )
Si Ton substitue pour /?, ç, r leurs valeurs, qu'on intègre les équations résultantes, en faisant d'abord abstraction des termes multipliés par le coefficient A, on aura
(p z= nt -¥- l^ 6 = 7 et tj; = a,
/, y et a étant trois constantes arbitraires.
Si, dans une nouvelle approximation, on tient compte des quantités dépendantes de la première puis-
sauce de //, on trouve
dO = h'sm[nt+ /)cos(/2'^4- V)dt — hco^[nt -f- /) sin {n' t -^ l')dt,
siw'^d^ = ^'cos(n^-t- /)cos(n'^ h- V)dty -h h sin(/i^-f- /) sin(//'^ -hl')dt.
En intégrant ces équations et en ayant égard aux valeurs précédentes de h! et de n\ on trouvera, toute réduction faite,
0=7-+- g— cos(«^-f-/)cos(w'^-f- /')
Ah
— — sin(/2^ 4- /)sin(n'i4- /'),
