BA

J^ = a— - — : — sin (72^ H- /) cos(n't-h V) ^ C/ismy ^ ' ^ ^

— ;; : COSf^^ + /) COSfw'^ -|- /')•

C/ismy \ / \ /

On peut d'ailleurs vérifier ces valeurs par la différentiation.

Si l'on substitue pour tj; sa valeur précédente dans l'expression de d(f et qu'on intègre l'expression résultante, on trouvera de même

ffl = 72^ H- /— -- — ^^sin(7i^4-/)cos(n'^ -h /')

— -TT-^^cosint 4- /) sin(w'^ -4- /')• C/2 sin7 ^ ^ ^ ^

Les formules précédentes contiennent six constantes arbitraires 72, A, Z, /', a et 7, elles sont donc les intégrales complètes des équations {h) et (A); mais les valeurs de ç et de ij^ ont l'inconvénient de contenir au dénominateur sin 7, qui devient une très-petite quan-

i4o THÉORIE ANALYTIQUE

tité lorsqu'on suppose l'angle y, ou l'inclinaison du plan des deux premiers axes principaux sur le plan fixe de projection, peu considérable. Il faut, dans ce cas, substituer aux angles 9 et 6 deux nouvelles variables convenablement choisies.

Pour cela, observons que d'après la seconde des équations (k) l'angle $ est toujours une quantité du même ordre que/; et ç, et demeure, par conséquent, peu considérable si on le suppose très-petit à l'origine du mouvement. Si l'on néglige le carré et les puissances supérieures de 0, la dernière des équations (c) du n® 30 donnera

d'où, en intégrant, on tire

Ip = 9 — 71^ -^ /,

en désignant par l la constante arbitraire. Supposons maintenant

s = sinô COS9, u = sinô siny.

On pourrait développer les expressions des variables ^ et M en fonction du temps t par la simple substitution des valeurs trouvées plus haut pour les angles Q et fj mais il est plus simple de recourir pour cela aux équations différentielles [h). En effet, les deux premières, en substituant pour d\^ sa valeur, et négligeant toujours les termes du second ordre par rapport à 0, donneront

ds -t- rudt = — pdtj du — rsdt = qdt, ( l)

Si dans ces équations on remplace pj ç, r par leurs

U . rt •. A, p ir

ASTftONOWîl iA*. SOCIETY

-«^-i^MM

DU SYSTÈME DU MONDE. i4i

valeurs, on aura deux équations linéaires du premier ordre entre les inconnues s et w, et Ton y satisfera en faisant

S z=fcos{nt "\- g) — -^cos{n't -h /'),

Ah u =Jsin{nt + g) — ô~ ^^^{^'^ "^ ^')>

y et g étant deux nouvelles constantes arbitraires.

La question est ainsi complètement résolue, puisque les quantités s et u étant connues en fonction du temps, on aura à chaque instant les valeurs des angles y et 0, et, par suite, celle de ^ qui est déterminé en fonction de (p et de t. L'introduction des variables s et u qui sont toujours de très-petites quatités du même ordre que sin0, fait donc disparaître les inconvénients que présentait la solution directe de ce problème lorsque l'angle 6 est supposé peu considérable à l'origine du mouvement; elle est due à Lagrange, et l'on verra qu'elle est de la plus grande utilité dans la théorie de la Lune.

Les valeurs de /?, y, r, ç, 0, ij;, que nous venons d'obtenir, ne sont qu'approchées et supposent les écarts de Taxe instantané de rotation et du troisième axe principal assez petits pour que l'on puisse négliger le carré et les puissances supérieures du coefficient arbitraire h qui en dépend. Si l'on voulait pousser plus loin l'approximation, il faudrait substituer, dans la troisième des équations (A), à la place de p et y leurs valeurs trouvées plus haut, et en intégrant l'équation résultante, on obtiendrait une valeur de r exacte jusqu'aux quantités de l'ordre du carré de A, valeur qui, substituée dans les deux premières formules (A),

donnerait pour p et q deux nouvelles expressions exactes jusqu'aux quantités de Tordre /?*, et, en continuant ainsi, on déterminerait par des substitutions successives les valeurs des trois quantités /?, ç, r, avec toute la précision qu'on voudrait atteindre. Ces valeurs, substituées dans les équations [k) ou (/), feraient connaître les valeurs des angles (p, (j;, 9, j, n avec le même degré d'approximation.

On voit donc qu'en général on peut, au moyen de simples substitutions, développer les valeurs des trois quantités /?, ç, r en séries ordonnées par rapport aux puissances ascendantes du coefficient h. Il est facile de s'assurer d'ailleurs que les quantités p et q ne contiendront que les puissances impaires de h et la quantité r que les puissances paires. Les valeurs précédentes de p^ q et r sont donc exactes, les premières aux quantités près de l'ordre h^y et la troisième aux quantités près de l'ordre h^; nous ne tenterons pas, pour le moment, de pousser plus loin l'exactitude, il nous suffira d'avoir indiqué comment on pourrait y parvenir par des approximations successives, si cela devenait nécessaire.

La forme des valeurs de ^ et gf donne encore lieu à une remarque importante. La constante h dépend, comme nous l'avons vu, de l'angle que fait, à l'origine du mouvement, l'axe instantané de rotation avec le troisième axe principal : si cet angle, au lieu d'être très-petit, est supposé nul, on aura pour cet instant ^ = o et ^ = o, et par conséquent h = oeth' = o. Les quantités p et q seront donc nulles pendant toute la durée du mouvement, et l'axe de rotation coïncidera

DU SYSTÈME DU MONDE. i43

toujours avec le troisième axe principal. Il suit de là que si le corps commence à tourner autour d*un de ses axes principaux, il continuera à se mouvoir uniformément autour de cet axe, et c'est par cette raison que ces axes ont été nommés axes naturels de rotation, Réciproqueawent, si Taxe instantané demeure immobile, on est assuré qu'il est un des axes principaux du corps. En effet, pour que Taxe de rotation conserve la même position dans l'intérieur du mobile, il faut que les trois quantités^, ç, r soient constantes, ce qui donne dp=z o, dq = Oj dr=^ o; les trois équations (A) deviennent donc

(G — B) qrdt = o, (A — G) rp dt = o, (B — A)/77rf^ = o.

Si les trois moments d'inertie A, B, G sont inégaux, il faudra, pour satisfaire à ces équations, supposer nulles deux des quantités /?, ç, r; alors l'axe instantané coïncide avec l'un des axes principaux. Si deux de ces moments sont égaux, si l'on suppose, par exemple, A = B, la dernière des équations précédentes est identiquement nulle, et l'on satisfait aux deux premières en supposant r = o. L'axe de rotation est alors situé dans le plan perpendiculaire au troisième axe principal; mais nous avons vu n^ 52, qu'alors tous les axes compris dans ce plan sont des axes principaux. Enfin, si l'on a à la fois A = B = G, ces trois équations seront satisfaites indépendamment de toute valeur donnée à/?, ^, r; mais dans ce cas tous les axes du corps sont des axes principaux. La propriété d'être des axes invariables de rota-

i44 THÉORIE ANALYTIQUE

tion convient donc exclusivement aux axes principaux ; mais il y a à cet égard une distinction à établir entre eux. En efiet, remarquons que, pour que les valeurs de p et de ^f demeurent toujours trèspetites, comme nous supposons qu'elles le sont à l'origine du mouvement, il ne suffit pas que les constantes h et h' soient très-petites, il faut encore que la valeur de la constante n! soit réelle ; sans cela les sinus et cosinus que renferment les quantités/? et q se changeraient en exponentielles, dont les exposants seraient proportionnels à f, et ces valeurs par conséquent pourraient croître indéfiniment avec le temps. Ainsi^ dans le premier cas, Taxe instantané ne fera que de petites oscillations autour de Taxe principal; mais, dans le second, il pourra s'en écarter considérablement, quelque rapprochés qu'aient été ces deux axes dans l'origine. Or, pour que la valeur de n! soit réelle, il faut que le produit (C — A) (C — B) soit positif, c'est-à-dire que le moment d'inertie C, relatif à l'axe principal autour duquel oscille l'axe instantané, soit le plus petit ou le plus grand des trois moments d'inertie A, B, C. Il s'ensuit que , si le mouvement du corps a commencé autour d'un de ses axes principaux, et qu'une force perturbatrice quelconque dérange infiniment peu son axe de rotation, le corps continuera de tourner à très-peu près autour de l'axe principal, si la quantité (C — A) (C — B) est positive; mais, dans le cas contraire. Taxe de rotation s'en écartera indéfiniment, et il suffira alors de la cause la plus légère pour changer totalement la nature du mouvement.

DU SYSTÈME DU MONDE. i45

Ainsi le mouvement de rotation est stable par rapport aux deux axes principaux qui répondent au plus grand et au plus petit moment d'inertie, et il ne Test pas relativement au troisième.

55. Considérons maintenant, d'une manière générale, le mouvement d'un corps qui n'est animé par aucune force accélératrice, et qui peut se mouvoir librement autour d'un point fixe, différent ou non de son centre de gravité. Reprenons les équations {h) du numéro précédent :

kdp -4- (C — B ) çr rf^ = o, \ Brfç H- ( A — C) r/i e// = o, ( [h) Cdr -h {B-^A)pqdt= o. )

Si l'on multiplie la première par p, la seconde par y, la troisième par r, qu'on les ajoute et qu'on intègre leur somme, on aura

A/>*-f-B9^H-Gr» = A. (i)

Si l'on multiplie ces mêmes équations, la première par kp, la seconde par B^, la troisième par C r, qu'on les ajoute et qu'on intègre l'équation résultante, on aura

AV'-f-B^<jr^-hC^r^ = A% (2)

h etk étant deux constantes arbitraires.

La première intégrale est l'expression de la force vive trouvée n^ 53; elle montre que cette force est constante , conformément au principe énoncé if 24.

Des deux équations précédentes, on tire

2/-^ — AA4-(A— C)Cr^ j ^ ^ ^ ~ (B — A)B * )

Si Ton substitue pour p et q leurs valeurs dans la dernière des équations (A), et qu'on la résolve par rapport à r//, on aura

^[P BA + (B — C)Cr»][— X'-f-AA-f-(C~A)C7^]

Cette équation donnera par les quadratures la valeur de t en r^ et réciproquement la valeur de r en fonction de t; cette valeur substituée dans les équations {k) fera connaître à chaque instant les valeurs de/? etc. Mais l'intégration d'où dépend la valeur de /, ne peut s'obtenir sous forme finie que dans le cas où deux des trois moments d'inertie A, B, C sont égaux entre eux.

Les trois quantités />, 9, r déterminent (n^ 33) les mouvements du corps par rapport aux axes principaux. Il reste à déterminer les trois angles ç, ^, d qui fixent la position de ces axes. Au lieu de recourir pour cela aux équations (c) (n^ 30), on peut trouver trois nouvelles intégrales des équations (//) qui facilite-^ ront cette recherche- En effet, si l'on multiplie la première de ces équations par a^ la seconde par ft, la troisième par e, qu'on les ajoute, et qu'on intègre leur somme; qu'on répète la naême opération par rapport à a\ b\ c\ et par rapport à n"j b'\ c'\ en faisant attention aux équations [p) ( n® 29) et aux rela-

lions (#w), {n)j n®28, on aura aAp 4- bBq ■+- cCr= /, a'Ap 4- b'Bq ■+- c'Cr= /',

/, /', Z" étant trois constantes introduites par l'intégration. Ces équations, qui coïncident avec les équations (^) (n*^ 29), renferment le principe des aires.

Si ces trois intégrales étaient réellement distinctes entre elles, on en tirerait, sans nouvelle intégration, les valeurs de y, tj^, 0, au moyen de celles de/?, ^, r, qu'on peut regarder comme déterminées. Mais Tune quelconque de ces équations rentre dans les deux autres, en vertu de l'équation (2). En effet, si Ton ajoute ensemble leurs carrés, on voit que cette somme se réduit à

équation qui, en la comparant à l'équation citée, donne entre les constantes A, /, /', l'\ l'équation de condition

Les équations (Z) ne pourront donc servir qu'à déterminer deux des inconnues y, tj^, ô; il faudra nécessairement recourir aux équations (c) (n**31), pour déterminer la troisième, ce qui exige, par conséquent, une nouvelle intégration.

Pour rendre cette intégration possible, on est obligé de faire une hypothèse sur le choix des plans coordonnés, que nous avions jusqu'ici regardé comme arbitraire. On suppose que l'un d'entre eux se confond avec le plan que nous avons nommé invariable, n^ 25.

i48 THÉORIE ANALYTIQUE

La propriété qui le caractérise, c'est que la somme des aires décrites par les rayons vecteurs des éléments du corps pendant le temps t, et multipliées par les masses de ces éléments, est un maximum par rapport à ce plan, et qu'au contraire par rapport à tout plan qui lui est perpendiculaire, elle est égale à zéro. Les constantes Z, /', l" répondent ici aux constantes c, c', c" du n*^ 23 ; cette somme, relativement au plan invariable, est donc égale k\t, \jl^ + l'^ -h /"* ; et en désignant par a, 6, 7 les angles que forme la perpendiculaire à ce plan avec les axes des x^ àesy et des z, on a

cosa=79 cosê = 7i COS7 = -7-

Si Ton prend ce plan invariable pour plan des xy^ on aura / = o, /' = o, /" = A:, et les équations (/) se réduiront aux suivantes,

aA/>+ èB^H- cCr= o, a'kp -h b'Hq -h c'Cr = o,

d'où l'on tire, en vertu des équations {^^ (n*" 28),

„ Kp ,„ Bgr Cr

OU bien, en mettant pour rt'^, b'\ c" leurs valeurs n*' 28,

sinG, sin<p, = f- 1 sin0, cos<p,=: j^ , cosO, = — • {o)

Nous désignons ici par ?,, ij^,, ô, ce que deviennent, relativement au plan invariable, les angles y, t|;, 6 qui se rapportent à un plan fixe quelconque.

DU SYSTÈME DU MONDE. i46

Ces équations donneront immédiatement les valeurs des angles ç, et 0^ en fonction du temps au moyen des valeurs connues de /;, gr, r. Pour déterminer le ti'oisième angle ij;,, éliminons dQ entre les deux premières équations (c) ; nous aurons

sin' d^ d^^ = sinô, siny^ pdt -f- sin B^ cos(p^ qdt ;

équation qui, en vertu des précédentes, devient

(A^ - CV^) rf(j;, = - [kp'^l^q^) kdt:,

d'où, en observant que A/?'* -f- Bqf^ = A — Cr*, on tire

Si dans cette équation on substitue pour dt sa valeur, on trouve

^' (^'— CV) y'[;x.»B//-h'{B-C) C/-'][~>^'4- A/*-h(C- A)C r^] ^ ^ ^

Cette formlile donnera, par les quadratures, ^^ en fonction de r, et par suite ^^ en fonction du temps.

On connaîtra donc à chaque instant les valeurs des six variables /7, ^, r, (p,, ij^^ 0,, ce qui suffit pour déterminer toutes les circonstances du mouvement du corps. Ces valeurs renferment quatre constantes arbitraires, savoir, les constantes ^ et A', et les deux constantes qui sont introduites par l'intégration des valeurs de dt et de t/^,. Les intégrales d*où dépend la solution complète du problème, devraient généralement contenir six arbitraires ; mais il faut remarquer qu'en prenant pour plan des x et des jr le plan principal de projection, nous avons fait disparaître deux de ces arbitraires, puisque cette supposition a donné

i5.i THÉORIE ANALYTIQUE

Z z= o, /' = o, et que d'ailleurs les angles ç^, ij;,, ô,, dont nous venons de déterminer les valeurs, ne sont relatifs qu'à ce même plan. Il sera facile, lorsque ces valeurs seront connues, d'avoir celles desanglesç,^);,©, qui se rapportent à un plan fixe quelconque,- par les formules de la Trigonométrie sphérique, et cette détermination introduira deux nouvelles constantes dépendant de la position du plan invariable par rapport au plan fixe, qui, jointes aux quatre précédentes, compléteront le nombre des constantes arbitraires demandé.

En effet, désignons par 7 rinclifiaison du plan invariable sur le plan fixe, par a l'angle que forme avec une droite menée sur le d#rnier de ces plans leur commune intersection, et considérons le triangle sphérique intercepté entre ces deux plans et le plan qui renferme les axes principaux des j:' et des^'. D'après la désignation donnée aux quantités y, ij/, ô, fn ^,j ^n a, 7, il est aisé de voir que les trois angles de ce triangle seront 7, 0^, 180*^ — 9, et les côtés respectivement opposés f — (p,j ^ — a, et ij^^ en supposant que l'angle i]^,, qui se compte sur le plan invariable à partir d'une ligne arbitraire, soit compté à partir de l'intersection de ce plan avec le plan fixe. On aura donc par les formules connues :

cosô = cos7 COS0, — sin7 sinô^ cos^p^, sin(ç — <p^) sinô = sin^j^^ sin7, sin(ij; — a) sinS = sint];^ sinS,.

Ces équations donneront les valeurs des trois angles ç, ^^ 6y au moyen des angles 9,, i|^,, 0^, et des deux

JbuK.<nk4,^

DU SYSTÈME DU MONDE. i5i

arbitraires a et y, qui dépendent de la position du corps à l'origine du mouvement.

Il ne nous reste plus, pour achever la solution du problème que nous venons de traiter, qu'à montrer comment les six constantes qui servent à la compléter, peuvent se déterminer d'après les circonstances initiales du mouvement. Pour cela, supposons que le corps ait reçu une impulsion primitive quelconque, qui ne passe pas par son centre de gravité ; soit s^ la vitesse que cette force imprimerait à la masse m, regardée comme un point, en sorte que mi^ soit la mesure de son intensité, et soit déplus f la distance de sa direction au point fixe autour duquel le corps est forcé de tourner; mvfsersi son moment par rapport au même point. Quelles que soient les quantités de mouvement dont sont animés les différents points du mobile, il est évident que Fimpulsion primitive, prise en sens contraire de sa direction, doit leur faire équilibre; d'où il suit que la somme des moments de toutes ces forces, projetées sur un même plan, doit être égale à zéro. Or le moment de la force /wp est le plus grand possible relativement au plan qui passe par sa direction et par le point fixe; ce plan est donc le plan invariable. La somme des aires décrites pendant le temps t par les rayons vecteurs des molécules du corps, projetées sur ce plan, et multipliées respectivement par ces molécules, est y t \/t^ -f- r^ -h /"* = ^ tk. Si l'on multiplie par -^ ^ le moment myfj le produit doit être, par ce qui précède, égal à cette somme. On aiu'a donc k = mifj pour déterminer la constante k.

Si l'on suppose connue, à l'origine du mouvement.

i52 THÉORIE ANALYTIQUE

la position des trois axes principaux du corps relativement au plan invariable, les angles cp^ et 6^ seront donnés, et Ton aura, par les équations (o), les valeurs de p^ q^ r k l'origine du mouvement; en les substituant dans la première intégrale (i), la valeur de la constante h sera déterminée.

Quant aux deux constantes qui résultent de l'intégration des valeurs de dt et de d^^^ la première dépendra de l'instant d'où l'on comptera le temps, et la seconde de l'origine de l'angle tj;,, que Ton peut prendre arbitrairement sur le plan invariable.

Enfin,' les deux constantes a et y, qui déterminent ce plan par rapport à un autre plan fixe quelconque, seront connues, puisque sa position initiale est supposée donnée.

En rassemblant les résultats précédents, on voit ( n® 27) que si un corps, de figure quelconque, reçoit une impulsion primitive qui ne passe pas par son centre de gravité, ce point sera emporté dans l'espace comme si l'impulsion lui était directement appliquée, et que le corps prendra, autour de ce centre, le même mouvement que s'il était immobile. Ces principes servent à expliquer comment le double mouvement de translation et de rotation des planètes, qui paraît au premier abord si compliqué, a pu résulter d'une seule impulsion primitive qui ne passait pas par leur centre de gravité. En supposant la Terre une sphère homogène, dont le rayon est R, et nommant f la distance de la direction de l'impulsion primitive à son centre, on trouve qu'en vertu du rapport qui existe entre la vitesse angulaire de rotation de cette planète,

DU SYSTÈME DU MONDE. i53

et sa vitesse de révolution autour du Soleil, il faut qu'on ait, à très-peu près, y = j^.R.

36. Déterminons enfin le mouvement de rotation d'im corps solide retenu par deux points ou par un axe fixe. Au lieu d'employer les équations (C) du n® 30, il est plus simple dans cette recherche de recourir aux équations primitives (a) du n^ 27. Prenons Taxe fixe de rotation pour Tun des axes coordonnés, pour celui des x par exemple ; supposons cet axe horizontal ainsi que Taxe des j^ et Taxe des z vertical et dirigé vers le centre de la Terre; supposons de plus que le plan des /z, dont la position est arbitraire, passe par le centre de gravité du corps : la dernière des équations (a) (n° 27) suffira pour déterminer dans ce cas toutes les circonstances du mouvement. On aura donc

faisons passer un plan par Taxe de rotation et par le centre de gravité du corps ; il est clair qu'il suffira de connaître la trace de ce plan sur celui des j^^ pour avoir, à chaque instant, la position du mobile. Prenons cette ligne pour l'un des axes de nouvelles coordonnées jr'j z\ et nommons Q l'angle que forme cet axe avec celui des z ; on aura

jrzny cosO H- z'sinô, z= — ^'sin5 -f- z' cosO.

L'équation (a) devient, en y substituant ces valeurs,

^S.(y^ + z'^)^/w = - S.( jZ - zY)dm,

i54 THÉORIE ANALYTIQUE

L'intégrale S (7'*-+- a'^)é/m est le moment d'inertie du corps par rapport à Taxe des or; en désignant donc par A ce moment, Téquation du mouvement de rotation sera simplement

A.^ = -S.(jZ-zY)rfm. (*)

Supposons que la pesanteur soit la seule force accélératrice qui agisse sur le corps que nous considérons; il forme alors ce que Ton nomme un pendule composé^ et Ton a Y = o et Z = g ; en désignant par g l'intensité de la pesanteur. Par conséquent

S.(^Z — aY) dm = S.^Z dm = g cosô S.y dm-^ g sïnB ^,z dm.

Puisque Taxe des z' passe par le centre de gravité, on a S.ydm = o, et S.z'dm = Ma, en nommant a la distance de ce centre à l'origine, et M la masse du corps; l'équation (è) devient ainsi

A. -^ =-Magsm9.

Multiplions les deux membres de cette équation par 2 dQ et intégrons; nous aurons

^ = --^cosÔ + C, (c)

C étant une constante arbitraire.

Cette expression est le carré de la vitesse angulaire de rotation du corps. En résolvant l'équation précédente par rapport à dt^ et en l'intégrant ensuite, on aura t en fonction de 0, et réciproquement 0 en fonction du temps.

Imaginons le mobile réduit à un point lié à l'axe

DU SYSTÈME DU MONDE. i55

des X par une droite inflexible /; on aura /= a et

A = S.(j'^ -h js'^) <f/n = M Z^ ; par conséquent

..cosô-f-C.

Cette équation coïncide avec Téquation (2) que nous avons donnée n^ 17 pour déterminer les oscillations du pendule simple; en la comparant à la précédente (c), on voit que les deux corps oscilleront de la même

manière si l'on fait / = — > et si Ton suppose qu'ils

ont les mêmes vitesses initiales^ loi^sque leurs centres de gravité sont dans la verticale, c'est-à-dire lorsque l'angle ô est nul. On pourra donc toujours déterminer, par la formule précédente, la longueur du pendule simple qui fait ses oscillations dans le même espace de temps qu'un pendule composé donné.

On peut conclure de là qu'il existe dans tout pendule coçfiposé un système de points qui oscillent comme s'ils étaient isolés et détachés du corps. Ces points sont situés dans le plan qui passe par le centre de gravité et l'axe de suspension, sur une droite parallèle à cet axe. On nomme ces points centres doscillation.

i56 THÉORIE ANALYTIQUE