CHAPITRE VL

DE l'équilibre des FLUIDES.

37. Un fluide est un amas de molécules matérielles qui cèdent sans résistance au moindre effort que l'on fait pour les séparer. Cette extrême mobilité qui caractérise les fluides et les distingue des corps solides, exige de nouvelles considérations pour découvrir les lois de leur équilibre, et fait de cette partie de la Mécanique une science à part. En effet, il ne suffit plus ici que les forces appliquées au corps qui leur sert d'intermédiaire, se fassent équilibre, il faut encore que chaque particule du fluide soit elle-même en équilibre, en vertu des forces qui l'animeqt et des résistances qu'elle éprouve de la part des molécules environnantes. Exprimons analytiquement ces conditions.

Parmi les propriétés particulières aux fluides, celle qui paraît la plus propre à s'adapter au calcul et à guider dans cette recherche, est la faculté qu'ils ont de transmettre également et dans tous les sens la pression qu'on exerce à leur surface. En effet, on peut regarder la pression que supporte chaque élément de la masse fluide, comme une force qui agit sur lui; cette force varie sur chaque point de la masse, et peut s'exprimer, par conséquent, en fonction des coordonnées qui déterminent sa position. La différence

des pressions qui s'exercent sur deux faces opposées et parallèles de cet élément, est la force qui tend à le mouvoir dans une direction perpendiculaire à ces faces, et dont Teffet doit être détruit par les forces accélératrices qui l'animent; d'où il suit que si l'on considère la masse fluide comme une infinité de petits parallélipipèdes rectangulaires, dont les trois dimensions sont les éléments infiniment petits des coordonnées qui fixent leur position ; qu'on suppose toutes les forces accélératrices qui agissent sur elle, décomposées parallèlement à ces axes, on aura immédiatement trois équations aux différences partielles entre ces forces et la pression qui en résulte, d'où l'on pourra déduire, au moyen du calcul intégral, la mesure de cette forcé, et les relations qui doivent exister entre les forces accélératrices données pour que l'équilibre soit possible.

Toute la théorie de l'équilibre des fluides est renfermée dans ces trois équations générales, auxquelles Clairaut est parvenu le premier, mais qu'il avait déduites d'une manière moins directe et moins simple du principe de l'égalité de pression en tous sens. Nous allons développer ces équations, qui nous seront de la plus grande utilité dans la théorie de la figure des corps célestes.

On divise ordinairement les fluides en deux espèces : les uns incompressibles, comme l'eau et les autres liquides ; ils peuvent changer de forme, mais sans changer de volume ; les autres, tels que l'air, les gaz, les vapeurs, peuvent changer à la fois de figure et de volume ; ils tendent toujours à se dilater et à

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occuper un plus grand espace, et Fexpérience a prouvé que l'effort qu'en vertu de cette propriété ils exercent contre les parois des vases qui les renferment, est, pour un même fluide, pris à la même température, proportionnel à la densité; en sorte que si Ton nomme p cet effort, qu'on appelle aussi \dL force élastique du Jluide^ et p sa densité^ on a /? = A:p; A: étant une constante qui dépend de la nature du fluide et de la température. Le principe de l'égalité de pression en tous sens s'applique également à ces deux espèces de fluides, ainsi que les conséquences que nous allons en déduire.

38. Considérons une masse fluide sollicitée par des forces accélératrices quelconques. Soient dm un des éléments de cette masse, que nous regarderons comme un petit parallélipipède rectangulaire; x^ y y r, les coordonnées de l'angle solide le plus rapproché de leur origine ; le volume de cet élément pourra être représenté par dxdjdz^ et en nommant p sa densité, on aura dm = p.dxdjrdz. Désignons par X, Y, Z, les trois forces accélératrices qui agissent sur dm parallèlement aux axes des coordonnées; Xrfm, Yrf/w, Zdm seront les forces motrices qui sollicitent cet élément dans la direction des mêmes axes.

Nommons /? la pression qui s'exerce sur la face supérieure dzdjr de l'élément r//n, et p' la pression qui s'exerce sur la face opposée, ces pressions étant rapportées à l'unité de surface; {p-^p)dzdy sera la force qui agit sur dm parallèlement à l'axe des x^ en vertu de la liaison des parties du fluide. Les deux forces p et />' sont dirigées en sens contraire ; cepen-

dant, comme la pression qu'éprouve chaque élément du fluide est la même dans tous les sens, on peut supposer que ces forces agissent dans la même direction, et alors p' est ce que devient p lorsque a: varie,

j etz restant les mêmes. On a donc p' — p z=^ -~ dx ;

et la force totale qui sollicite dm suivant Taxe des x^

sera par conséquent IXp — ~-\ dxdjrdz. On aurait

de même ( Yp — -jA dxdjrdz^ et (Zp — ^ ) dxdjdzy

pour les forces qui sollicitent cet élément parallèlement aux axes des jr et des z. Pour qu'il y ait équilibre dans la masse fluide, il faut donc que les trois quantités précédentes soient égales à zéro, ce qui donne

TeDes sont les équations générales de l'équilibre! d une masse fluide homogène ou hétérogène, compressible ou incompressible, sollicitée par des forces accélératrices quelconques. Les considérations trèssimples par lesquelles nous y sommes parvenus appartiennent à Euler.

Si l'on multiplie ces équations, la première par dx^ la seconde par dj^ la troisième par dz, et qu'on les ajoute ensuite, on aura

dp = p{Xdx -^Ydjr ^Zdz). (2)

Le premier membre de cette équation est une différentielle exacte; il faut donc que le second le soit aussi, pour que cette équation soit possible. Cette

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condition renferme seule les lois de l'équilibre des fluides. Si l'on élimine par la différentiation p des trois équations (i), on a

d.pX __ d.pY d.p-yj d.pZ d.pY d,pZ df dx dz dx dz dy

Ce sont les équations de condition nécessaires pour que le second membre de l'équation ( 2 ) soit une différence exacte, et par conséquent intégrable. On en tire

-^dY ^ dX dX . rfZ û?Z dY

dz dz dy dy dx dx ^

équation qui exprime la relation qui doit exister entre les forces X, Y, Z, pour que l'équilibre puisse subsister.

Si les équations précédentes sont satisfaites, l'équilibre est toujours possible, et il ne reste plus à déterminer que la figure extérieure de la masse fluide. Si Ton suppose le fluide libre à sa surface, la pression p sera nulle par tous les points de cette surface; on aura donc, pour chacun d'eux, /? = o, et l'équation (2) deviendra

p (X^x -h Xdy -f- Zdz) = o ;

d'^où il est aisé de conclure (n^4) que la résultante des forces X, Y et Z doit être perpendiculaire à la surface libre du fluide; il faut d'ailleurs que cette force soit dirigée du dehors en dedans; et Ton voit en effet, à priori^ que, sans ces deux conditions, l'équilibre est impossible.

Si le fluide est homogène, la densité p est constante, et en la prenant pour unité, l'équation (2) donne

DU SYSTÈME DU MONDE. i6i

simplement

dp = Xdx + Xdj -h Zdz)

c'est-à-dire que, dans ce cas, il faut, pour Téquilibre, que la fonction ^dx -^Ydj -\-Zdz soit une différence exacte. On a alors, pour Téquatioij de la surface libre du fluide,

f{Xda: -+- Ydj -4- Zdz) = const.

Mais cette équation est non-seulement celle de la surface extérieure du fluide, elle convient encore à tous les points pour lesquels la valeur de la fonction / i^dûc + Ydjr •+- Zdz) est la même. Les surfaces que forment ces points ont la propriété de couper à angles droits la résultante des forces X, Y, Z, et c'est par cette raison qu'on les a nommées surfaces de niveau. Supposons le fluide hétérogène, et la fonction Xcfcr -H Yû^ -+- Zûte une différence exacte, ce qui a lieu toutes les fois que les forces X, Y, Z résultent des attractions des différentes parties d'un système de corps, et que leurs intensités sont des fonctions des distances mutuelles de ces corps. Faisons

(f = fiXdx -h Ydjr 4- Zdz);

(p étant une fonction des trois variables .r, j-, z, l'équation ( 2 ) deviendra

dp = pdf. (3)

Pour que le second membre de cette équation soit, comme le premier, une différentielle exacte, il faut que la densité p soit une fonction de ç). La pression p sera donc également fonction de (p, et l'équation de la

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surface libre du fluide sera fonct. (p = const., ou simplement 9 = const,, comme dans le cas de Thomogénéité. La pression et la densité sont donc les mêmes pour tous les points d'une même couche de niveau. La loi de la variation de la densité, en passant d'une couche à une autre, dépend de la fonction de g> qui l'exprime, et lorsque cette fonction est donnée, on en conclut la pression en intégrant l'équation (3).

Il suit de ce qui précède que, pour arriver à l'état d'équilibre, une masse fluide, dont la surface extérieure est supposée libre, doit se disposer de manière, 1^ que la densité soit constante pour toutes les couches de niveau comprises entre deux surfaces de niveau infiniment voisines; a*' que la résultante des forces* accélératrices qui agissent sur la surface extérieure lui soit perpendiculaire.

39. Il convient d'examiner ici un cas particulier qui a, dans la théorie du système du monde, une application très-importante, et qui se déduit d'une manière fort simple des principes précédents : c'est celui où la masse fluide que nous considérons, est douée d'un mouvement uniforme de rotation autour d'un axe fixe. Prenons, pour plus de simplicité, cet axe pour celui des z; soit w la vitesse de rotation commune à tous les points du fluide, et r la distance de l'élément dm qui répond aux coordonnées .r, j* et r, à l'axe de rotation. La vitesse de ce point sera wr, et la force centrifuge qui en résulte (n^ 16) w^/\ Il faudra donc comprendre cette force parmi les forces accélératrices qui sollicitent cet élément. La fonction que

DU SYSTÈME DU MONDE. i63

nous avons désignée par <p (n^ 38) deviendra ainsi

df = Xdx -h Ydj -h Zdz -h w" rdr, et l'on aura

Xda: -^Ydj -h Zdz -h w* rdr = o,

pour l'équation différentielle des couches de niveau et de la surface libre du fluide.

L'introduction de la force centrifuge n'empêchera pas, par conséquent, que la fonction dcp ne soit une différence exacte ; l'équilibre sera donc encore possible, pourvu que les conditions que nous avons énoncées dans le numéro précédent soient remplies.

Telles sont donc les lois qui onirdu présider à la formation de la Terre et des planètes, en supposant qu'elles étaient originairement fluides, et que leurs molécules ont conservé, en se durcissant, la disposition qu'elles avaient prise en vertu de leurs actions mutuelles et de la force centrifuge due au mouvement de rotation de ces corps.

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