DU MOUVEMENT DES FLUIDES
40. Les lois des mouvements des fluides sont faciles à déduire de celles de leur équilibre, au moyen du principe de d'Alembert, auquel nous avons déjà ramené toute la Dynamique.
En effet, considérons une masse fluide dont toutes les molécules sont sollicitées par des forces accélératrices quelconques. Soient x^ jr^ z les trois coordonnées d'un des éléments dm du fluide, X, Y, Z les forces accélératrices qui agissent sur lui parallèlement aux axes coordonnés, et p sa densité. Au bout de r instant dt^ les vitesses dont cet élément est animé
dans la direction des mêmes axes, seront -^» -^, -^ ,
' dt dt^ dt
et au commencement de l'instant suivant ces vitesses prendront respectivement les accroissements Xrf^, Ydt^ Zdt par Faction des forces accélératrices; les vitesses de l'élément e/w parallèlement aux axes des coordonnées .r, j^, z, deviennent donc
mais au commencement de ce même instant, les vitesses de l'élément dm sont évidemment
dx , dx dr , dy dz , d
dt de dt dt dt dt
DU SYSTÈME DU MONDE. i65
Il faudra donc, conformément au principe énoncé, qu il y ait équilibre entre ces six vitesses ou les forces qui les produisent, en supposant les trois dernières appliquées à dm en sens contraire de leur direction. On aura donc (n^ 38)
d^-py^-'-dF)' d^-p[^-"dF)'
Ces équations ne suffisent pas pour déterminer les lois du mouvement des fluides ; il resté encore à exprimer que le fluide n'a pas changé de masse pendant qu'il se meut, et cette condition, qui résulte de la continuité du fluide, fournit une nouvelle équation du mouvement. En effet, dm désignant la masse de l'un quelconque des éléments du fluide et p sa densité, on a dm = p.dxdydz : la condition, de la continuité du fluide sera donc exprimée par l'équation p.dxdjrdz = const. ou par l'équation différentielle
d,p{da:dj'dz) = o, (2)
Cette équation, jointe aux trois équations (i), servira à déterminer les quatre inconnues .r, j*, zet p en fonction du temps.
41. Pour développer l'équation (2), observons que les trois dimensions du petit parallélipipède dm deviennent, au bout de l'instant dt^ doc •+• d.dx^ df -h d . dj^ dz -+- d, dz. Mais il faut faire ici une remarque essentielle, c'est que la variation de dx ne provient que de l'accroissement que reçoit la coor-
donnée x^ les variables j etz restant les mêmes; de même, les variations de d/ et de dz ne résultent que des accroissements que prennent respectivement ces deux dernières coordonnées. Pour exprimer ces conditions, nous écrirons de cette manière les trois nouvelles dimensions de dm :
Si l'on suppose que, dans le second instant, la figure de dm soit encore celle d'un parallélipipède rectangulaire, ce qui est exact, aux quantités près du cinquième ordre, comme il est facile de s'en convaincre par la Géométrie, on aura pour le volume de ce parallélipipède
Quant à la densité ^, si on la regarde comme une fonction de a:, ^, z et t^ elle deviendra, au bout de l'instant dt^
p + in^^'-^i^-^t^-r+^dz.
En multipliant donc la densité par le volume, et négligeant les infiniment petits du second ordre, on aura
dm = dxdjrdz[p + ^l dt -h^dx -^"^djr
dû . d'x d-'Y d^z\
et réquation ( 2 ) deviendra p,ir conséquent
dx j ^X , dz
dp S dt ^ dt ' dt /o,
Si le fluide est incompressible, non-seulement sa masse ne doit pas varier, son volume doit encore rester le même pendant toute la durée du mouvement; on aura donc
et, relativement à la densité,
Ces équations remplaceront dans ce cas T équation (2), et, jointes aux équations (i), elles serviront à déterminer les cinq inconnues p, p, x, j", aen fonction de t. Enfin, si le fluide est à la fois imcompressible et homogène, la dernière de ces équations deviendra identique, et les quatre autres suffiront pour déterminer les inconnues du problème.
42. On peut donner aux équations (i) et (3) une forme plus commode dans quelques circonstances. Pour cela, on prend pour inconnues, au lieu des coor-
1 f 1 / 1 • dx dy dz .
données .r, ^, z, de am, les vitesses — ? -^5 -j qui
animent cet élément dans le sens de ces coordonnées, et qu'on regarde comme des fonctions de x^ j^ z et t. Faisons, pour abréger,
dx dy dz
dt dt dt
i68 THÉORIE ANALYTIQUE
Si Ton difFérentie ces équations, en supposant que jc, ^, z et / varient à la fois, et qu'à la place des accroissements dx^ djr^ dz^ on substitue leurs valeurs sdt^ udt^ vdt^ on aura
ds = -^dt -h -^ sdt -h -^ udt -\- -T- vdt^
dt dx dy dz
du = -j-dt -^ —sdt -h- -T-udt 4- -^ \>dt.
dt dx dy dz ^
ds> = ^d-t 4- -r-^dt H- -^udt -h-^^dt.
dt dx dy^ dz
En mettant ces valeurs à la place de -t-> — r^> -r^
^ d^. dt dt
dans les trois équations (i), on aura les suix{^ntes :
dp [^ ds ds ds ds \
dp [rw d^ ^^ dv dv \
Enfin l'équation (3) deviendra, par une transformation semblable 9
dû d.ûs d.pu d,ûv .,v
équation qui, pour les fluides homogènes et incompressibles, se réduit à celle-ci
ds du dv .V
dx dy dz ' \ /
Les équations [a) et [b) donneront les valeurs de s^ w,
V en fonction de x^ jr^ z, t^ et l'on aura ensuite les valeurs de x^ jr^ z en fonction du temps t^ au moyen des trois équations
dx = sdt^ djr = udt^ dz = vdt,
43. Toute la difficulté de la théorie du mouvement des fluides se réduit donc à l'intégration des équations aux différences partielles {a) et [h). Mais cette difficulté est telle, qu'elle a arrêté jusqu'ici, même dans les questions les plus simples, les efforts des géomètres. Il existe cependant un cas fort étendu, dans lequel ces équations deviennent susceptibles d'intégration : c'est celui où la quantité sdx + udj ■+- vdz est la différentielle exacte d'une fonction des trois variables x^ jr^ Zj en sorte qu'en la nommant ç, on a
sdx-h udjr -h i^dz=d(p.
La fonction <p fait connaître les vitesses de chaque molécule du fluide parallèlement aux axes coordonnés, car on a
dx dy dz
Si l'on substitue ces valeurs et leurs différentielles dans les trois équations (a), elles deviennent
dp / ds dff ûf'ç dff flf'ç d(f d^tf \ \
dx \ dt dx dx^ dy dydx dz dzdxj à
dp / du, d^ d^ff d(f d^^ dff d^rf \ I • tv
dx \ dt dx dxdjr dy dy"^ dzdzdy/^i^ ^
dp / dsf dff d^^ d^ d*(f dtf d^(f\ 1
dz '~^'\ de dx dxdz dy dydz dz dz^ ) 1
Si Ton multiplie ces équations, la première par dx^ la seconde par dj^ la troisième par rfz, qu'on les ajoute ensuite, et que Ton suppose la fonction Xctr -^Ydjr -\-Zdz une différence exacte, ce qui est le cas de la nature, et le seul, par conséquent, qu'il convienne d'examiner ici, en faisant, pour abréger,
Xr/x-4- Yr/r-hZrfe=:^n, on aura
p di dt ^ dt
2 \dx^ dy^ '^ dz^ )'
d'où, en intégrant et observant que l'on a
ds , du f dv t j do
-T cix -+- -y-dr -h ^ az = a. -7-7
dt dt ^ dt dt
on tire
/^ ___ rf^ __ I id^ . fîV . f[?'\ [ f) p ^ dt 2 \dx' "*" df' '^ dz' )' ^^ ^
Cette intégrale devrait contenir en outre une arbitraire fonction de t ; mais on peut la supposer comprise dans la fonction ç.
Si l'on substitue de même pour s^ w, v leurs valeurs dans l'équation (ft), on aura
rf(p , d(f , ^?
d^p—L fin—L cl,p — -
dp ^ ^ dx dy ^ dz , ^
C'est l'équation relative à la continuité du fluide.
Ainsi donc les équations du mouvement du fluide se réduisent, dans le cas que nous examinons, aux deux équations (/) et [g). Si le fluide est homogène,
on a, dans la première de ces équations, / — = -? et la seconde se réduit à
dx' ^ dy ^ dz' ^^
Il ne s'agit donc que d'intégrer cette équation ; elle donnera la valeur de y, et en la substituant dans l'équation (y), on aura par de simples difFérentiations celle de p.
Il n'y a aucun moyen de reconnaître à priori tous les cas où la fonction sdx + udjr -^ s^dz doit être une diflférence exacte ; mais on peut démontrer qu'elle le sera pendant toute la durée du mouvement, si elle Test pour un instant donné. En effet, supposons que, pour un instant quelconque, elle soit intégrable et égale à c/ç; dans l'instant suivant, elle deviendra
Elle sera donc encore une différence exacte pendant cet instant, si la fonction j da; -h -^ dj + -^ dz en est une. Or l'équation (e) donne
ds ^ du . dv ^ ,„ dp I , /rfœ' dfù^ rf©'\
Si Ton suppose la densité p constante ou fonction de p, le second membre de cette équation est une différence exacte; le premier l'est donc pareillement, et la fonc-
17a THÉORIE ANALYTIQUE
tion sdx -^ udy-^-vdz est une différentielle complète dans le second instant si elle l'est dans le premier, et elle demeure telle, par conséquent, pendant tout le temps où le fluide se meut.
Si le fluide part de l'état du repos, et sans qu'il lui soit imprimé de vitesses initiales, on aura j=o, «=o, i^ = o, pour le premier instant : sdx + udjr -\- vdz sera donc une différence exacte pour cet instant, et elle le sera aussi, par conséquent, pendant toute la durée du mouvement.
La fonction sdx -+- udj" -{- vdz est encore intégrable lorsque la masse fluide que l'on considère ne fait que de très^petites oscillations, ce qui permet de négliger les carrés et les produits des vitesses ^, m, s> de ses molécules. Les équations (a) donnent alors simplement
La fonction -j dx + — dj- -i- -j dz^ et, par conséquent, la fonction sdx -h udy -^ vdz^ sera donc une différentielle exacte, si l'on suppose, comme nous le faisons, p fonction de p. En nommant comme précédemment d(f cette dernière différence, on aura
Cette équation, jointe à l'équation (g), relative à la continuité du fluide, renferme toute la théorie des ondulations très-petites des fluides.
