CHAPITRE PREMIER

DES FORCES QUI PRODUISENT LES MOUVEMENTS DES CORPS CÉLESTES, OU PRINCIPE DE LA PESANTEUR UNIVERSELLE.

1. Nous voyons chaque jour tous les corps du système solaire, transportés par un mouvement propre d'occident en orient, changer de position dans les cieux et parcourir d'immenses espaces avec d'incroyables vitesses. Il faut en conclure, en vertu de ce prin- 'cipe général de la nature que nous avons nommé l'inertie de la matière, que ces corps sont sollicités par des forces qui sont invisibles à nos yeux, mais dont l'action est permanente. Sans elles, ces corps resteraient immobiles ; ils ne varieraient pas par rapport aux étoiles, et nous les verrions toujours reparaître dans les mêmes lieux du ciel ou nous les aurions aperçus d'abord. Telle est donc la première idée que présentent à l'esprit de l'observateur les mouvements des corps célestes, et la théorie du système du monde se rattache par conséquent à un grand problème de Mécanique, qui consiste à déterminer les mouvements dans l'espace d'un systèmede-corps soumis à des forces quelconques. Les éléments des mouvements des astres, leur figure et leurs masses sont les arbitraires de ce problème, et des données indispensables que la mécanique céleste doit emprunter à l'Astronomie. Mais pour déduire de la solution de cette

question générale des résultats comparables aux observations, il faut nécessairement connaître la nature des forces que Ton considère, il faut savoir quelle est la puissance invisible qui anime ces grands corps isolés dans l'espace, qui fait mouvoir ces masses immenses, sans jamais laisser après elle d'autres traces de son action que les effets qu'elle a produits. Pour nous guider dans cette recherche, et pour éviter de nous égarer dans de vains systèmes, c'est à ces effets mêmes qu'il faut avoir recours; c'est en interprétant convenablement les faits qu'elle nous présente, qu'on peut deviner la nature; c'est en examinant avec soin les phénomènes observés que l'on peut espérer de s'élever jusqu'à leur cause. Si les résultats de cet exa-' men nous ont révélé les véritables lois de la nature, il faudra qu'en les combinant avec les principes généraux du mouvement, nous voyions se reproduire, non-seulement les phénomènes particuliers d'où nous les aurons déduites, mais encore tous les autres phénomènes du système du monde que l'observation nous a fait connaître. Cette découverte aura cessé alors d'être une simple hypothèse, et elle aura atteint le plus haut degré de certitude dont les vérités physiques soient susceptibles.

De tous lés phénomènes que nous offrent les cieux, le mouvement de révolution des planètes et des comètes autour du Soleil, est celui qui paraît le plus propre à nous découvrir la loi des forces qui les produisent. T^a similitude dos orbites des planètes et des comètes, l'identité de leurs figures semblent nous indiquer d'avance que ces forces dérivent toutes d'iui

principe général, et qu'elles ne se modifient qu'à raison de circonstances particulières aux corps auxquels elles sont appliquées. Considérons donc le mouvement d'une planète ou d'une comète circulant autour du Soleil, et déterminons la force qui doit l'animer pour produire ce mouvement.

Une observation attentive du cours des planètes a établi d'une manière positive les faits suivants, qu'en mémoire de l'astronome qui les découvrit, on a nommés les lois de Kepler.

I**. Les aires décrites par les rayons vecteurs des planètes et des comètes dans leur mouvement autour du Soleil^ sont proportionnelles aux temps.

1^, Les orbites des planètes et des comètes sont des sections coniques dont le centre du Soleil occupe un desfoyers.

3®. Les carrés des temps de rés^olutions des planètes sont proportionnels aux cubes des grands aa:es de leurs orbites^ ou, ce qui revient au même, et qui peut s'appliquer également aux planètes et aux comètes, les aires décrites en temps égal, dans différentes

orbites j sont proportionnelles aujc racines carrées de

leurs paramètres .

2. Cela posé, formons les équations du mouvement de /a planète ou de la comète que nous considérons, de manière à satisfaire aux conditions précédentes. Rapportons la position de l'astre au plan même de son orbite; soient a: et ^ les coordonnées de son centre jgoi'avité relatives à deux axes rectangulaires menés parle centre du Soleil; X et Y l(*s forces accélérais.

i8o THÉORIE ANALYTIQUE

trices qui le sollicitent, parallèlement aux mêmes axes, les équations différentielles du mouvement seront, (n« 12, livre I),

Si Ton retranche ces deux équations Tune de Vautre, après avoir multiplié la première par y^ et la seconde par x^ on aura

Il est aisé de s'assurer que xdy — jrdx est ie double de Taire que décrit autour du Soleil le rayon vecteur de la planète pendant Finstant dt. Cette aire, d'après la première loi de Kepler, est proportionnelle à l'élément du temps; on aura donc

xdj — jdx ^=. cdt^ [b)

c étant une constante arbitraire.

La différentielle du premier membre de cette équation est nulle, et l'équation (i) donne par conséquent

Ya:-Xj=:o.

Il suit de là que les composantes X et Y sont entre elles comme les coordonnées jr et jr^ ce qui indique que leur résultante passe par l'origine des coordonnées, ou par le centre du Soleil. D'ailleurs la courbe que décrit la planète ou la comète étant concave vers le Soleil, la force qui l'anime est évidemment dirigée vers cet astre.

Déterminons maintenantes intensités de cette force

DU SYSTÈME DU MONDE. ï8i

à dififèrenles distances du Soleil. Reprenons pour cela les deux équations (rt). Si on les ajoute après avoir multiplié la première par arfjr, la seconde par idy^ et qu'on intègre leur somme, on trouvera

c' étant une nouvelle constante arbitraire.

Transformons les coordonnées x ^t y en d'autres variables plus commodes pour comparer cette équation aux résultats des observations. Soient r le rayon vecteur de la planète dans son orbite, s> Tangle que forme ce rayon avec Taxe de ^ ; on aura

a: =.r cosi^, y = rsinf^, r = yjx^ + j**,

d'où Ton tire

dx^ '^dy^= dr^ + r* cfif^, xdy — ydx = r^ di^.

Désignons de plus par R la force totale qui agit sur la planète, cette force étant dirigée suivant le rayon vecteur r, et tendant à diminuer les coordonnées x et y ; on aura

X = — Rcos<>, Y= — Rsini^, R = VX^ + Y^

et, par conséquent,

Xdx'^Ydy= -^Rdr.

Si Ton substitue ces valeurs dans l'équation (2) et qu'on élimine dt au moyen de l'équation (/;), on aura

i82 THÉORIE ANALYTIQUE

Celte équation donnera, en Tintégrant, la relation qui doit exister entre le rayon vecteur r et la longitude i^, c'est-à-dire T équation polaire de T orbite, lorsque R sera donné ; dans le cas contraire, en la comparant à Téquation difFérentielie de Torbite, supposée connue, elle servira à déterminer cette force.

Les planètes et les comètes se meuvent dans des sections coniques dont le Soleil occupe le foyer, d'après la seconde loi de Kepler; Téquation générale de ces courbes, rapportées aux coordonnées polaires, peut être mise sous cette forme :

I i-f-^cos(t' — w) / V

n désignant le demi-grand axe, ou ce que les astronomes appellent la distance moyenne', e V excentricité, ou le rapport de la distance focale au demi-grand axe. Le point de l'orbite le plus rapproché du Soleil se nomme le périhélie, et le point qui en est le plus éloigné Vaphélie\ w est l'angle compris entre le grand axe, ou la ligne des apsides, et la ligne fixe d'où l'on compte l'angle v^ ou, ce qui revient au même, la longitude du périhélie.

L'équation précédente est celle d'une ellipse lorsque a est positif, et que e est plus petit que l' unité ;^ elle devient celle d'une parabole quand a est infini et que e égale l'unité; enfin elle représente une hyperbole lorsque a est négatif et que e surpasse l'unité.

Elle donne, en la différentiant,

I dr cftm[v — «)

DU SYSTÈME DU MONDE. i83

d'où, en élevant les deux membres au carré, et éliminant e^sin*(p— w) au moyen de Téquation (c), on tire

L'équation (3) devient ainsi

.^^ ,v rr^ — n = ^ — a/Rr/r.

Celle équation donne, en la différentiant.

Ainsi donc, de ce que les orbes que les planètes et les comètes décrivent autour du Soleil sont des sections coniques, il s'ensuit que la force qui les sollicite est réciproque au carré des distances du centre de ces aslres au centre du Soleil. Cest en vertu d'une force accélératrice dirigée vers le Soleil, et variable suivant cette loi, combinée avec une impulsion primitive, que chacun de ces corps est mis en mouvement dans l'espace.

Réciproquement, si la force R est supposée croître en raison inverse du carré des distances, ou égale à

-? h. étant une constante, la courbe décrite est une

section conique : en effet, si l'on remplace R par sa valeur, Téquation (3) devient

Cette équation est identique avec l'équation (r/)

i84 THÉORIE ANALY'nQUE

lorsqu'on suppose

Ces équations de con^iition détermineront les deux arbitraires a et e; l'équation (c) des sections coniques ne contiendra donc plus que la seule constante arbi« traire w^ et comme Téquation (4) n'est que du premier ordre, elle sera l'intégrale complète de cette équation.

Ainsi donc, ce u^est qu'en vertu d'une force attractive réciproque au carré des distances, qu'un corps projeté dans l'espace peut décrire autour du Soleil une section conique; et la plus légère variation dans cette loi produirait des orbites d'une nature toute différente.

L'intensité de la force R dépend du coefficient A,

ou de sa valeur . ^ • Les trois quantités a^ e^ c

qui entrent dans cette fonction, ont, relativement à chaque planète et à chaque comète, des valeurs particulières, en sorte qu'on ne saurait décider d'avance si cette intensité varie d'une planète à une autre, ou si elle est la même pour tous les corps célestes; mais la troisième loi de Kepler, dont nous n'avons point encore fait usage, va nous fournir le moyen de résoudre cette question. En effet, soit Tle temps de la révolution d'une planète, cT sera le double de l'aire décrite pendant cet intervalle par son rayon vecteur, puisque les aires sont proportionnelles au temps, et que c exprime, comme nous l'avons vu, le double de Taire décrite pendant l'unité de temps. Mais l'aire que

DU SYSTÈME DU MONDE. î85

le rayon vecteur r décrit pendant le temps T, est la surface même de Tellipse planétaire; elle sera donc égale knà^ \li — e^^en nommant n le rapport de la circonférence au diamètre, et Ton aura ainsi

d'où l'on tire

De même, relativement à une autre planète quelconque, en nommant a', ef^ d ^ T', ce que deviennent, par rapport à cette planète, les quantités que nous avons désignées par a, e, c, T, on aurait

4 ff^ a''^

Or, la troisième loi de Kepler donne cette proportion par-cOnséquent

La troisième loi de Kepler s'observe, relativement aux comètes, dans la partie de leur cours que nous pouvons observer; mais, comme les grands axes de leurs orbites et la durée de leur révolution sont généralement inconnus, on calcule leurs mouvements dans des orbes paraboliques. En nommant D la distance du foyer au sommet de la parabole, le paramètre qui, dans l'ellipse, est exprimé par 2<2.(i — e^) , est par rapport à cette nouvelle courbe égal à 4 D 5

on a donc, relativement à une comète quelconque,

h = A:r- D'ailleurs les aires décrites pendant le même

intervalle de temps dans différentes orbites, sont entre elles comme les racines carrées de leurs paramètres, ce qui donne la proportion

c \ c' \\ yfia [\ — e^) \ 7, VD, et, par suite,

Le coefficient h est donc le même pour tous les corps du système solaire, Il suit de là que Tintensîté de la force R est, relativement aux planètes et aux comètes, réciproque au carré de leurs distances au Soleil, et ne varie de Tune à Tautre qu'à raison de ces distances.

Deux planètes, supposées également éloignées du Soleil, seraient donc attirées vers cet astre par des forces égales, et, abandonnées à leur pesanteur, elles s'y précipiteraient avec la même vitesse : la farce qui les sollicite, est donc encore proportionnelle à lefUr masse.

Les satellites, dans leur mouvement autour de leurs planètes, observent, à quelques inégalités près, les lois de Kepler; ils circulent d'ailleurs autour du Soleil à très-peu près comme leurs planètes elles-mêmes, de ^rte qu'en même temps que les satellites se meuvent autour de leur planète, le système entier de la planète et de ses satellites est emporté d'un mouvement commun dans l'espace, et retenu par la même force

autour du Soleil. Il en faut conclure que les satellites sont attirés vers le centre de leur planète, et vers le centre du Soleil, par des forces réciproques aux carrés des distances. Le mouvement elliptique de la Lune autour de la Terre étant, il est vrai, sensiblement altéré par laction des forces perturbatrices, la loi de diminution de la force attractive de cette planète ne saurait s'en déduire d'une manière aussi évidente; mais la comparaison des mouvements lunaires au phénomène de la chute des corps à la surface de la Terre nous offre pour reconnaître cette loi un moyen plus simple et aussi exact. En effet, en comparant la pesanteur que la Terre exerce sur les corps qui l'environnent à la puissance qui retient les planètes dans leur orbite, on voit que ces forces ont entre elles la plus grande analogie. La pesanteur terrestre se manifeste sur le sommet des montagnes les plus élevées, et les expériences du pendule prouvent que son action s'affaiblit à mesure que Ton s'éloigne du centre du globe, il est donc naturel de supposer qu'elle s'étend jusqu'à la Lune en suivant la loi de diminution de la gravité. Comparons, dans cette hypothèse, la hauteur dont un corps pesant, placé au centre de la Lune, tomberait vere la Terre dans la première seconde de sa chute, à l'espace dont la Lune s'approcherait de la Terre, dans le même intervalle, sans la vitesse de projection qui la retient dans son. orbite.

Désignons par tp l'intensité de la pesanteur sous le parallèle dont le carré du sinus de la latitude est | : nous choisissons ce parallèle parce que l'attraction de la Terre sur les points placés à sa surface, est à très-peu

i88 THÉORIE ANALYTIQUE

près la même, comme cela a lieu à la distance de la Lune, que si la masse entière du globe était réunie à son centre de gravité. Si Ton suppose que la pesanteur terrestre diminue proportionnellement au carré des distances, qu'on nommer le rayon de la Terre correspondant au parallèle que nous considérons, et r' la moyenne distance de la Lune à la Terre, la quantité

^ exprimera la force qui solliciterait vers le centre de

cette dernière planète un corps placé au centre de la Lune. La pesanteur sous le parallèle dont le carré du sinus de la latitude est ■^, a pour mesure 9^,79386; mais la gravité est diminuée sous ce parallèle des deux tiers de la force centrifuge due au mouvement de rotation de la Terre : cette force est le -^ de la gravité (n** 16, livre I). if faut donc augmenter dans le même rapport la quantité 9^,79386 pour avoir la mesure de la force totale due à l'attraction de la Terre ; on aura ainsi

La distance moyenne de la Lune à la Terre, d'après les observations les plus exactes, est égale à 6o,36?;5 fois le rayon terrestre correspondant au parallèle dont nous nous occupons : on a donc tout ce qui est néces-

saire pour l'évaluation de la fonction ^ 9 et comme

cette quantité, par les lois de la chute des graves, doit être égale au double de la hauteur dont un corps placé au centre de la Lune tomberait vers la Terre dans la première seconde de sa chute, en nommant h cette hau-

teur, on aura

Comparons cette quantité à la hauteur dont la Lune descendrait vers la Terre dans le même intervalle, en vertu de la force attractive de cette planète, sans la vitesse de projection qui la maintient dans son orbite. Cette hauteur est évidemment égale au sinus verse de l'arc que laLune parcourt sur son orbite en une seconde de temps; si Ton désigne par T le temps d'une révolution sidérale de laLune exprimée en secondes, par /*' le rayon moyen de Forbe lunaire, et par n le rapport de la circonférence au diamètre, cet arc sera égal à

' -^) et comme il est nécessairement très-petit, son

Sinus verse sera a tres-peu près égal a — 7 ( — - — 1 ?

ou a -— —

Nous verrons, dans la théorie de la Lime, que sa pesanteur vers la Terre est diminuée par l'action du Soleil d une quantité dont la partie constante est la ytï partie de cette pesanteur; de plus, la force qui maintient la Lune dans Forbite qu'elle décrit autour de la Terre, est égale à la somme des masses de la Terre et de la Lune divisée par le carré de leur distance mutuelle. Il faut, d'après cela, introduire une double

correction dans l'expression précédente ? pour

avoir l'espace dont la Lune descend verslaTerreenune seconde de temps en vertu de la seule action de la Terre. Or il est aisé de voir que la première correction re-

nature que cette tendance générale qui pousse les corps célestes les uns vers les autres ; il est donc présumable que ces deux forces ont le même niode d'action. Cest d'ailleurs ce que Texpérience confirme de la manière la plus évidente. Ainsi nous ferons voir dans la théorie de la Lune qu'une légère différence supposée dans les actions du Soleil sur la Terre et sur la Lune, troublerait sensiblement l'accord qui existe entre les résultats de la théorie et des observations; et Ton verra dans la théorie des marées, que si les attractions que le Soleil et la Lune exercent sur la partie solide du sphéroïde terrestre, et sur les molécules aqueuses de l'Océan, n'étaient pas idejitiquement les mêmes, les phénomènes du flux et du reflux seraient très-différents de ce qu'ils sont aujourd'hui.

La théorie de la Lune a servi encore à démontrer que la transmission de la gravité, si elle n'est pas instantanée, doit être supposée au moins cinquante millions de fois plus grande que celle de la lumière, qui est, comme on sait, de 70000 lieues par seconde. On peut donc, sans erreur sensible, regarder comme on l'a fait jusqu'ici, cette vitesse comme infinie. Enfin il résulte de l'accord du calcul et des phénomènes observés, que la pesanteur terrestre et la gravitation des corps célestes n'éprouvent aucune altération de l'interposition de corps étrangers entre les points attirés et le foyer d'attraction. Il faut donc désormais reconnaître comme une vérité démontrée par l'accord du calcul avec tous les faits observés, cette grande loi de la nature, savoir : que toutes les molécules de la matière s'attirent en raison directe des masses ^ et ins>erse du

carré des distances. Cette attraction mutuelle agit instantanément, et n'est modifiée ni par la nature des molécules, ni par F interposition de corps étrangers.

4. Le mouvement elliptique que nous avons supposé aux planètes n'est, il est vrai, qu'approximatif, et les corps célestes ne se meuvent pas rigoureusement dans des sections coniques; mais il faut considérer qu'en vertu de leurs actions mutuelles les unes sur les autres, les planètes doivent s'écarter des orbites elliptiques qu'elles décriraient si elles n'étaient soumises qu'à la seule action du Soleil, et comme les masses des planètes sont toutes très-petites relativement à celle de cet astre, ces écarts ne doivent qu'altérer légèrement la forme des orbites elliptiques, et la durée des révolutions planétaires qui leur correspondent ; c'est en effet ce qui a lieu dans la nature. Ces perturbations ne sont donc qu'une nouvelle conséquence du principe de la gravitation universelle; et ce qui caractérise éminemment cette grande loi, dont nous devons à Newton l'immortelle découverte, c'est que toutes les anomalies qui se sont présentées dans les mouvements des corps célestes, et qui ont semblé d'abord devoir en faire contester l'existence, ont été expliquées par elle à mesure que l'analyse a fait de nouveaux progrès, . et n'ont servi qu'à la faire ressortir avec un nouveau degré d'évidence.

Une fois ce grand principe admis, on voit tous les phénomènes célestes s'en déduire sans peine. Les perturbations des planètes, des comètes et des satellites en sont, comme noua l'avons dit, la première con- I. i3