CHAPITRE IL

ÉQUATIONS DIFFÉRENTIELLES DU MOUVEMENT D'uN SYSTÈME DE CORPS SOUMIS A LEURS ATTRACTIONS MUTUELLES.

5. Pour embrasser dans toute sa généralité la théorie des mouvements des corps célestes, nous commencerons par former les équations différentielles du mouvement d'un système de corps soumis à leurs attractions mutuelles, en supposant, conformément aux résultats trouvés dans le chapitre précédent, que ces attractions s'exercent en raison directe des masses et en raison inverse du carré des distances. Nous restreindrons seulement l'étendue de cette question par l'hypothèse que les parties du système sont assez éloignées entre elles pour que l'on puisse faire abstraction de la figure.des corps attirants, et les regarder comme des masses concentrées dans leur centre de gravité. Cette hypothèse est conforme, comme nous le ferons voir, à ce qui a lieu dans notre système planétaire.

Soient donc m la masse de l'un quelconque des corps du système que nous considérons; x, Y, z, les coordonnées de son centre de gravité relatives à trois axes rectangulaires passant par une origine fixe quelconque; oc y y y z, les coordonnées d'un des éléments dm de sa masse rapportées aux mêmes axes; nommons m', rri\ etc.*, les masses des différents corps attirants que nous regardons comme des points, et soient

jc\ y f 2' les coordonnées de m'; x'\ j% z'\ les coordonnées de ni'\ et ainsi de suite.

Désignons par r la distance de l'élément dm au corps /-^i? en sorte qu'on ait

/• = ^{cC - xf -t- [f -■ jf + (z' - zf. L'action qu^eu vertu de la loi de la pesanteur universelle ce corps exerce sur dm^ sera égale k—^ Cette ac-

tion étant dirigée suivant la droite r, pour la décomposer parallèlement aux axes des coordonnées, il faudra multiplier l'expression précédente par le cosinus de l'angle que forme la droite r avec chacun de ces axes; on aura ainsi

OU bien .

dx dy dz

En marquant successivement d'un accent les lettres m' et si^ y ^^ qui entrent dans la valeur de r, on trouvera des expressions semblables pour les actions que les corps m", m", etc. , exercent sur dm^ parallèlement aux axes des x^ des y et des z. Soit donc

+ ! + etc.

igS THÉORIE ANALYTIQUE

La fonction V désignant la somme des masses /»', iifj etc., divisées respectivement par leurs distances à la molécule rfm, les trois différentielles partielles

— , __- , —— exprimeront les forces accélératrices dx djr dz ^

dont cet élément est animé, en vertu des actions réunies de tous les corps du système, décomposées pa- • railèlement aux axes coordonnés, et dirigées en sens contraire de leur origine. Ces forces sont celles que nous avons désignées par X, Y, Z dans le n** 27 du premier livre. On aura donc ainsi

. dr „ dr rj dr

A = -T~9 JL = —7-*' ^ ^= ""T"' dx ay dz

et les trois équations (/>) du n® 27 deviendront

le signe intégral S se rapportant à Télément dm et aux quantités qui varient avec lui, et devant être étendu à la masse entière du corps m. Ces équations serviront à déterminer les mouvements du centre de gravité du corps m dans Tespace.

Sapposons maintenant que Ton désigne par a:, /, z les coordonnées de l'élément rfm, rapportées aux trois axes principaux qui se croisent en ce point, et par ^'t j\ ^'> x'\ f\ ^\ etc., les coordonnées des corps m', m", etc. , relatives aux mêmes axes, on aura^ comme

précédenanieiit,

■ zy

-zy

etc.,

elles trois forces qui agissent sur rélément dm parallèlement aux axes des Xy des jr et des 2, et en sens

opposé a leur origine, seront -^, —, — •

En désignant donc, comme dans le n^ 30, par N, N',N" la somme des moments de ces forces rapportées respectivement aux mêmes axes, on aura

c, I dY dY\ , \

elles trois équations différentielles (C) (n°30), deviendront, par la substitution de ces valeurs,

.j-.(.-c„,=s.(.^^-,'ir),„„, (B)

le signe intégral S se rapportant, comme précédemment, à la molécule dm et devant être étendu à la masse entière du corps attiré. Ces équations serviront

aob THÉORIE ANALYTIQUE

à déterminer les mouvements de m autour de son centre de gravité.

6. Les. équations précédentes sont indépendantes du nombre des corps agissants du système; elles conserveraient encore la même forme dans le cas où Ton voudrait avoir égard aux dimensions et à la figure de quelques-uns de ces corps. En effet, il suffirait pour cela de supposer que m', m'', etc., dans la fonction V, représentent les éléments infiniment petits de la masse du corps que Ton veut considérer; on aura ainsi

.' V( x" —xf -h [y" ^xY -f- {z" — zy

dm' étant un des éléments de la masse de m'; jc', y y z\ les coordonnées de cet élément rapportées aux mêmes axes et à la même origine que les coordonnées jc^ y^ z; enfin, le signe intégral S' se rapportant à cet élément et devant s'étendre à la masse entière , de w', et de même relativement à drri' ^ dni\ etc. Les seconds membres des équations (A) et (B) dépendront alors de deux intégrations indépendantes Tune de Tautre, la première relative à la masse du corps attiré, la seconde à celle du corps attirant.

Nous désignerons désormais, pour abréger, par V la fonction qui représente la somme des produits deux à deux des éléments du corps attiré par. les éléments des corps attirants du système, divisés respectivement

par leurs distances nuituelles, en sorte qu'on ait V = S,\'dm, ou bien en remplaçant \' par sa valeur, et ne considérant, pour simplifier, que l'action mutuelle des deux corps m et m'

V(x'— jr)'-h(7' — jy^H-(3' — z)^

le double signe intégral S et S' se rapportant, le premier à la molécule ^m, et le second à la. molécule dwl^ et devant s'étendre respectivement Tun à la masse entière du corps attiré, Tautre à la masse entière du corps attirant. La fonction V, ainsi définie, est d'un fréquent usage dans toutes les parties de la théorie du système du monde, et elle jouit de plusieurs propriétés remarquables que nous développerons dans la suite.

Les six équations (A) et (B) déterminent donc complètement les mouvements du corps m dans Tespace ; les trois premières donneront à chaque instant la position de son centre de gravité par rapport à trois axes fixes pris à volonté, et les trois autres détermineront son mouvement de rotation autour de ce point supposé immobile. Nous pourrons donc, conformément à ce que nous avons dit dans le n** 27 du premier livre, simplifier la question dont nous nous occupons, en la divisant en deux parties. Dans la première, nous examinerons les mouvements des centres de gravité des corps célestes dans l'espace, et dans la seconde, leurs mouvements de rotation autour de ces points.

7. Lorsqu'on ne considère que les mouvements de translation d'un système de corps w, /w', iri\ etc., et

qu'on suppose les distances mutuelles de ces corps très-considérabl.es relativement à leurs dimensions respectives, on peut, sans erreur sensible, faire abstraction totale de leur 6gure, et regarder à la fois les corps attirants et les corps attirés comme des points concentrés dans leur centre de gravité. Les équations (A) prennent dans ce cas une forme plus simple; en effet, les coordonnées x^ j^ z de l'élément dm sont alors identique^ avec les coordonnées x, Y-, z du centre de gravité du corps m; si Ton fait donc

mm" m'm'"

etc.,.

on a

et les trois équations (A) deviennent

d'^x ^ d\ fîV J ' ^^ ^'^^ 1 ^^'^ {é^\

de m dx^ dO '^ .17i ' df^ df lîi dz' ^ *^

En marquant successivement les lettres /n, x^ j^ z d'un accent, de deux accents, etc., on aurait des équations semblables pour déterminer les mouvements des corps m', m", etc. Le système de toutes ces équations réunies fournit un certain nombre d'intégrales relatives aux principes généraux du mouvement, confor-

DU SYSTÈME DÛ MONDE. 2o3

mément à ce quenous avons dit n*** 22 et suivants : c'est ce qu'il est facile de vérifier. Mais, pour intégrer complètement ces équations, et déterminer, par leur moyen, les valeurs des coordonnées or, j^ z,.etc., en fonction du temps, on est forcé de recourir aux méthodes d'approximation .

8. Pour pouvoir employer avec avantage les équations (C) dans la théorie du système du monde, il est nécessaire de leur donner une forme plus appropriée aux usages astronomiques. En effet, dans Fimpossibililé où nous sommes de juger de leurs mouvements absolus dans l'espace, c'est au centre du Soleil que nous rapportons les mouvements des planètes et des comètes; il faut donc, pour pouvoir comparer la théorie aux observations, déterminer les mouvements d'un système de corps m, w', m", etc., autour de l'un d'entre eux regardé comme le centre de leurs mouvements. . Soit M la masse de ce dernier corps, wi, m', w", etc. , celles* des autres corps dont on veut déterminer les mouvements relatifs autour de M; Ç, y}, Ç, les coordonnées rectangles de M rapportées à une origine fixe ; ?-f-^, Ty-f-j^', Ç-hz, celles de /7i; ?H-^, >? 4-^', Ç+2;', celles de m'^ et ainsi de suite; en sorte que ;r, j^ z seront les coordonnées de m par rapport à M; jc', ^', z% les coordonnées de m' par rapport au même corps, et ainsi de suite; faisons de plus, pour abréger,

r = V P'^ +y''- +^'% etc. ,

2o4 THÉORIE ANALYTIQUE

et supposons

mm^

rn' m'"

-h =r -h etc.

L'action de m sur M sera exprimée par -^> et cette

action décomposée parallèlement aux axes coordonnés, et dirigée en sens contraire de leur origine, donf nera, suivant chacun de ces axes, les trois forces

mx mj ms

^3 ^3 jri

En marquant successivement d'un accent, de deux accents, etc., les lettres m, or, ^, z et r, on aura, pour les actions de m\ de m", etc., sur M, des expressions semblables; le mouvement de M sera donc déterminé par les équations différentielles

^'Ç y mx d^n my^ d^l, mz

"dF ~ '7^' IF' ~ ' ry IF ^7^'

Cela posé, l'action de M sur w, parallèlement aux axes de ses coordonnées, et dirigée vers leur origine, sera

Mx M/ Mz , - . ^ ,. i d\ 1 d\ i d\

— T? -^ï -7- ] les trois fonctions — • -r » — * ^r-' —zr

r^ r^ r^ m dx m djr rn dz

exprinieront la somme .des actions qu'exercent sur m les autres corps m\ m", etc., décomposées parallèlement aux mêmes axes et tendant à augmenter les coordonnées de m\ on aura donc, en vertu des actions

^^^^ïïies de M, m\m\ etc.,

d\{n^y) dt^

d\[K,^z) df"

d\ ' dx

Mr ^ 1

Mz I

d\ ' dz'

' -TT'* -TT' leurs valeurs

Si Von substitue pour ^^, . ^^ , ^^^

ces équations deviendront

y.mx ^ my ^ mz

d'^x ^ Mx ^ ^ mx I dt^ ' r' "^ r^ ~" w

d\ "di'

d^z Mz -, wz 1

dt^ "^ r^ ' r^ ^ m

d\ "dz'

0» peiit leur donner encore une autre forme. En ^«.

effet, si pour abréger on fait M -h m = [i et qu'on* '^^"^ > suppose ^"^ • R

-V-nt -V-etc,

elles deviennent

d'x ~dF

dt^

lix dK

r' ilx

Lagrange est le premier qui ait présenté de cette manière les équations du mouvement des centres de gravité des corps célestes. Ce qui contribue surtout à les simplifier, c'est la considération de la fonction R, analogue à la fonction V dont nous avons fait usage (n** 5), et qui a la propriété de représenter par ses différences partielles les actions perturbatrices qu'exercent les planètes 7n', m'\ etc., sur m. L'emploi de cette espèce de fonctions est également utile dans la théorie des mouvements de rotation des corps célestes, dans celle des attractions des sphéroïdes d'où dépend la détermination de leurs figures, dans la théorie du flux et du reflux des mers, dans toutes les questions enfin où l'on a à considérer un grand nombre de forces de même nature et agissant d'une manière analogue. En réunissant sous un même point de vue des expressions qui seraient sans cela très-compliquées, il rend leurs rapports plus faciles à saisir, et cette notation, fort simple en apparence, introduite par Lagrange dans la mécanique céleste, en contribuant aux rapides progrès qu'elle a faits dans ces derniers temps, a eu pour ^^ s la théorie du système du monde tous les avantages d'une véritable découverte.

En changeant successivement dans les équations (D) les lettres m, a:, j^ z, r en celles-ci, w', x\ y' ^ z', r', m", x'\ jr'\ z", r", etc., et réciproquement, on aura trois équations semblables pour chacun des corps m\ m", etc., ce qui forme un système d'autant d'équations différentielles du second ordre qu'il y a de coordonnées ;r, jr^ z, x'^ y\ z', etc., à déterminer en fonction du temps. Il ne s'agit donc plus que d'intégrer

. ar~^

rw»

ces équations, pour être en état de déterminer à chaque instant la position des corps m, m', etc., dans l'espace ; malheureusement cette intégration n'est pas possible en général, dans l'état actuel de J'analyse : le système des équations (D) et des équations semblables relatives à /»', /n", etc., fournit seulement un petit nombre d'intégrales finies, dépendantes des lois générales qui s'observent dans toute espèce de mouvement. Comme ces intégrales sont de la plus grande utilité dans la théorie des perturbations planétaires, nous allons les développer ici.

9. Si l'on multiplie l'équation différentielle en ^ par M H- 2/71, et les équations en x^ œ'j x'\ etc., la première par w, la seconde par m'^ et ainsi du reste, qu'on les ajoute ensuite, en observant que, par la nature de la fonction X, on a

dk d\ d\ dx "^ dx' "^ dx"

on aura

d'oui

on tire, en intégrant, ^z=z a-^ bt -

l.mx

atlh

étant deux constantes

arbitraires.

aurait

même

l.mz

a'j b'j a'\ b"j étant des constantes arbitraires. Ces

2o8 THÉORIE ANALYTIQUE

équations serviront à déterminer le mouvement absolu de M dans l'espace, lorsque Ton connaîtra les mouvements relatifs de m, m\ m'\ etc., autour de ce corps.

Si ron multiplie l'équation en x par