wr ^ M 4- Z./7I

l'équation en jr par

l..mx

— mx H- m -- , ^ -,

1 équation en x' par

l'équation en j-' par

M-1-2./71' qu'on ajoute ensuite les différents produits, en observant que, par la nature de la fonction X,

dl , dl dl , ^X

on aura

(xd^Y—rd^x\ l,mY d"^ x l.mx d^y ^^—r^ H-t; '^—^'^^-TT—ir. 2./?/ -74=0; dt' y M-f-Z./w dt^ M+2.m dt'

d'où Ton tire, eu intégrant,

(xdy — ydx\ ^»my dx l,mx dy

l.m — ^-— ^^ + =^ 2.m . 2.772 -f- =:const.,

\ dt J M+2.7/1 é/r Mh-2.771 dt

équation qui peut s'écrire ainsi :

^« trouverait d'une manière semblable lesdeux autres intégrales suivantes :

M^^^(xdz^zdy)

c, c\ c" étant des constantes arbitraires.

Ces trois intégrales s'accordent avec les équations (E) (n^ 25 et 26, liv. I); elles renferment, comme nous l'avons vu-, le principe de la conservation des aires.

Si l'on multiplie les équations différentielles (D), la première par

intox — *im-

M-f-S./w' la deuxième par

, l^.mdy

la troisième par >

, l.mdz

qu'on multiplie semblablement les équations différentielles en jc', jr'j z' par les mêmes facteurs, après y avoir changé les lettres m, x\ y^ z hors du signe 2, en m\ x' ^ y* ^ z', et ainsi du reste; qu'on ajoute ensuite toutes les équations résultantes, en observant que l'on a

di d'k d\ , d\ d\ d\

on triiuvèra

(dxd^x-hdrd^f'^dzd^z) nl^.m dx md^x

nl.m ^ r— — — 2 . — 7— -

dt^ M -h 2.W dt^

M-f-2./ii dt^ M-h2./iï dt^ '* '

et, en intégrant,

dx^ -h dy'' -h dz* {l.mdxy-h {l.mdj'y-^'{l.mdzY ^•'" :^7ÏP (M-hl.m)dr

— aM2. 2A = const. ^

équation qui peut s'écrire ainsi :

h étant une constante arbitraire. Cette équation s'accorde avec Téquation (p) du n^26, livre Ijelle renferme le principe de la conservation des forces vives.

Telles sont les seules intégrales premières qu'on ait pu tirer jusqu'ici du système dés équations (D) réunies aux équations semblables relatives aux corps M, m', 7?ï", etc. Elles indiquent des relations qui doivent toujours exister entre les coordonnées de ces différents corps, et qui résultent des principes généraux du mouvement; mais elles sont loin de suffire à leur détermination, et l'on est réduit, pour achever l'intégration des équations (D), à recourir aux méthodes d'approximation. Comme ces méthodes sont princi-

paiement fondées sur ce que les distances des planètes et des comètes au Soleil, et leurs distances mutuelles^ sont extrêmement grandes relativement aux dimensions de ces corps et à celles des systèmes partiels que forment les planètes avec leurs satellites, il est important de feire voir quels sont les avantages que présente à cet égard la constitution du système solaire. Ces considérations serviront d'ailleurs à montrer que les quantités que nous avons négligées dans la formation des équations différentielles (D ), sont en effet toujours insensibles.

10, Ne considérons, pour simplifier, que Faction réciproque de deux corps m et /w', et représentons généralement (n** 6^ par V la fonction qui exprime la somme des produits deux à deux des éléments cUn et dm* dont ces corps se composent, divisés par leur distance mutuelle. Soient x, y, z les coordonnées de dm rapportées à une origine fixe, et x', Y', z' les coordonnées de din! rapportées à la même origine, on aura

dm dm'

le double signe intégral S se rapportant à deux intégrations indépendantes l'une de l'autre, la première relative à la masse du corps attiré, et la seconde à celle du corps attirant, et devant être étendues respectivement aux masses entières de ces deux corps.

Cela posé, soient x', jr'^ z' les trois coordonnées du centre de gravité de m', rapportées aux mêmes axes et à la même origine que x', y', z', et soient œ^^ j\^ z

les coordonnées de dm! relatives à ce centre^ en sorte qu'on ait

Supposons

Si Ton substitue dans cette fonction , à la place de X', y', z', leurs valeurs, qu'on développe ensuite la fonction résultante par rapport aux puissances ascendantes de x\ , jr\ , z, , en faisant, pour abréger,

on aura.

Les dimensions du corps m' étant supposées peu considérables par 4*apport à la distance de m à. m'y les coordonnées x\ , jr\ , z, seront fort petites relativement aux différences or' — x, ^' — Y, z' — z. En conséquence, nous les regarderons comme des quantités très-pelites du premier ordre, dont on peut, sans erreur sensible, négliger les carrés et les puissances supérieures. La valeur de u se réduira ainsi à

Si l'on multiplie cette expression par dmdin'j qu'on l'intègre ensuite par rapport à din\ en remarquant

que les quantités x\ , jr\^ z^ sont les seules qui varient avec dm\ et que, par la nature du centre de gravité, on a

S,x\ din! = o, S'.j] dm' =: o, S'.z dm' = o, on trouvera, en remettant pour r sa valeur,

y __ ^ m' dm ^

"" * ^^(x' — x)» H- (^' — y)» -h («' — z)»* C'est la valeur que nous avions supposée à la fonction S.Y'dm dans le n** 5, comme il est facile de s'en convaincre en substituant pour V sa valeur dans Texpression V = S.Y' dtn; on voit donc que cette valeur est exacte, aux quantités près du second ordre par rapport aux dimensions de m'. Les trois coordonnées x\ y\ z' étant indépendantes de la position de la molécule rfw?, et le signe intégral S ne se rapportant qu'à cet élémeqt et aux quantités qui varient avec lui, il eçt aisé de voir d'ailleurs qu'on a

Les trois différences partielles — ;t-;ï ~ 5^' "" 5^

exprimeront donc généralement l'action totale du corps f»' sur le corps /n, décomposée parallèlement aux axes coordonnés et dirigée en sens conti'aire de leur origine. On voit donc que cette action est la même, aux quantités près du second ordre, que si la masse entière de m' était réunie à son centre de gravité; les seconds membres des équations (A) et (B) sont donc exacts aux quantités près du njême ordre.

2i4 THÉORIE ANALYTIQUE

Soient maintenant ûc^ j^ z les trois coordonnées du centre de gravité de m, et a?,, jr^^ z^ les coordonnées de la molécule (im relatives à ce centre ; on aura

Si Ton substitue ces valeurs dans V, et qu'après avoir développé la fonction résultante on Tintègre, il sera facile de démontrer, par l'analyse précédente, qu'on a, aux quantités près du second ordre,

C'est la valeur que nous avons supposée à la fonction X dans le n^ 7; cette valeur est donc exacte, aux quantités près du second ordre par rapport aux dimensions de l'astre attirant et de l'astre attiré ; d'où l'on peut conclure généralement que l'expression de la fonction V, et par conséquent Faction totale de m' sur /7î, seront les mêmes, aux quantités près du même ordre, que si les masses des deux corps m et m', qui agissent l'un sur l'autre, étaient des points massifs placés à leurs centres de gravité respectifs.

Il suit de là que, dans la recherche des mouvements des centres de gravité d'un système quelconque de corps dont les dimensions soht très-petites par rapport à leurs distances mutuelles, on peut faire abstraction de leur figure, et que leur action réciproque les uns sur les autres est la même, à très-peu près, que si la masse de chacun de ces corps était réunie à son centre de gravité.

Si le système que l'on considère était partagé en plusieurs systèmes partiels, disposés de manière que

DU SYSTÈME DU MONDE. 2i5

les dimensions de chxicuu d'eux fussent très^petites par rapport iBiux distances mutuelles de leurs centres de gravité, on ferait

m et m' représentant les masses de deux corps appartenant à des systèmes différents, et jc, jr, 55, x% y\ tI les coordonnées de leurs centres de gravité rapportées à une origine fixe. Les différentielles partielles de la fonction V exprimeraient encore les actions du premier système sur le second, parallèles aux axes coordonnés. Or, si Ton désigne par x, y, z les coordonnées du centre de gravité du premier système, et par x', y', t1 les coordonnées du centre de gravité du second, il sera aisé de prouver par l'analyse précédente, et par les propriétés connues du centre de gravité, qu'on aura, aux quantités près du second ordre par rapport aux dimensions respectives de chacun des deux systèmes,

V^(x'-x)*-h(V-YrH-(z'-2}^

d'où il suit que les deux systèmes réagissent l'un sur l'autre, à très-peu près, comme si les corps qui les composent étaient réunis à leurs centres de gravité respectifs, et que par conséquent ces centres se meuvent comme si cette réunion avait lieu en effet.

H. I^ Soleil et les planètes forment un système semblable à celui que nous venons de considérer, les distances des satellites à leurs planètes i tjtit toujours peu considérables relativement aux distances de* la {

2i6 THÉORIE ANALY'nQUE

planète au Soleil et aux autres planètes. Il en résulte donc que le système d'une planète et de ses satellites agit, à très-peu près, sur les aiitres corps du système solaire, comme si la planète et ses satellites étaient réunis à leur centre commun de gravité, et que ce centre est attiré par ces différents» corps, comme il le serait dans cette hypothèse. Il s'ensuit encore que l'action du Soleil et des planètes étant à très-peu près la même sur la planète et sur les satellites, ceux-ci se meuvent à très -peu près comme s'ils n'obéissaient qu'à l'action de la planète.

Enfin la constitution du système solaire permet encore d'appliquer aux planètes et aux comètes les considérations sur lesquelles nous avons établi les équations différentielles (D) et (B), et les actions réciproques de ces corps les uns sur les autres sont à très-peu près les mêmes que si leurs masses étaient concentrées clans leurs centres de gravité respectifs. Mais cette supposition, que la petitesse des dimen-^ sions des corps célestes, comparativement à leurs distances mutuelles, rend déjà fort approchée, acquiert par la sphéricité de leurs figures un nouveau degré d'exactitude. En effet, on peut regarder les planètes et les comètes comme étant formées de couches à trèspeu près sphériques, de densités variables, et nous avons fait voir (n*^.19, livre I) que l'action d'une couche sphérique homogène, sur un corps qui lui est extérieur, est la même que si toute sa masse était réunie à son centre; d'où Ton peut conclure encore que les quantités négligées dans la formation des équations (D) et (E), sont du même ordre que l'excès du

sphéroïde attirant et du sphéroïde attiré sur la sphère concentrique. Les différents corps du système solaire réagissent donc les uns sur les autres, à très-peu près comme si leurs masses étaient réunies à leur centre de gravité, non-seulement parce que leurs distances mutuelles sont très-grandes par rapport à leurs dimensions respectives, mais encore parce que leur figure s'éloigne peu de celle de la sphère.

Il n'est plus permis, lorsqu'on considère les perturbations du mouvement de rotation d'un corps, de faire abstraction de sa figure; en effet, les seconds membres des équations (B) dans cette hypothèse se réduiraient d'eux-mêmes h zéro, ce qui est la conséquence nécessaire de ce que la résultante des attractions qui agissent sur le corps, étant supposée passer par son centre de gravité, elles ne sauraient exercer aucune influence sur son mouvement de rotation. Les fofces qui troublent le mouvement de rotation des corps célestes, sont donc du même ordre que l'aplatissement du sphéroïde sur lequel elles agissent, et comme leurs figures s'écartent en général très- peu de la figure sphérique, on en doit conclure par cette seule raison que les forces qui troublent le mouvement de rotation, sont très- peu considérables relativement à celles qui troublent le mouvement de translation. Une analyse trèssimple nous permettra d'ailleurs de comparer ces forces.

En effet, plaçons l'origine des coordonnées au centre de gravité de m, nommons x, jr, z les coordonnées de la molécule dm par rapport aux trois axes principaux qtti se croisent en ce point, et .r', j^ z' les coor-

2i8 THÉORIE ANALYTIQUE

données de m' relatives aux mêmes axes et à la même origine, supposons

et faisons, pour abréger,

x^-^ j^'hz'z^ r% x'2 -h y -h js'* = r'^ ;

-en substituant ces valeurs dans celle de V et développant, par rapport aux puissances descendantes de r', Texpression résultante, on aura

H ^ ~ -+- etc.

Si Ton forme les trois différences partielles -7- ? -^)

-^» et qu'on substitue leurs valeurs dans les seconds

membres des équations (B), (n^5), après les avoir multipliées par rf/ii, on verra que le premier terme de la valeur de V disparait de lui-même de ces expressions ; le second terme disparait également après Tintégration par la propriété du centre de gravité qui donne

S.jc^//w = o, S.jrcim = 0^ S.zdni = o. On peut donc, lorsqu'il s'agit du mouvement de rotation, supprimer d'avance ces deux termes et supposer la fonction V réduite à son troisième terme, ce qui donne

Or le premier terme de cette valeur, qui dépend du

carré des dimensions du sphéix)ïde attiré divisé par le cube de sa distance au corps attirant, est précisément du même ordre que ceux que nous avons négligés dans levaluation des forces perturbatrices du mouvement de translation, comme étant très-peu considérables relativement à ceux que nous avons conservés. On peut , juger par là de la petitesse des forces qui ti'oublent \\ le mouvement de rotation des corps célestes et de la ' difficulté de déterminer par l'observation les inégalités qui en résultent. Jusqu'ici, en effet, elles n'ont pu être rendues sensibles que pour deux de ces corps, la Terre et son satellite.

12. Si les corps célestes n'obéissaient qu'à Faction du Soleil, et si leur figure était exactement sphérique, les courbes qu'ils décrivent autour de cet astre seraient elliptiques, et leur mouvement de rotation autour de leur centre de gravité serait celui d'un corps solide qui n'est sollicité par aucune force accélératrice, et qui a reçu seulement une impulsion primitive quelconque, cas que nous avons examiné dans le cha-> pitre V du premier livre. Dans cette double hypothèse, les seconds membres des équations (E) et (B) se réduisant à zéro, ces équations deviennent intégrables; et comme en effet les planètes, les comètes et les satellites se meuvent à très-peu près, les premières autour du Soleil, les seconds autour de leurs planètes, comme s'ils n'obéissaient qu'à l'action des forces principales qui les animent, on peut regarder les résultats qu'on obtient de Cette manière comme une première approximation des mouvements célestes, et les forces négli-

gées ôomme des forces perturbatrices dont le seul effet est d'y produire de faibles altérations. Un beau procédé d'analyse, dont la première idée est due à Euler, et qui a été ensuite perfectionné par I^agrange, permet de tenir compte de semblables forces, quel que soit leur mode d'action sur les mobiles (pourvu seulement qu'elles soient supposées très-petites par rapport aux forces principales), par de simples varia- Il tions données aux constantes qui entrent dans les in^ tégrales de la première approximation, c'est-à-dire dans les intégrales trouvées en faisant abstraction de$ forces perturbatrices. Les deux principaux problèmes du système du monde, la détermination du mouvement de translation des corps célestes et de leur mouvement de rotation autour de leur centre de gravité, se trouvent ainsi ramenés à une simple question analytique qui les embrasse tous deux dans sa généralité. Nous consacrerons le chapitre suivant à exposer cette féconde méthode d'intégration; en appliquant ensuite aux équations différentielles (E) et (B) les formules générales qu'elle nous fournira, nous parviendrons, par des approximations successives, à déterminer de la manière la plus simple le double mouvement des corps célestes avec un degré de précision que les observations les plus exactes ne sauraient jamais atteindre^