CHAPITRE m

INTÉGRATION DES ÉQUATIONS DIFFÉRENTIELLES DU MOUVEMENT d'uN SYSTÈME DE CORPS SOUMIS A LEURS ATTRACTIONS MUTUELLES.

15. Nous avons donné dans le chapitre précédent les équations différentielles du mouvement d'un système de corps soumis à leurs actions mutuelles, et nous avons fait connaître les seules intégrales finies qu'on soit parvenu jusqu'à présent à tirer de ces équations. Nous allons développer dans celui-ci la méthode d'approximation la plus lumineuse que l'on ait encore imaginée pour suppléer à cette imperfection de l'analyse.

Pour traiter cette question d'une manière générale, considérons un système de corps m, m', m'\ etc., agissant les uns sur les autres d'une manière quelconque, et sollicités de plus par des forces accélératrices dirigées vers des centres fixes ou mobiles. Les résultats que nous obtiendrons, auront ainsi toute l'étendue dont la question est susceptible, et il sera facile ensuite d'en faire l'application aux équations différentielles du double mouvement de révolutipn et de rotation des corps célestes.

Nous avons montré, dans le chapitre IV du livre I, que la détermination des mouvements d'un pareil système pouvait toujours être ramenée à un nombre d'équations différentielles du second ordre égal à celui

aa2 ÏPÉORIE ANALYTIQUE

dès variables indépendantes que chaque question comporte. Une intégrale qui résulte dans tous les cas de ces équations, est celle qui est fournie par le principe des forces vives. Si Ton désigne par Xj jj z les coordonnées de w^parx', j^, z' les coordonnées de w', etc., rapportées à trois axes rectangulaires, et que, pour abréger, on représente par T la moitié de la somme des forces vives du système, en sorte qu'on ait

^=^\ df^ )-*-TV dF^ )-+-etc.;

qu'on nomme de plus V l'intégrale de la somme des forces dont le système est animé, multipliées respectivement par l'élément de leur direction, c'est-à-dire qu'on fasse

cette intégrale devient (n^ 24, livre I) 'T- V = A, [a]

h étant une constante arbitraire.

Les coordonnées j:, jr^ z, ^'\ f\ etc., déterminent à chaque instant la position des corps agissants du système. Ces variables sont en général liées entre elles par des équations de condition qui dépendent de la nature du système, en sorte qu'il ne reste finalement qu'un nombre de variables indépendantes égal à trois fois le nombre des corps, moins le nombre des équations de condition. Nous supposerons, comme cela a iieu ordinairement, le nombre de ces variables indépendantes réduit à trois, ç, ij^, 5, et nous désignerons, pour abréger, par ç ', ^\ 6\ les différences de

ces variables prises par rapport au temps t^ et divisées pai- l'élément du temps, en sorte qu'on ait

U sera toujours possible, en ayant égard aux équations de condition, d'exprimer les coordonnées JC',^^ z^ a:', etc., et leurs différentielles, en fonction des nouvelles variables 9, ij;, 0, (f\ ^'^ 6\ et il suffira de substituer à leur place ces valeurs pour convertir dans une fonction semblable une fonction quelconque de j, j, z, or', j', etc. Ainsi donc, nous pourrons regarder désormais la quantité que nous avons désignée parT, comme une fonction de 9, ij/, 6, ç', ^j^', 6\ donnée dans chaque cas particulier.

De même, si Ton suppose, comme cela a lieu dans la nature, que les forces dont le système est animé sont dirigées vers des centres fixes ou mobiles, et représentées en intensité par des fonctions de la distance des différents corps du système à ces centres, la valeur précédente (le V sera une formule toujours intégrale,, et sa valeur finie sera une fonction des coordonnées ar, j, r, jr', jr\ z\ etc., et par conséquent des variables y, ^j;, 5, fonction qui sera donnée dans chaque cas particulier. Quand des centres d'actions étrangers au système seront mobiles, la fonction V renfermera, en raison de leurs mouvements, le temps /, indépendamment des variables ç, ^j/, ô; mais elle ne pourra contenir, dans aucun cas, les différentielles de ces variables.

Cela posé, différewtions, par rapport aux variables.

9, ^j;, 6, ç', ij;', ô', réquatioii [a) ; on aura

rfT , rfT .. é/T^, ^T^, ^T ,. ûTT ..,

^v^ rfV^, rfV^^ ^

On peut donner à cette équation une autre forme. En effet, puisqu^on a généralement

^ - 2 \ dT- ; "^T V dT^ J +etc.,

il est clair que, quelles que soient les valeurs qu'on substitue pour Xy jr^z^ x\ etc., dans cette quantité, T deviendra une fonction homogène de deux dimensions par rapport aux dififérences des nouvelles variables qu'on aura choisies. On aura donc, par la propriété connue de ces sortes de fonctions,

dff'dt'^ dy dt '^\lB'dt'^ ^ ^'

Substituons la valeur résultante de T dans l'équation {a)j et différentions ensuite; nous aurons

dT , . ^T ,., dT ,^,

Si de cette équation on retranche l'équation (i), et qu'on observe que les variations r/y, r/^j;, dQ, étant indépendantes entre elles, on peut égaler séparément à zéro leurs coefficients, on aura les trois équations

DU SYSTÈME DU MONDE. inS

différentielles suivantes :

dt

rfT

rfV

dt

dt

dT

~ rfô

rfV

Ces équations serviront à déterminer les variables 9, i|^, 9, en fonction du temps. C'est sous cette forme que Lagrange présente dans sa Mécanique analytique les équations générales du mouvement d'un système de corps.

On peut leur donner une forme plus simple, en supposant

ce qui donne, en observant que la fonction V ne contient pas les variables 9\ ^', 6',

rfT dV dT dV dT dV . .

' = df = d^' " = rff = 5+'' ""=7^=7^'' ^Pf

Les équations (c) deviennent ainsi

di~ dff' di~ d^' S ~~ rfô ' ^^

et les équations du mouvement d'un système de corps m, m% etc., sont ramenées à la forme la plus simple qu'elles puissent prendre.