Les trois quantités s, u, i^, sont données par les I. i
équations {p) en fonction de 9, <{;, ô, f% i|;', d' ; réciproquement, on peut conclure de ces équations les valeurs dey', tj^', ô', en fonction de ç, cj;, 6, ^, w, (;, et transformer par conséquent une fonction quelconque des six premières variables en fonction des six autres; mais on doit observer que les différences partielles de cette fonction prises relativement à fy t|;, 6, ne seront pas les mêmes dans les deux cas. Ainsi, lorsqu'on regardera U comme fonction de f^ i|/, 6 y Sy M, i^, ses différences partielles relatives à ces trois variables ne seront pas les mêmes que les différences partielles de cette même quantité regardée comme fonction de 9, ^j;, 6, f% i^\ 0\ Pour les distinguer,
nous désignerons par — > — > ^r' les différences
prises daiis la première hypothèse, et par les mêmes expressions entourées de parenthèses, les différences relatives à la seconde. Ces dernières différences partielles forment les seconds membres des équations {d); on aura donc, conformément à cette notation,
Or l'équation U =fonct. ((p, ^j;, 6, 9', ij^', 6') donne, en y regardant f\ ^'^ B' comme fonctions des variables 9, ^ify 6, Sy «, Vy
flTU /rfU\ rfU d^ dff \^?/ *^?' ^?
d^ /£U\ du dff' IL ^ dVdB^
JU
dV
df
dU dB' dB' df^ '
dV
r/U dB' dB' d^'
Si Ton tire de ces équations les valeurs de ij-)^ |— ], (i^jj et qu'on les substitue dans les équations (rf')> ^" mettant s^ Uj ^ k la place de — ,i ^-jy>
on aura
ds dt ~
du
dt" dv^ dt '
^f dB'
rfu . rff li! __ li'
e/ij/ c/\|; </^|f ^Tp
dV do' d^' dB'
dO d9 dQ dO
Telle est donc la forme que prendront les équations différentielles du mouvement lorsqu*on choisira pour variables j, w, v, au lieu de y', ^\ 6'.
Si Ton différentie la première de ces équations par rapport à ij^, la seconde par rapport à 9, en regardant s^ M, V comme constants ; qu'on les retranche ensuite l'une de l'autre, on trouve
d^f dt
dfû.dt
Nous avons surmonté d'un trait ces différences partielles et les suivantes, pour rappeler que dans les ^^i^^ntiations qu'elles indiquent ç), ^j^, 6 et s^ w, u /•^gardées comme six variables indépendantes ^ de l'autre.
qx:b sturait d'une manière semblable
d^v df.dt
dQ.dt dQ.dt d^.dt
Si Ton difFérentie par rapport à ^ la première équation (e) sans faire varier qp, ^^ ô, on trouvera
d'<f' - ^ ds.d^
d^^ d^' ds.dtf d(f
ds.dt ■"
ds.dff
** ds,dff
Mais si Ton prend la différence partielle de U par rapport à la variable s qui n'entre dansU qu'autant qu'elle est contenue dans les valeurs de f\ ^'^ 6\ et qu'on
mette à la place de ^,9 ^-,> ^,» leurs valeurs Sy u
Vy on trouve
£U __ ^' rff rfe'
ds ds ds ds
Cette équation est identique lorsqu'on y considère U, (f\ ij;', 6' comme fonctions de q>, ^j 6, s, Uy v; on peut la différentîer par conséquent par rapport à l'une quelconque de ces six variables. En différentiant par rapport à ^ , on a
as,aff as^aff ds.dff > as»aff
La valeur de ^-j^ en vertu de cette équation^ se réduit à
d'7 ^ / X ds.dC~ dff' ^"^
En différentiant sembUblement la même équation par rapport à 1/ et à i^^ et en considérant les valeurs
des différences partielles - — r-» . ^ > on aurait
* du,di^ dv,dff
d^s ^ rf»7 __ ^' / X du.dt dff'^ dif.di dif'^ ^
ds,dt ^ d\ *
d'u du.dt
dy
dsJt "" dB '
d'^ du.dt
dy
ii^P dB' dç.dt ^ f/ô
Les deux dernières équations {e) donneraient, par des considérations analogues,
io)
Enfin, si Ton différentie l'équation {n) par rapport à M, et la première des équations (o) par rapport à s^ qu'on retranche ensuite les deux résultats Tun de Tautre, on trouvera
rf'y^ __ d^y d(f,du df,ds
et par conséquent
dit ds ^^ ^
On aurait d'une manière semblable
dv ds dv du ^'■'
Ces diverses relations nous seront utiles dans ce qui
va suivre.
15. Revenons maintenant à la question principale qui doit nous occuper ici. Supposons qu'étant parvenu à intégrer complètement les équations (c) dans l'état où elles se présentent, de nouvelles forces accélératrices dirigées vers des centres fixes ou mobiles, et dont les intensités sont représentées par des fonctions des distances de ces centres à leurs points d'applications respectifs, viennent à agir sur les différents corps oij, m\ etc., du système, et qu'on se propose d'avoir
33o THÉORIE ANALYTIQUE
égard, dans la solution du même problème, à Tintervention de ces forces. Si Ton désigne par il l'intégrale de la somme de ces nouvelles forces multipliées chacune par l'élément de sa direction (quantité que, pour abréger, nous nommerons à l'avenir la fonction perturbatrice)^ comme ces forces sont absolument de même nature que celles d'où dépend la fonction V, il suffira, pour y avoir égard, de substituer V -+- û à la placede V dans les équations (c). Les équations du mouvement du système altéré par les forces perturbatrices, seront ainsi
dt
dT
rff ^ ^ — Ifî } (/) dt '
dt
dT
dV
da
dJ d^
dy ^
dci " d^'
d% dO
dy ^ dB "
da
équations qu'on' peut ramener d'ailleurs à une forme analogue à celle des équations (rf'). En effet, il est aisé de voir qu'il suffira pour cela de substituer U — û à la place de U, dans les équations
les valeurs des quantités représentées par ^, «, p qui ne dépendent que de la fonction T ne seront pas changées, et les équations précédentes se trouveront seulement augmentées d'un nouveau terme, c'est-à-dire
DU SYSTÈME DU MONDE. a3i
^^leVon aura
""-(Ty)"-^-?"'-}
Il est inutile d^entourer de parenthèses les difFéreijces partielles de la fonction £î, comme on le fait à regard de celles de la fonction U (d'après la remarque du n*''l4), parce que ii ne contenant pas les variables y', ij^', 6', ses différences ne changent pas quand on regarde ç', tj;', 5' comme fonctions des variables (pi ^, 9, J,*«, if.
l\ s'agit donc d'intégrer les équations (a) en supposant qu'on ait complètement intégré les équations (i), c'est-à-dire ces mêmes équations (2), dans le cas où Ton fait abstraction de leurs seconds membres.
La méthode d'intégration que nous nous proposons de développer consiste à satisfaire aux équations (a) parles mêmes intégrales fournies par les équations (i), en faisant seulement varier les constantes arbitraires qu'elles renferment, de manière à remplir cette condition.
Les équations (i) étant du second ordre par rapport aux variables y, <|<, ô, leurs intégrales finies contiendront six constantes arbitraires a, 6, c^fjgj //, et l'on pourra par leur moyen exprimer les valeurs 4es variables qp, ij/, 9, en fonctions du temps t et de
a32 THÉORIE ANALYTIQUE
ces constantes; de sorte qu'on aura généralement
<p = fonct. («, b, c,f, g, k, r); 4» = fonct. {a, b, c,f, g, h, r),
6 = fonct. (a, b, c, /, g, h, t).
Pour satisfaire aux équations (a) par les mêmes expressions finies de ç, ^^ 6, nous difFérentierons deux fois de suite les valeurs de y, i(/, 6, en |y faisant varier à la fois le temps t et les constantes a, 6, c, fjg^h} nous substituerons ensuite dans ces équations les valeurs résultantes, et nous aurons ainsi trois équations qui serviront à déterminer les variatidiis que doivent prendre les quantités a^ b^ c, etc.; mais comme ces variations inconnues sont en nombre double de celui des équations auxquelles elles doivent satisfaire, nous pourrons les assujettir encore aux trois équations de condition qu'il nous plaira de leur fixer.
Ce qu^l y a de plus simple à cet égard est de supposer que les différentielles premières des variables ç, tp, Q conservent la même forme dans le cas où Ton fait varier les arbitraires a^ ft, c,/, g", h^ et dans le cas où elles sont regardées comme constantes; c'està-dire qu'on égalera à zéro la partie de chaque différentielle rf(p, r/(|>, dQ qui résultera de la variation de ces arbitraires. On aura de cette manière trois nouvelles équations de condition, qui ne renfermeront, ainsi que les trois autres, que les différentielles premières des six quantités a, ^, c,/, g, h. C'est là le grand avantage de ce procédé.
Nous désignerons désormais par la caractéristique d^, placée devant une fonction quelconque du temps t et des constantes a^ A, etc., la différentielle de cette
fonclion prise en y faisant varier ces dernières quan tités seulement, de sorte qu'on aura, par exemple,
Cela posé, en vertu des trois équations de condition que nous nous sommes données, nous aurons d'abord
â(p = Oy â^ = o, &9 = o. (A)
Si Ton différentie une seconde fois les expressions deç), ^|/, 6, en y faisant varier le temps /, et les constantes arbitraires qu elles renferment, et qu'on substitue leurs valeurs dans les équations (a), les différentielles dsj cfuj dv seront augmentées en vertu de la variation des constantes de cf^, àu^ âv. Les fonctions ù et U, ainsi que leurs différences partielles, ne changeront pas, parce qu'elles ne renferment, la première, que les variables y, cj^, ô, la seconde, que ces mêmes variables et leurs différentielles premières, et que ces quantités restent les mêmes, soit que l'on traite les arbitraires a, è, c^fj g. A, comme variables ou comme constantes. On aura donc ainsi
Les valeurs de ç, ^^ 6, sont supposées satisfaire à ces
équations dans le cas où la fonction Q est nulle^ et qaôn les différentie seulement par rapport à / ; on a donc identiquement
*-(^)'''=°' '"'-(^)*=°' ''•'-(5?)*=«' et les équations précédentes donnent simplement
fiff ^ d^ ^ dB ^ ^
Ce sont trois nouvelles équations de condition auxquelles devront satisfaire les variations différentielles des arbitraires a, bj c,J^ g y h. Jointes aux trois équations (A), elles suffiront pour déterminer ces. variations. En effet, en les développant, on aurait six équations du premier ordre et linéaires par rapport aux différentielles da^ dh^ de, dj^ dg, dh] on pourrait donc obtenir par les procédés ordinaires de l'élimination, les valeurs de ces différentielles ; mais on arriverait par cette voie à des formules très-compliquées. On parvient à exprimer directement ces valeurs d'une Hianière très-simple, par les considérations suivantes.
16. Supposons que Tune quelconque des intégrales premières auxquelles auront conduit les équations différentielles du mouvement (i), ne contienne qu'une seule arbitraire a, cette équation intégrale, résolue par rapport à cette constante, sera de cette forme :
ou bien, en regardant^ comme nous l'avons fstit précédemment, (p, y, ô' comme dçs fonctions de y, ^^ G,
DU SYSTÈME DU MONPE. a35
Sr li^ f, données par les équations (p),
a = fonct. (y, (J;, 6, ^, w, p, ^).
Cfef^e équation étant une des intégrales premières des équations (i), il s'ensuit que sa difFérentielle comp/ète, prise en y regardant a comme constante , doit se réduire à zéro quand on y substitue, pour ds^ du^ dv^ leurs valeurs données par ces équations. Si l'on différentie donc l'expression de a en y faisant varier à la fois les constantes et les variables, et qu'on substitue pour isy duj &v^ leurs valeurs données par les équations (B), en observant que ^f = o, â^ = o, J9 = o, on aura simplement
, [dada da d£l da da\ , .,.
Celte formule détermine directement la valeur de la variation différentielle da; mais on peut lui donner une autre forme qui ade grands avantages dans plusieurs questions du système du monde, en employant au lieu des différences partielles de la fonction iî prises par rapport aux variables ç), ^j;, ô, ses différences relatives aux constantes a, A, c,J\ g, A, introduites par la substitution des valeurs connues de 9, ij/, Ô, en fonction du temps et de ces arbitraires. En effet, si l'on, regarde 9, ^j;, 6 comme fonctions de «, 6, c^fy g, A, on aura
da __ da da da db da de d-a df da dg da dh
d^ da d^ db dtf de d<f djTd^ dg dff dh d<f
da __ da dd da dh da de da df dCl dg da dh
d^ da d-^ dh d^ de d-^ df d^ dg d^ dh d^
fia ^da da dadh da de da df dadg dad/i
dê'^d^ di'^ dh W^ 'd^dB'^dfTê'^d^Jé'^dhdB'
Hr'^^-V-
234 THÉORIE ANALYTT'^ ^
équations dans le cas où ' ^^'r^s^jssionyderfa don-
quôn les différentie «^ j^*^
donc idenliqueme . -'^ >> j- — îî^\ — dt
et les éq»
y^ //i3 de ,da dc\ dû, ,
fdadj^ da^dj[^ da^df\d^.
'^dff '^ dad-if"^ dp dBj df
da dg da dg\ dû. , liid^ '^dJd~B]dg
/à [ds
(da dh da dh da dh\ dû , dsd^'^diid^'^di^ Tb) 'dh ^'*
Qn peut faire disparaître de cette expression le terme
miiitiplié par j-j en observant que la fonction û ne
contenant pas les variables y', 4^', 0'^ ne peut renfermer non plus les quantités J, w, P; on aura donc
dû dûda dûdb dû de dûdf dûds dûdh
ds da ds dh ds de ds df ds dg ds dh ds '
dû dû da dû db dû de dû df dû dg dû dh __ du da du db du de du dfdu dg du dh du '
dû^dûda dûdb dû de dûdf dûdg dûdh^ dv da dff db dv de dp df d» dg dp dh d»
Si Ton multiplie ces quantités nulles, la première par — » la seconde par -j^t la troisième par — r et qu'on retranche leur somme de la valeur précédente de da,
^ da db da db da db da db da db\ da \ds df df^ds dud^ d-^ du dv dB dBdvJdb
(da de da de da de da de ila de da dc\ da ds dif d(fds dud^ d^ da dv dB dé do J de (^<f^^ ^çÇ/__rfflû^ dadf^da d/\da '^\dsdif dfds'^dud^ d^ du"^ dp dB^dUv/df '
(dadg dadg da dg da dg da dg da dg\ dû. ds dtf dtfds dud^ d^ du dç d9 d9 du ) dg
^(— — ^^^^ rf/irfA^darf/* dadh dadh\da \ds d(f d^ds dud^ d^ du dv dB dB dv ) dh
Cette expression de da est en apparence plus compliquée que l'expression {h) d'où elle est déduite, mais elle jouit d'une propriété bien remarquable,
da ' ' ^ / c'est que les cofficients des différences partielles ^» i
— > etc., deviennent indépendants du temps t^ après
qu'on y a substitué, pour y, ^^ 6, s^ m, ^, leurs valeurs en fonction de t et des arbitraires a, ô, c^J\ g, h. Comme c'est à cette propriété que la méthode d'approximation que nous venons d'exposer doit ses principaux avantages dans les applications, nous ne pouvons nous dispenser de la démontrer ici d'une manière directe, quoique cette démonstration exige quelques développements.
1 7. Pour cela, reprenons la valeur que nous avons supposée à la constante a dans le numéro précédent :
a = fonct. (9, (j;, ô, Sj w, i^, t).
Si, après avoir tiré de cette expression la valeur de — >
:, fV ^ -^^
a38 THÉORIE ANALYTIQUE
on la différentie par rapport à t^ en observant que
ë=?'' S = ^'' 2 = 0', on aura
j da / d^a d^ a , d^ a d^a ^,
' df \d(f.dc dif' » dif.d^'^ d(f,dB
d^a ds d^a du .rf'a dv
d ff ,ds dt dff,dudt dt^.dv
mais, en prenant la différentielle complète de a par rapport à ^, on a
\ da da f da , da r^t da ds
da du da dif ^ \ ^ '
du dt dv dt
Si l'on considère dans cette équation ^\^' y 0' comme des fonctions de y, ^^ 9, j, m, v^ données par les équations (/?), et qu'on remplace -r? jj — par leurs valeurs tirées, des équations (a), son premier membre deviendra une fonction de t^ (p^ ij;, 0, s, «, t^, qui devra être identiquement nulle. Cette équation subsistera donc encore en y faisant varier séparément Tune quelconque de ces sept quantités.
Supposons cette substitution effectuée, et différentions Féquation résultante par rapport à 9; on aura
d^a d^a , d^a , d^a ^, d^ a ds
d^t'^ d^^ '^ d<f.d^^ "*" d^7d9 "^ d^sJt
d^a du d*a dp da dm' da d'if'
dtf,du dt d(f.d(f dt d<f dt^ d^ dtf
da d^' da d^s da d^u da r/»T
d9 df^ ds d<f,dt du dtf.dt dv d<f,dt ^
OFTHEFACJ.
récéd de cette équation,
et la valeur précédente de d.— deviendra, en vertu
. da fdadff' da d^ da dQ' * d<f \d^ d<f d^ d<f dQ dff
da d^s da d^u
da d'v^.
dv dff.di)
ds d(f,dt du d<f,dt
On trouverait de la même manière :
^ da /da d^ ^ ^ da dB^ d^~ ^ [d^d^ '^ d^d^ "^ dBd^
da d^s da d^u^ da d^v \ 1.,
"^ 57 d^,dt ^ dû d^t "^ d^ d^.dt) '
j da ^ /da d^ da dj/^ dad^
' dB ~ \df dB "^ d^'dB"^ dBlB
da d^s da d^u
ds dB.di du dB.dl
dv dB.diJ
Il faut bien remarquer que, dans ces expressions, nous désignons par ^^, ^^, ^^, etc., les va-^ leurs de -^> -7-9 -r» dans lesquelles on fera varier snc-
dt dt dt *
cessivement y, ij^, 6, en regardante, «, (^, comme constants.
Si Ton suppose à la constante h une valeur sembla-
ble à celle de a^ on trouvera pour ^.^î ^-^^ ^•"To'
des expressions analogues aux précédentes, en changeant simplement dans celles-ci «en h. Cela posé, si
Ton multiplie l'expression de d,— par — ? l'exprès-
y . da dh y, 11 db da
sion de a, -j- par — ^' 1 expression de a. — par — *
24o THÉORIE ANALYTIQUE
celle de t/.— par — — ; Texpression de ^/. — par —^^
celle de à,— par — — > qu'on les ajoute ensuite, en observant que, d'après les équations (m), on a
d^T d*u d^s rf'p" </'<7 __ rf'7
d^.dt~ dff.dt'' dB.dt'^ df.dt^ TfÔ^di "" J^/.^/r'
on trouvera que leur somme se réduit à
ila j db db . da da m db db , da da , db db » da
-7- ".3 T""»-; — l-"7~"«TT — "i-"*"r; +"t-"-'t;: — T" "•"ï;:
as df^ as a<f du anp au ay ne ad dv dB
r/^ db^dadb\d^ (^^^^^\ \^\df ds ds d<fjd(f \d^ ds ds d^ )
dff
dadb^^da db\d^ dBds '^ dsdQj dff
(^^da elb\ d^ /da db da db \ d^ \df du du d^j d'if \rf>p du du d^J di^
il)
dadb__dadb\dB^ ^dû du dBj d-^
dV dB
fdadb^dadb\d^ (^^dadb\ \d^ dv du dtfJdB \d^ dt^ dp d^J
[dBdf^ dPdBJdB]
Reprenons la valeur de la constante a. Si Ton différentie par rapport à ^ sa différence partielle prise relativement à la variable s^ on aura
M da r d^a d^a , d^a , d^u ^,
57 ■" {di^t "^ d^s ^ '^ dJTdi T "^ 5ô7S
+ d^a ds d^a du d^ a dv~] .
ds' dt^ ds.du dt^ ds.dv dt\
Mais, en faisant varier s dans Téquation identique (5),
on a
T ^^ ^,L ^c T ^ dfi dx
ds.dt dff.ds^ d^.ds^ d^.ds
d^ads d^a du d*a dv •
'^'dFde ds.du "di ds.dv di
da dff' da dj/^ da dB'
'^ d^'di "^ 7^ ir '^ Tè'ds
da d^s da d^u da d^v
ds ds . de du ds .dt d» ds.dt
rf'7 d^u
Nous exprimons, dans cette équation, par , , ' d. d "
^-^ y les différentielles des valeurs de -;-? -^y -j prises
en y regardant y, tj;, 6, m, i^, comme constantes, et divisées par ds.
L'expression de cl. -j- se réduit ainsi à la suivante :
, //tf __ ^ Ida^ d^[ da d^' da dB' ' ds \^^ ^^ d^ €ls 'dB ds
da d^s da d^u da d^tf \ ,
"^ ds ds.dt "^ lit dsTdt "^ dv ds.dt) '
On trouvera de la même manière :
dafl£ dady dadB^ d(f du d^ du dB du
da d^s da d^u da d^v
.da ^ fdadff[ ^ da d^' , da dB'
' dv \rfflp (h
ds du . dt du du . dt dv du . da^d^' dadB^ d^'É^'^ dB dç
da rf'T \ , ds dv.dt ' du dp.dt ^ dv dv . dt)
da d^s da d^ u
On aurait des expressions semblables pour les différentielles rf.^ 5 d.—'i d,j-y.en changeant seulement a en b dans les équations précédentes. Si Ton multiplie maintenant l'expression de d. -^ par — ? celle de
d,— par — -^\ l'expression de d.— par —9 celle de ^•Ê P^"^ ~ %^' rexpression de r/. J par '-, celle de d,— par — -Ti-i et qu'on les ajoute ensuite, en observant que les équations (ç) donnent
d^d^ ^__d^ dff' d^ ds du dv du dv ds
u * * * ^'^~ d^^ d~s (rZ
et en substituant pour 3— r? -; — r' -, — r' -r—r^ ^^c-^ *^ ds.dt du.dt 'dv.dt ds.dt
leurs valeurs données par les équations («) et (o), on aura
db da da db db da da db db da fia db f/(p ' ds d<f ' ds d^ du d^ du dB ' dv dO ' di^
— __ [Y— — — — — \ ^' i——^ — ^-\ ^"^^ L\^7 ^^ ^^ c/ç/ É^(p \d<fdu du d(f j'd-if
'^[d^dv d^d'^jdB
-H /^ûf^__^^6\ rff /dja^db__dadb\dy \d'^ ds ds d-^J dff \^
d"^ du du d-^ ) rf^J# /da db dadb\dj/ \d^lh'"di d'^l "rfF
db\d<^ dBJ 71^
'^ [dQds ds de) d^'^ \dO du du
dadb ^dadb\ d^ .
diid^'^dçdBI ~ *'^'
^ second membre de cette équation est égal, au signe pfès, au second membre de Téquation (/); on aura donc, en ajoutant membre à membre ces deux équations,
da j db db j da db , da da , db ds d(f as dtf acp ds dff as
da 1 db ^^ ^ ^^ ^^ W ^^ da , db du ' d"}^ du ' d-^ d-i^ ' du d'^ * du
da * db db J da db t da da j db
^^ dv dO dv d9 dQ dv dO dv
Le premier membre de cette équation est évidemment I^ différentielle complète, par rapport à t^ du
coefficient de -^ dt dans l'expression de da. En effet,
en intégrant, on a
• ^if da db da db da db da db da db __
■jT'J© riffds du d'if d^ du dv dB dB dv *'
^Qi\ Von peut conclure que ce coefficient ne contient pg^ste temps t implicitement, et ne saurait être qu'une fonction des constantes a et A, et des autres arbitraires ^-enfermées dans les intégrales des équations différentieWes du mouvement, après la substitution des valeurs de (p, t^j 9, ^, w, if en fonction de t et de ces arbitraires. On prouverait de la même manière que le temps disparaîtrait dans les autres coefficients des
. ^, 11 da da ,
différences partielles -^> ^j etc.; en sorte que la va-
Jear de la variation différentielle c{a se trouvera exprimée au moyen des différences partielles de la fonction n prises par rapport aux constantes a^ />, c, /, g, //, f ijiultipJiées par des fonctions de ces mêmes quan-
tités indépendantes du temps. Il en serait de même des variations des cinq autres arbitraij-es è, c^f^ g, h,
18. Cet important résultat constitue le principe fondamental de la nouvelle théorie de la variation des cojistantes arbitraires^ que nous devons aux derniers travaux de Lagrange. Son génie lui fit soupçonner au premier aperçu que la forme très-simple que Laplace et lui étaient parvenus, après de longs efforts, à donner aux variations différentielles des éléments des orbites planétaires, ne devait être qu'une conséquence particulière d'un théorème général de Mécanique, indépendant des formules du mouvement elliptique, et bientôt après il réussit à étendre l'analyse qui l'avait si heureusement guidé dans ses premières recherches, aux équations différentielles du mouvement d'un système quelconque de corps soumis à des forces dirigées vers des centres fixes ou mobiles, et représentées en intensités par des fonctions des distances de leurs points d'application à ces centres. Le beau théorème que nous venons d'énoncer, ainsi généralisé, devint applicable à un grand nombre de questions de Mécanique qui n'avaient point été jusque-là complètement résolues.
Nous représenterons désormais les coefficients des différences partielles de £î dans la valeur de da^ par les symboles (n, i), {ajC)y etc., de sorte qu'on aura, par exemple,
^ da db da db da db da db da db da db
"^^^ ^^7hd^''d^ds~^di^'^d^dri'^d^d9'~dÔdi^^ ^ '
La quantité (rt, b) exprimera ainsi généralement une
certaine combinaison des différences partielles des valeurs de a et A, prises par rapport à y, cj^, 6, 5, w, v. Il suffira de permuter entre elles, dans cette expression, les lettres a^ è, c^f^ g, A, prises deux à deux, pour former les valeurs des quantités (a, ^), {^yj\ [a, g), etc.
Diaprés cette notation, {b^ a) doit représenter ce que devient (a, è), en y changeant les lettres a tlb entre elles. Or, si Ton effectue cette permutation dans réquation précédente, on voit que son second membre ne fait que changer de signes ; on aura donc généralement
Enfin, si l'on combine la lettre a avec elle-même, ou qu on substitue dans la même équation a à la place de ft, pour former la quantité (^, a), on aura
IjVxpressiou que nous avons trouvée dans le n" 16, pour la variation différentielle de a, deviendra donc, d'après la notation que nous venons d'adopter,
-=(.,ft)+(«.c)-+(«,/)+K^)+(«,A).-;(D)
et Ton aurait des compressions semblables pour déter-.. miner les variations des cinq'autres arbitraires ft, c, Jrg,h.
Il faudra, pour appliquer la méthode d'intégration précédente, commencer par former dans chaque cas particulier les quantités [Oyh)^ (rt, c), {byC)j etc., en
combinant les différences partielles des valeurs des constantes arbitraires du problème, prises par rapport aux variables 9, 4^, 5, et aux fonctions s^ u, s^ de ces variables et de leurs différentielles. Ces symboles seront en nombre égal à celui des combinaisons différentes qu'on peut faire en perinutant ensemble les six lettres a, A, c^ f^ ^', //, prises deux à deux, c'est-àdire qu'on aura à calculer quinze quantités de cette espèce. La valeur de chacune d'elles sera en général une fonction des six constantes arbitraires contenues dans les intégrales des équations du mouvement; cependant il poiu*ra arriver quelquefois qu'elle ne contienne que quelques-unes.de ces arbitraires; dans d'autres cas elle n'en renfermera aucune, et se réduira à une constante déterminée. Ces quantités seront toujours faciles à former, lorsqu'on aura préalablement exprimé les arbitraires en fonction des variables ç, cp, 6, s^ Nj i^, ainsi que nous l'avons supposé n*^ 16. Mais, comme cette préparation pourrait entraîner souvent dans des éliminations compliquées^ il est bon d'avoir le moyen de l'éviter; or, c'est ce qui est facile. En effet, supposons la constante h^ par exemple, fonction des variables 9, d^, 0, ^, w, i^, et d'autres coustaotes c^J] g, de sorte qu'on ait
h = fonct. (9, (];, 9, s, M, M, c, f, g) ;
il faudrait substituer pour c, J\ g, leurs valeurs eu fonction des variables ç, tj;, 6, 5, w, i^, pour ramener cette valeur de è à la forme que nous lui avons supposée n°16. Mais, en prenant ses différences par-
tielles par rapport aux mêmes variables, on a
db (db\ . db dc^ dh^df db dg ^~" \d<f) de d(f d/df dg d(f*
db /^\ db (k db^df dbilg ds \ds ) de ds df ds dg ds
etc.
Nous désignons par (^Jj (^)' ^^c? ^^^^ parenthèses, les dififérences partielles de 6, prises abstraction faite des constantes c^fj g.
Si Ton substitue ces valeurs dans la formule (C), il est aisé de voir qu'on aura
/ ; \ / N db . , ^ db , , db , ^ .
Nous représentons par (a, b) la valeur de (a, b) qu'on trouverait en combinant les différences partielles de a et fc, abstraction faite des arbitraires c^f, g que contient b.
Il sera facile de former les combinaisons (a, c\ (d, g), (^,/), puisqu'on suppose a, c^ f^ g donnés immédiatement en fonction de qp, ip, 0, f, w, i>; on aura donc sans peine, par la formule précédente, Texpression de (rz, A).
Quand les valeurs des quinze quantités (a, -b)^ (a, c), [hjC)j etc.^ seront déterminées, comme nous venons de le dire, on les substituera dans la formule générale (D), et les variations différentielles des arbitraires se trouveront exprimées au moyen des différentielles de M fonction Û, prises par rapport à ces constantes, et multipliées par des coefficients indépendants du
a48 THÉORIE ANALYTIQUE
t6mps t^ conformément au théorème général démon* trén<>17.
Dans chaque ca$ particuher, la forme des expressions auxquelles on parviendra, dépendra de la manière dont les arbitraires a^ by c, etc., seront exprimées en fonction des variables ç, i|;, 0, j, «, (/, et par conséquent des constantes arbitraires qu'on aura choisies pour compléter les intégrales de la première approximation. On obtient des formulas extrémemeni simples, en prenant pour arbitraires les valeurs des six variables ç, t|^, 0, j, m, v^ à une époque déterminée, à Tinstant, par exemple, d'où Ton compte le temps t. En effet, si l'on désigne par a, S, 7, X, y?, |x, ces six quantités; qu'on substitue a et g à la place de a et ^ dans la formule (C), on aura
dcLd^ dcnd^ doLdZ dot. dt dad^ dadQ
^^' ^'^ dsdf ^ds dud-^ d^ du d^d9 dldp'
Or, comme on est assuré d'avance, d'après la démons-» tration générale du n^l7, que le second membre de cette équation est indépendant du temps t,^ il est clair qu'on n'en changera pas la valeur en y substituant
simplement pour V' ^» etc., leurs valeurs dans lesquelles on fera ^ = o. Mais on a évidemment dans ce cas
da. dt df d\ dyi dfn,
d^"^^' d^"^^' Te^^' ^""^' ^""'^ ^ = '-
Toutes les autres différences partielles des constantes a, ê, 7, etc., sont nulles d'elles-mêmes, d'où l'on peut conclure qu'en prenant deux à deux les six lettres a.
è,yAj^y[^-> on aura
(a,X) = - I, (g, >?) = - I, (7, fx)= — I.
Tous les autres coefficients (a, 6), (a, 7), (X, S), etc., seront nuls, de sorte que l'on aura, pour déterminer les variations de a. S, 7, X, y?, jul, les six équations suivantes :
da , , ûfa , , d£i , \
rfX= :t- «^', ^>î= -jjdt, dy^=z -j-dt,] ac!. 00 ay /
Ces foru^ules sont les plus simples que puisse fournir Fétat de la question. Liigrange, après avoir démontré d'une manière ingénieuse, mais indirecte. Tindépendance des coefficients (a, X), (6, 13), (y, jtx), par rapport au temps <, s'en est servi pour en déduire les expressions générales que nous avons trouvées pour les variations des six constantes arbitraires a, by c^f^ gy h. En effet, quelles que soient les constantes qui entrent dans les intégrales de la première approximation, elles ne peuvent être que des fonctions des six quantités a, 6, 7, X, yi, jul, et il suffira pour les obtenir de supposer t = o dans ces intégrales. La quantité û peut d'ailleurs être considérée, soit comme une fonction des six constantes primitives a, S, 7, etc., soit comme une fonction de^ six constantes arbitraires a, i, c, etc.; et Ton peut conclure par conséquent les différences partielles de û, relatives aux premières, des différences partielles de la même fonction, relatives aux dernières. Si l'on différentie ainsi, par rapport au temps ^, les six constantes a, A, c, etc. , regar-
25o THÉORIK AiNALYTIQUE
dées comme fonctions de a, ê, etc., qu'on substitue pour r/a, ^ê, etc., leurs valeurs données par les équations (g\ et que l'on convertisse ensuite les différences de (î, relatives à a, S, etc. , en différences prises par rapport à a^ 6, etc., on retrouvera sans peine la formule (D). et les formules semblables relatives à 6, c, etc., auxquelles nous sommes parvenus directement. Au reste, les formules (g) ont paru jusqu'ici plus remarquables par leur forme que par leur utilité.
19. Lorsque les variations différentielles des constantes rt, /?, c, etc., seront déterminées par ce qui précède, on aura par l'intégration leurs valeurs finies, qu'on ajoutera respectivement à ces constantes dans les valeurs des variables ç, ^^ 0, trouvées en faisant abstraction des forces perturbatrices; on connaîtra ainsi les valeurs de ces variables qui satisfont aux équations du mouvement troublé, et qui doivent dans ce cas déterminer à chaque instant la position du système. Mais, comme les quadratures d'où dépendent les valeurs des variations finies des constantes arbitraires rt, 6, etc., ne seront pas possibles en général, on sera réduit à les déterminer par des approximations successives. On commencera par n'avoir égard qu'à la première puissance des forces perturbatrices; on obtiendra ainsi une première valeur approchée des constantes arbitraires regardées comme variables, à l'aide de laquelle on pourra tenir compte du carré des forces perturbatrices ; et en continuant de la même manière, on parviendra à des valeurs intégrales aussi approchées que l'on voudra.
Concilions donc généralement que Ton peut toujours représenter Taction des forces secondaires qui ag'issent sur un système quelconque de corps, et qui ne font que troubler les mouvements que ces corps auraient en vertu des forces principales dont ils sont animés, par les variations des constantes arbitraires qui entrent dans lès équations intégrales trouvées en faisant abstraction des forces perturbatrices. Si Ton détermine ces variations de manière à ce que les inrégrales premières soient, comme les intégrales finies, les mêmes dans les deux mouvements, leurs différentielles se trouveront exprimées par des formules trèssimples, au moyen des différences partielles de la fonction perturbatrice, et Ton pourra donner à ces formules une forme très-commode pour les applications, en employant, au lieu des différences partielles de cette fonction relatives aux variables du problème, les différences partielles prises par rapport aux constantes introduites par les intégrations.
Ces considérations semblent surtout applicables à la théorie du système du monde. Les perturbations causées dans les mouvements de révolution et de rotation des planètes par leurs attractions mutuelles^ en offrent, comme nous l'avons dit dans le chapitre précédent, une application directe; celles qui dépendent d'une cause spéciale, comme les inégalités de Ja Lune dues à l'aplatissement de la Terre, s'en déduisent aussi facilement. Enfin, on peut encore re-* garder comme une force perturbatrice la résistance du fluide éthéré que les corps célestes peuvent être obligés de traverser, et les principes précédents donneront le
moyen d'avoir égard à cette action. Nous Tavons dit, c'est à Lagrange qu'est due la belle théorie que nous venons d'exposer ; mais.il avait suivi, pour la traduire analytiquement, la marche inverse de celle que nous avons adoptée. Il commença par déterminer les différences partielles de la fonction que nous avons désignée par û, relatives aux constantes arbitraires ré-» sultantes des premières intégrations; il les exprima au moyen de leurs variations différentielles multipliées par des fonctions de ces mêmes constantes, et il par-^ vint d'une manière très-simple à démontrer que ces fonctions étaient toujours indépendantes du temps. Il fallait ensuite que, par les procédés ordinaires de l'élimination, on tirât de ces formules les valeurs des variations différentielles des arbitraires qu'il s'agissait en définitive de déterminer; mais cette opération devait entraîner souvent dans de longs calculs, et Ton pouvait désirer encore une méthode directe pour parvenir au même but. M. Poisson entreprit de la décou^vrir, et il y réussit dans un beau Mémoire lu à l'Académie des Sciences en 1808. Si l'analyse qu'exige le problème abordé ainsi directement, est plus compliquée que celle de Lagrange, cet inconvénient est plus que compensé par l'avantage d'arriver à des formules qui résolvent immédiatement, et sans avoir besoin d'aucune transformation, la question qu'on s'est proposée. Au reste, ce grand géomètre avait senti luimême les défauts de la méthode qu'il avait d'abord suivie ; il parvint à la corriger et à éviter par des considérations ingénieuses ses principaux inconvénients , en sorte que la théorie générale de la variation des conr
stantes arbitraires dans les problèmes de Mécanique atteignit, sous les yeux mêmes de son inventeur, toute la perfection désirable. Il restait à en faire Tapplica-r tion à la Mécanique céleste, à réunir ainsi sous un même point de vue les découvertes des grands géomètres qui en ont fait l'objet de leurs méditations, à faire dépendre enfin la détermination des diverses inégalités des mouvements des corps célestes d'une même analyçe^ comme elles dérivent toutes d'un même cause. C'est à atteindre ce but que cet ouvrage est spécialement destiné. Les mouvements de révolution des planètes, des comètes et des satellites, les mouvements de rotation des planètes autour de leurs centres de gravité, les dérangements qu'elles peuvent éprouver dans leur marche par la résistance d'un fluide trèsrare, occuperont successivement notre attention dans ce livre et dans les suivants, et Ton verra tous les faits dépendants de ces phénomènes dériver naturellement des principes que nous venons de développer, et qui, dans l'état imparfait de nos connaissances analytiques, doivent désormais servir de base à la théorie mathé«^ matiqne du système du monde.
a54 THÉORIE ANALYTIQUE
