CHAPITRE IV

PREMIÈRE APPROXIMATION DU MOUVEMENT DE RÉVO- LUTION DES CORPS CÉLESTES, OU THÉORIE DU MOUVEMENT ELLIPTIQUE.

20. Si Ton n'a égard qu'à raction réciproque des deux corps m et M, et qu'on fasse abstraction des autres corps m', m'\ etc. , du système, les équations (E), qui déterminent le mouvement relatif de m autour de M, se réduisent aux suivantes :

rf^ + 7^=«' ^+T'=°' rfT' + 7ï = *>' («)

en supposant, pour abréger, r= >Jx^ 4-/^ H- z^, et juL = M 4- m, c'est-à-dire égal à la somme des masses du corps attirant et du corps attiré.

Comme ces trois équations différentielles sont du second ordre, leurs intégrales complètes devront renfermer six constantes arbitraires dont la détermination dépendra des circonstances primitives du mouvement. Développons ces intégrales.

Si l'on multiplie la première des équations précédentes par jTy qu'on la retranche de la seconde. multipliée par jr, et qu'on intègre l'équation résultante, on aura

€ étant une constante arbitraire.

DU SYSTÈME DU MONDE. ti5S

Oh trouverait d'une manière semblable les deux autres intégrales

c' ^\d' étant deux nouvelles arbitraires.

Si Ton multiplie ces trois équations, la première par 2, la seconde par y^ la troisième par Xy et qu'on ies ajoute, on a

cz-^- dy '\- d" x=.Oy (i)

équation d'un plan mené par Torigine des coordonnées ; ce qui nous montre que la courbe décrite par m autour de M, est contenue dans un plan passant par ce dernier corps. Si l'on nomme q? Tinclinaison de ce plan sur celui des xj et a l'angle que forme leur comnaime intersection avec l'axe des x^ il est aisé de voir qu'on aura

c" c' tang(p sina = — ? tt-ingç cosa = ;

$0^v\ontire

tanga = - ^, tang 9 = ^— ^

Et en faisant, pour abréger, c^ -4- c'^ 4- c"^ = A:^,

c = /r cos 9, dz=z -^ k sin <p cos a, c" = /: sin (p sin a.

Les deux angles a et ç>, qui fixent la position du plan de la trajectoire, seront déterminés par ces équations lorsque les constantes arbitraires Cy c', c" seront connues; réciproquement, on aura les valeurs de ces constantes au moyen des trois autres arbitraires a, (f eî

k : on peut donc substituer ces trois dernières arbitraires aux précédentes.

L'équation (i) représente Tune des intégrales finies des équations (a). Pour obtenir une nouvelle intégrale, multiplions la première de ces équations par a dx^ la seconde par 2 rlj^ la troisième par 2 i1z\ ajoutons-les ensuite et intégrons leur somme; en observant que xdx •+-jrdjr -+- zdz = rdr^ nous aurons

h étant une constante arbitraire.

Mais si l'on ajoute les trois équations [b) et (c), après les avoir élevées au carré, et qu'on fasse, comme précédemment, c^ -f- c'^ h- c"* = A*, on a

x^df^ H- dz^) -hx^ (^^^^ -^dz^) -^ z" [dx^ -f- df^)

di* 7,{xy dxdjr -f- xz dxdz + yz drdz) . j

équation qu on peut écrire ainsi ou bien

i^x^^y^^ z^){dx^ ^ dy^ H- dz") ^ (x^J?H-r^r4-zrfz)« , ,

dt^ dr ~ ^

r'jdx'-^dy^dz') r'dr' ., , ,.

dT^ dt^ - ^ • ^^^

Si 1 on elnmne ^^--^ — entre cette équation et

Téquation (c), et si Ton résout par rapport à dt l'équation résultante, on aura

dt = ^ ^^- {g)

\/:ifir—hr'—A\ ^°'

Cette équation donnera t en fonction de r, et réciproquement r en fonction de t. On aura en l'intégrant la seconde intégrale finie des équations {a) .

Pouf trouver la troisième, j'observe que si Ton désigne pat" ds^ l'angle infiniment petit compris entre deux rayons consécutifs r et r -h dr^ le carré de l'élément de la trajectoire sera égal à dr^ -\- r^ d\r^\ en sorte qu'on aura

dx^ -h dy^-^ dz^ = dr^-^ r^dv^.

Si Ton substitue cette valeur dans l'équation (r/), elle devient r* dv^ = A:* di^ ; d'où l'on tire

La quantité ^ r* ds^ représente l'aire élémentaire décrite paf^le rayon vecteur r pendant l'instant dt ; cette aire est donc proportionpelle à l'élément du temps, et par conséquent dans un temps fini elle est proportionnelle à ce temps. On voit encore par cette équation que le mouvement angulaire de m autour de M est à chaque point de la trajectoire réciproque au carré de son rayon vecteur, ce qui fournit un moyen trèssimple, pour calculer les mouvements des planètes et des comètes dans les différents points de leurs orbites pendant des intervalles de temps supposés très-petits. Si dans l'équation précédente on substitue pour ^/^ sa valeur en r et dr^ elle devient

di>= , ""- =. (/)

Nous avons vu que la trajectoire est une courbe plane ;

il s'ensuit que l'angle v exprime la longitude du rayon

vecteur r comptée dans le plan de cette courbe, à partir d*une ligne fixe : l'équation précédente donnera donc en l'intégrant la relation qui doit exister entre la longitude et le rayon vecteur, c'est-à-dire l'équation polaire de la courbe décrite. Le maximum et le minimum des valeurs de /• seront déterminés par l'équation

2 fxr — hr^ — A:^ = o ;

d'où il suit que la somme de ces deux: valeurs est

égale à -y et leur produit à t- Si l'on désigne donc

par rt (i -h e) la plus grande, et par ^ (i — e) la plus petite, on aura

d'où l'on tire

A=:e, k=yJixs/a(i'-e^). (o)

La .constante a est la demi-somme des valeurs extrêmes de r ou la distance moyenne de /n à M, ae leur demi-différence. Si à la place des constantes h et Aon substitue les valeurs précédentes dans l'équation (/), elle devient

dv = — V^^ ^ ; (A)

cette équation peut s'écrire ainsi :

d'où Ton tire, en intégrant,

p = « -+- arc

|^eos = J.

« étant une constante arbitraire.

On aura 3onc réciproquement