COS* - V

Ces formules sont celles que Ton emploie ordinairement dans la théorie des comètes. La dernière donnera aisément le temps t lorsque l'anomalie v sera connue ; mais la valeur de v en t^ qui est généralement la quantité cherchée, dépendra d'une équation du troisième degré qui n'est susceptible que d'une racine réelle. Pour éviter l'embarras de résoudre cette équation, on forme une Table des valeurs de t correspondantes à celles de v dans une parabole dont la distance périhélie est l'unité des distances. Cette Table fait connaître le temps correspondant à l'anomalie v dans une parabole quelconque dont D est la distance

périhélie, ert multipliant par D% le temps qui répond à la même anomalie dans la Table. On aura donc réciproquement l'anomalie v correspondante au temps t^

en divisant t par D' et en cherchant dans la Table Fanooialie qui répond au quotient de cette division. Enfin la même Table pourra servir pour toutes les comètes, en remarquant que les masses des comètes étant très-petites par rapport à celle du Soleil, on peut les négliger et supposer que la valeur de |ul, qui exprime la somme des masses du Soleil et de la comète, est la même pour tous ces corps, et exprime simplement la masse du Soleil.

Comparons l'anomalie i^, qui répond à un même temps (, dans une ellipse fort excentrique et dans la parabole. Si l'on néglige les quantités de l'ordre

(i — e)*, et que l'on remette pour E sa valeur ^-^^t

en observant qu'on a \/a (i — e') = \/âDi/ t — ( -^^^ ) ?

l'expression de < en i^ dans Tellipse donnera

Soit (^' Tanomalie qui répond au temps t dans la parabole dont D est la distance périhélie, et i' = i/+ x l'anomalie qui répond au même temps dans l'ellipse, X étant un très-petit angle. Si l'on substitue v' -^ x k la place de «^ dans l'équation précédente, et que l'on réduise le second membre en série ordonnée par rapport aux puissances de jc, on aura, en négligeant le carré de x et son produit par la quantité très-petite

^tangi.'4-itang^^.')

VI» I ,e 1 ,/ ,1,4 ,1 A

\ + -^ »ang 2 " (^' - '""g 2 " 5 '""6 i " j mais la seconde des équations (o) donne

On aura donc, en mettant à la place du petit arc x sa tangente,

tang:r=: — (i — ejlang-j'' (^'~ 3 cos'-p'— 6cos*- *»' i- Par conséquent, si l'on forme une Table des loga-

rithnies de la quantité

— tang ~ p' ( 4 — 3 cos^ - i^' — 6 cos* - p' j ?

on n'aura plus qu'à leur ajouter le logarithme de 1 — ^ pour avoir celui de tang^. Cela posé, pour avoir Tanomalie (^ correspondante au tenips t dans une ellipse fort excentrique, on cherchera, par la Table du mouvement des comètes, l'anomaUe v' qui répond au temps t dans une parabole dont D est la distance périhélie, et Ton déterminera par la méthode précédente la correction à faire à l'anomalie v' pour avoir l'anomalie correspondante v dans l'ellipse.

La première des équations (0) donnera la valeur du rayon vecteur r lorsque l'anomalie v sera connue.

On petit encore, dans le cas de l'ellipse fort excentrique, convertir en séries convergentes l'expression du rayon vecteur, du moyen mouvement, et de lanomalie vraie, en fonction de l'anomalie excentrique; nous ne développerons point ici ces formules qui sont de peu d'usage.

27. Il existe entre le temps employé à décrire un arc de parabole, les rayons vecteurs menés aux extrémités de cet arc, et la corde qui le sous-tend, une relation curieuse qu'il est bon de connaître, et qui se déduit aisément des formules du mouvement parabolique. En effet, en supposont /x = i dans les équations (o), on aura

r = D ( iH- tang* - v] ,

!i88 TtiÉORIE ANALYTIQUE

Soient r' et i^' ce que deviennent ret <; au bout du temps f'j t' — t sera le temps employé par la comète à parcourir l'arc de parabole intercepté par les deux rayons vecteurs r et r'. Nommons ê l'angle que ces rayons comprennent entre eux, en sorte qu'on ait

<^'— <^ = 6; si, pour abréger, on fait tang-i^= w, tâng- {f' = lify et tang-ê = ^, on aura

w' = tanff- («^ -!-§) = —^ —