I SU
Les formules (o' ) donnent d'ailleurs,
En substituant donc pour u' sa valeur, on aura
^ ^^ (l — 5tt)*
^ (i — jii)^ L 3 1 — ^« j
Soit maintenant c la corde qui joint les extrémités des deux rayons r et r\ en considérant le triangle formé par ces trois lignes , et en remarquant que
cosê = Il on aura
Faisons, pour abréger, rH-r'H-c= 2/;, et r-hr'—c=^^, d'où l'on tire r'hr' = p-h<], [r -h / ')* — c^ = 4/'7>
réquation précédente donnera
rr'
OU bien, remplaçant r et r' par leurs valeurs, et extrayant les racines des deux membres,' r ; \ ^
Si dans l'équation p ^"q =z r -h r'f on remplace de même r et r' par leurs valeurs, on a a. -'z ' -, 3* //w m\ . / ^
« ' I — ^^* (i — suy . v -^ .
et par consé<juent ' - ^ *
p-^q = ^yJ'^ + s^Pl^^
d'où l'on tire
substituant cette valeur et celle de dans la va-
I — su
leur de t* — <, on trouve
4/2/ -i A\ I il -i
Cette formule remarquable a été donnée, pour la première fois, par Euler : nous verrons, dans. le chapitre suivant, comment on peut l'étendre au mouvement dans. l'ellipse et dans l'hyperbole.
Il nous reste à considérer les formules relatives aux orbites hyperboliques; mais comme cette recherche est de pure curiosité, et que ses résultats ne peuvent
avoir aucune application dans Tétat actuel du système du monde, nous ne nous y arrêterons pas, et nous terminerons ce chapitre en montrant comment les lois du mouvement elliptique peuvent conduire à la connaissance approximative de la masse des planètes.
28. Nous avons vu (n^ 22) que si Ton désigne par T la durée de la révolution sidérale d'une planète^ dont a est la distance moyenne au Soleil, on avait
Vf*
n étant le rapport de la circonférence au diamètre, et /x la somme des masses de la planète et du SoleiL Si Ton néglige les masses des planètes par rapport à celle du Soleil, la quantité |x sera la même pour tous ces corps, et désignera simplement la masse du Soleil. Ainsi donc, pour une autre planète quelconque, dont n' serait la distance moyenne, et T' le temps de la révolution sidérale, on aura encore
rw^ 2 TTC
par conséquent
d'où il suit que les carrés des temps des révolutions des deux-planètes sont entre eux comme les cubes des grands axes de leurs orbites. C'est l'énoncé de la troisième loi de Kepler. On voit que cette loi n'est pas rigoureusement exacte ; elle n'a lieu qu autant qu'on néglige les masses des planètes vis-à-vis de celle du
Soleil : cependant, comme les observations n'y font remarquer, que de légères différences, il en faut conclure que les masses des planètes sont effectivement très-petites, relativement à la masse de cet astre.
L'équation (/) fournit un moyen très-simple de déterminer le rapport des masses des planètes qui sont accompagnées de satellites à celle du Soleil. En effet, supposons que Ton considère le mouvement de la Terre : si Ton néglige sa masse par rapport à la masse M du Soleil, cette équation donne
vis
Soit m! la masse d'un satellite appartenant à la planète 7w, a' sa moyenne distance à sa planète, et T' le * temps de sa révolution sidérale, on aura par l'équation (/),
divisant Tune par l'autre les deux équations précédentes, on en tire
Si l'on substitue dans cette équation pour a, a\ T, T', leurs valeurs données par l'observation, on aura le rapport de la somme des masses de la planète et du satellite, à celle du Soleil; et si l'on néglige la masse du satellite par rapport à celle de la planète, ou si Ton suppose connu le rapport de ces masses, on aura le rapport de la planète à celle du Soleil.
Appliquons cette formule à Jupiter, en prenant
29a THÉORIE ANALYTIQUE
pour Unité la moyenne distance cïe la Terre au Soleil. Le rayon moyen de Torbe du quatrième satellite observé à cette distance, paraîtrait sous un angle de 258o'',58; le rayon du cercle contient ao6264'S8; les rayons moyens de Torbe du quatrième satellite et de Torbite terrestre sont donc entre eux comme ces deux nombres. I^a durée de la révolution sidérale du quatrième satellite est de 1 0,6890, et Tannée sidérale est de 365^^2 564 • o" peut donc supposer dans l'équation (/w),
T'= 16,6890; et Ton en tii^
pour la masse de Jupiter, celle du Soleil étant prise pour unité. Cette valeur est celle qui avait été adoptée par Newton d'après les observations de Pound. Nous donnerons dans la suite une valeur plus exacte de cette masse, corrigée d'après les observations modernes.
On a déterminé de la même manière les masses des autres planètes autour desquelles on observe des satellites. Pour la masse de la Terre, seulement, on a employé un procédé différent, parce que les nombreuses inégalités de la Lune empêchent celui-ci d'être suffisamment exact. L'attraction que le globe terrestre exerce sur les corps placés à sa surface sur le parallèle, dont le carré du sinus de la latitude est
DU SYSTÈME DU MONDE. 2q3
-, est à très-peu près la même que si sa masse était réu-
nie à son centre de gravité (n*^ 3). En nommant donc / le rayon mené du centre de la Terre à un point quelconque de ce parallèle, et m sa masse, cette attraction
sera égale à — 5 et en la désignant par g, on aura
Soient a la distance moyenne de la Terre au Soleil, etT la durée de Tannée sidérale, Téquation (/) donnera
on aura donc
Les quantités g, T, a, sont données par les observations; la valeur du rayon / est aussi connue; on pourra donc déterminer par cette formule le rapport de la masse m de la Terre à la masse M du Soleil. Pour la réduire en nombre, j'observe que si Ton nomme P la parallaxe du Soleil à la distance moyenne, et sur le parallèle que nous considérons, c'est-à-dire Tangle sous lequel on verrait à cette distance du centre de cet
astre le rayon /, on aura sinP = -•, Téquation précédente devient ainsi
Les observations donnent P= 8'',75. Nous avons nommé j[} l'attraction de la Terre ;'"cViil Ife double de'
l'espace que cette force fait décrire aux corps dans une seconde. Sous le parallèle dont le sinus du carré de
latitude est ^5 la pesanteur fait tomber les corps dans
la première seconde (sexagésimale) de leur chute de 4™î 89796; la force centrifuge due au mouvement de rotation de la Terre diminue l'action de la pesanteur
de -gô à Téquateur, et d'une quantité moindre en tout
autre lieu. Sur ce même parallèle, l'attraction de la Terre est plus petite que la pesanteur des deux tiers de la force centrifuge ; il faut donc augmenter l'espace précédent de sa [\ii^ partie, pour avoir l'espace dû à Faction de la Terre: cet espace est ainsi de 4™?9093. Le rayon terrestre, sur le parallèle dont il s'agit, est de 6369809 mètres ; enfin l'année sidérale est de 3 1 558 1 52''; on aura donc
log.sinP = 5,6274836.
Ces valeurs substituées dans la formule («) donnent
pour la masse de la Terre, celle du Soleil étant prise pour unité. Cette valeur varie comme le cube de la parallaxe solaire comparée à celle que nous avons adoptée.
DU SYSTÈME DU MONDE. agS
